1、计算机数学1计算机数学2本讲内容：本讲内容：、矩矩阵阵的的初初等等变变换换1、初初等等矩矩阵阵2、等等价价标标准准形形3计算机数学3本讲要求：本讲要求：等行变换等行变换、理解和掌握矩阵的初、理解和掌握矩阵的初1价标准形价标准形、会用初等行变换求等、会用初等行变换求等2重点难点：重点难点：初等行变换初等行变换计算机数学4逆逆矩矩阵阵。的的逆逆矩矩阵阵，记记为为为为为为可可逆逆矩矩阵阵，则则称称，使使得得阶阶矩矩阵阵，如如果果存存在在阶阶矩矩阵阵对对于于1 ABABAEBAABBnAn是是惟惟一一的的。可可逆逆，则则：如如果果性性质质11 AA。也也可可逆逆，且且可可逆逆，则则：如如果果性性质质A
2、AAA 111)(2。且且也可逆，也可逆，同阶且都可逆，则同阶且都可逆，则：如果：如果性质性质111)(,3 ABABABBA 。是是可可逆逆矩矩阵阵，则则有有：如如果果性性质质TTAAA114 。是是可可逆逆矩矩阵阵，则则有有：如如果果性性质质115AAA 重点回顾计算机数学5非非奇奇异异矩矩阵阵不可逆的）。不可逆的）。是奇异的（或退化的、是奇异的（或退化的、否则称否则称的、可逆的），的、可逆的），是非奇异的（或非退化是非奇异的（或非退化则称则称，的行列式的行列式阶矩阵阶矩阵如果如果AAAAn0 计算机数学6伴伴随随矩矩阵阵，设设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的伴
3、随矩阵。的伴随矩阵。称为称为矩阵矩阵AAAAAAAAAAAnnnnnn 212221212111的代数余子式。的代数余子式。中元素中元素是是),2,1,(njiaAAijij 计算机数学7求求逆逆公公式式可可逆逆时时，有有且且当当并并，可可逆逆的的充充要要条条件件是是矩矩阵阵AAA0 AAA11计算机数学8.)(.1的的是是是是实实数数，下下列列各各式式成成立立阶阶方方阵阵，是是设设 nAAADAACAABAAAnn .一、单项选择题一、单项选择题).(,21,.2，则则有有若若行行所所得得的的方方阵阵、中中第第是是只只对对换换阶阶方方阵阵是是若若BAABnA 0.0.0.0.BADBACAB
4、AA可可能能为为计算机数学9.)(4132.3 AAA的的伴伴随随矩矩阵阵，则则设设矩矩阵阵 4132,2132,2134,2134、DCBA计算机数学10.)(600540321.4 AAA的的伴伴随随矩矩阵阵，则则设设矩矩阵阵 45206120024,40056021224,40056021224,0001612454112121、DCBA计算机数学11.)(.5可逆的充要条件是可逆的充要条件是方阵方阵A0,0,0,0 ADACABAA、6.ABAB设设、为为同同阶阶方方阵阵，则则可可逆逆的的充充要要条条件件是是()0,0,0,0)(BDACABBABA、.)(.7 XBAXnA，则，则阶
5、可逆矩阵，且阶可逆矩阵，且为为设设BADABCBABBAA、,11 计算机数学12).(235.1 AAA，则则阶阶方方阵阵，且且是是若若).(53.22 AAA，则则阶阶方方阵阵，且且是是若若96 25二、填空题二、填空题。互互为为逆逆矩矩阵阵时时，、当当)(.3 ABBAE计算机数学13。，则则若若 1800075054.4AA81000343503537 可可逆逆。时时，矩矩阵阵当当 11100001)(.5kAk0 不不可可逆逆。时时，矩矩阵阵当当 121)(.6kAk21计算机数学14三、判断题三、判断题。，则则它它们们相相应应的的矩矩阵阵有有、若若两两个个行行列列式式BABA.6,
6、2093,3102BABABA ，但，但错！如：错！如：计算机数学15。，则则必必有有的的行行列列式式、若若矩矩阵阵OAAA 02.0,6342OAAA ，但，但错！如：错！如：计算机数学16。阶阶方方阵阵，则则均均为为、若若矩矩阵阵BABAnBA 3.24,131721,111521,02200,1721,1521BABABABABA 错！如：错！如：计算机数学17。，则则若若EAAA 1.4 10010110011001102AA就有就有错，例如：错，例如：计算机数学18法解方程组：法解方程组：我们来回顾一下用消元我们来回顾一下用消元 10352381283932321321321xxxx
7、xxxxx 103523812839321个个方方程程，如如上上所所示示：表表示示第第一一、第第二二、第第三三分分别别们们用用这这里里为为了了书书写写简简便便，我我321,rrr2r1r3r形形式式系系数数和和常常数数项项写写成成矩矩阵阵同同时时我我们们把把方方程程组组中中的的计算机数学19 8311329323232321xxxxxxx可可得得：13122,3rrrr 8310113209321 1132839323232321xxxxxxx可可得得：32rr 1132083109321计算机数学20 1132839323232321xxxxxxx可可得得：)1(2 r 1132083109
8、321 27983932332321xxxxxx可可得得：232rr 2790083109321计算机数学21 383932332321xxxxxx可可得得：)91(3 r 310083109321方方程程组组的的解解为为：再再利利用用迭迭代代就就可可以以求求出出 312321xxx内内容容。就就是是我我们们今今天天要要学学习习的的其其对对应应的的矩矩阵阵在在变变，这这算算，即即只只是是算算，未未知知量量没没有有参参加加运运系系数数和和常常数数项项进进行行了了运运对对方方程程组组的的方方程程组组的的过过程程中中，只只是是不不难难发发现现在在用用消消元元法法解解计算机数学22初初等等变变换换称称
9、为为矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换矩矩阵阵的的以以下下三三种种变变换换，交交换换矩矩阵阵的的两两行行).1(),(jirrji两行记作：两行记作：互换互换的的某某一一行行以以一一个个非非零零的的数数乘乘矩矩阵阵).2(个数加到另一行上个数加到另一行上把矩阵的某一行乘以一把矩阵的某一行乘以一).3()(ikrik行记作：行记作：乘第乘第数数)(ijkrrkij 倍记作：倍记作：行的行的行加上第行加上第在第在第计算机数学23矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换。成成了了上上述述定定义义也也就就相相应应的的变变，换换成成把把记记号号中中的的，列列换换成成行行如如果果把把定定义义中中的的cr。统统称称为
10、为矩矩阵阵的的初初等等变变换换等等列列变变换换矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换和和初初计算机数学24 103523812839321 8310113209321 1132083109321 1132083109321 2790083109321 310083109321 13122,3rrrr 32rr )1(2r 232rr )91(3r计算机数学25初初等等矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵。称称为为到到的的矩矩阵阵，经经过过一一次次初初等等变变换换所所得得阶阶单单位位阵阵nEn计算机数学26，得得：两两列列或或两两行行的的互互换换),(,).1(jijiE 10111101),(),(jiEj
11、iI行行第第 i行行第第 j列列第第 i列列第第 j计算机数学27，得得：乘乘以以非非零零常常数数列列或或第第行行的的第第kiiE)().2(1111)(kkiI行行第第 i列列第第 i计算机数学28倍倍，得得：的的列列行行加加上上第第列列行行的的第第在在kijjiE)()().3(11111)(,kkjiI行行第第 i行行第第 j列列第第 i列列第第 j计算机数学29有有以以下下性性质质：容容易易验验证证，初初等等矩矩阵阵具具等等矩矩阵阵。初初等等矩矩阵阵的的转转置置仍仍为为初初.1。初初等等矩矩阵阵均均为为可可逆逆矩矩阵阵.2初初等等矩矩阵阵，且且初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵仍仍为为.
12、3);,(),(1jiIjiI );1()(1kiIkiI ).(,()(,(1kjiIkjiI 计算机数学30:定定理理，则有：，则有：设设nmijnmaA )(.).1(AmA阶初等矩阵左乘阶初等矩阵左乘等于用相应的等于用相应的得的矩阵，得的矩阵，施行一次初等行变换所施行一次初等行变换所对对.).2(AnA阶初等矩阵右乘阶初等矩阵右乘等于用相应的等于用相应的得的矩阵，得的矩阵，施行一次初等列变换所施行一次初等列变换所对对计算机数学31 13253146020113246053120132rrAAE)3,2(1325314602011324605312011000001001000001 计
13、算机数学32 31264035102113246053120132ccA)3,2(312640351021010100001132460531201AE 计算机数学33矩矩阵阵等等价价.:BABABA等价，记为等价，记为与矩阵与矩阵就称矩阵就称矩阵，变成变成经过有限次初等变换后经过有限次初等变换后如果矩阵如果矩阵例如：例如：103523812839321 310083109321与与等价。等价。计算机数学34:定定理理：价矩阵价矩阵可以化为下面形式的等可以化为下面形式的等经过若干次初等变换，经过若干次初等变换，任意矩阵任意矩阵DaAnmijnm )(0011D行行第第 r列列第第 r )()(
14、)()(rnrmrrmrnrrOOOE的等价标准形。的等价标准形。称为矩阵称为矩阵矩阵矩阵AD计算机数学35的等价标准形。的等价标准形。：求：求例题例题 3431223211A解：解：131232rrrr 620520321 2123rrrr 100520201 343122321A 313225rrrr 100020001 )()1(2123rr 100010001计算机数学36的等价标准形。的等价标准形。：求：求例题例题 7230121012A解：解：131232rrrr 420210101 232rr 000210101 723012101A 23132cccc 000010001计算机数学37的的等等价价标标准准形形。练练习习：求求 210253143212A 000000100001210253143212A例例题题！具具体体过过程程见见教教材材85P计算机数学38课课 后后 作业作业计算机数学39
