1、1 排队论（排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是也称随机服务系统理论，是运筹学的一个主要分支。运筹学的一个主要分支。1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A.K.Erlang的开创性论文的开创性论文“概率论和电话通讯理论概率论和电话通讯理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话，标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各
2、领运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领域中均得到应用。域中均得到应用。2排队结构服务机构顾客源顾客到达排队规则服务规则离去图1 排 队系统示意图 排队系统一般有三个基本组成部分：排队系统一般有三个基本组成部分：1.1.输输入过程；入过程；2.2.排队规则；排队规则；3.3.服务机构。现分别说服务机构。现分别说明：明：3输入即为顾客的到达，可有下列输入即为顾客的到达，可有下列3 3种情况：种情况：1）顾客来源。顾客总体）顾客来源。顾客总体(称为顾客源称为顾客源)的组成可能是有的组成可能是有限的，也可能是无限的。如，上游河水流入水库可以限的，也可能是无限的。如，上游河水流入水库可以认为总体
3、是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有认为总体是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有限的总体。限的总体。2）顾客到达方式。顾客到来的方式可能是一个一个）顾客到达方式。顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。如，到餐厅就餐就有单个到来的，也可能是成批的。如，到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客。的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客。43 3）顾客流的概率分布。顾客随机一个）顾客流的概率分布。顾客随机一个(批批)个个(批批)来来到排队系统，顾客流的概率分布用来描述相继到达的到排队系统，顾客流的概率分布用来描述相继到达的顾客之间的间隔时间分布是确定的还是随机的，分布顾客之间
4、的间隔时间分布是确定的还是随机的，分布参数是什么，到达的间隔时间是否独立，分布是随时参数是什么，到达的间隔时间是否独立，分布是随时间变化的还是平稳的。间变化的还是平稳的。5 1）损失制。顾客到达时，如果所有的服务台都被）损失制。顾客到达时，如果所有的服务台都被占用，且服务机构又不允许顾客等待，顾客只能离占用，且服务机构又不允许顾客等待，顾客只能离去，这种服务规则就是损失制。去，这种服务规则就是损失制。2）等待制。当顾客到达时，如果所有服务台都被顾）等待制。当顾客到达时，如果所有服务台都被顾客占用而无空闲，这时该顾客自动加入队列排队等客占用而无空闲，这时该顾客自动加入队列排队等待服务，服务完才离
5、开。待服务，服务完才离开。（1 1）先到先服务先到先服务 FCFS FCFS（2 2）后到先服务）后到先服务 LCFSLCFS（3 3）随机服务）随机服务RAND RAND （4 4）有优先权服务）有优先权服务 PRPR。6 1 1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构，如：列，不同形式的排队服务机构，如：112n.12n。单队单服务台多队多服务台（并列)单队多服务台（并列）12n.12312单队多服务台（串列）混合形式7 上述特征中最主要
6、的、影响最大的是：上述特征中最主要的、影响最大的是：顾客相继到达的间隔时间分布顾客相继到达的间隔时间分布服务时间的分布服务时间的分布服务台数服务台数 D.G.KendallD.G.Kendall，19531953提出了分类法，称为提出了分类法，称为KendallKendall记号记号(适用于并列服务台适用于并列服务台)即：即：X/Y/Z:A/B/CX/Y/Z:A/B/C 2)2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。3)3)服务时间分为确定型和随机型。服务时间分为确定型和随机型。4)4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。服务时间的分布在这里我们假定
7、是平稳的。8 式中：式中：X顾客相继到达间隔时间分布。顾客相继到达间隔时间分布。M负指数分布负指数分布Markov，D确定型分布确定型分布Deterministic，EkK阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布Erlang，GI 一般相互独立随一般相互独立随机分布机分布(General Independent)，G 一般随机分布。一般随机分布。Y填写服务时间分布（与上同）填写服务时间分布（与上同）Z填写并列的服务台数填写并列的服务台数A排队系统的最大容量排队系统的最大容量B顾客源数量顾客源数量 C排队规则排队规则 如如 即为顾客到达为泊松过即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无程，
8、服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。限源，先到先服务的排队系统模型。9系统指标系统指标(1)队长，指在系统中的顾客数，它的期望值记队长，指在系统中的顾客数，它的期望值记Ls；(2)排队长，指在系统中排队等待服务的顾客数，它的排队长，指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作期望值记作Lq 系统中顾客 数在队列中等待服务的顾客数正 被 服务 的 顾客数+=一般情形，一般情形，Ls(或或Lq)越大，说明服务效率越低。越大，说明服务效率越低。10(3)逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作间，它的期望值记作W
9、s；(4)等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作时间，它的期望值记作Wq；等待时间 服务时间+逗留时间=11 1.1.排队系统的统计推断排队系统的统计推断:即通过对排队系统主即通过对排队系统主要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。据排队理论进行研究。2.2.系统性态问题系统性态问题:即研究各种排队系统的概率即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙规律性，主要研究队
10、长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。包括了瞬态和稳态两种情形。3.3.最优化问题：即包括最优设计最优化问题：即包括最优设计(静态优化静态优化)，最优运营（动态优化）。最优运营（动态优化）。12 求解一般排队系统问题的目的主要是通过求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：排
11、队问题的一般步骤：1.1.确定或拟合排队系统顾客到达的时间确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布间隔分布和服务时间分布(可实测可实测)。2.2.研究系统状态的概率。系统状态是指研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用系统中顾客数。状态概率用P Pn n(t)(t)表示表示,即在即在t t时刻系统中有时刻系统中有n n个顾客的概率，也称瞬态概率。个顾客的概率，也称瞬态概率。13 求解状态概率求解状态概率P Pn n(t)(t)方法是建立含方法是建立含P Pn n(t)(t)的微分差的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由分方程，通过求解微分差分方程得
12、到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的如果存在的话话)：nttnp)(plim 稳态的物理意义见右图，稳态的物理意义见右图，系统的稳态一般很快都系统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。到稳态的现象也存在。值得注意的是求稳态概值得注意的是求稳态概率率P Pn n并不一定求并不一定求t的的极限极限,而只需求而只需求P Pn n(t)=0(t)=0 即可。即可。过渡状态 稳定状态 pn t 图3 排队系统状态变化
13、示意图 称为稳态称为稳态(steady state)(steady state)解，或称统计平衡状态解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)(Statistical Equilibrium State)的解。的解。14 排队系统的组成与特征排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布理论分布 稳态概率稳态概率P Pn n的计算的计算 标准的标准的M/M/1M/M/1模型模型(M/M/1:/FCFS)/FCFS)系统容量有限制的系统容量有限制的模型模型M
14、/M/1:N/FCFS/FCFS 顾客源有限模型顾客源有限模型M/M/1/M/M/FCFSFCFS 标准的标准的M/M/CM/M/C模型模型M/M/C:/FCFS/FCFS15 M/M/C型系统和型系统和C个个M/M/1型系统型系统 系统容量有限制的多服务台模型系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/)顾客源为有限的顾客源为有限的多服务台模型多服务台模型(M/M/C/M)(M/M/C/M)一般服务时间的（一般服务时间的（M/G/1M/G/1）模型）模型 Pollaczek-Khintchine(P-K)公式公式定长服务时间定长服务时间 M/D/1M/D/1模型模型 爱尔朗服务时间爱尔朗服
15、务时间M/Ek/1模型模型 排队系统优化排队系统优化 M/M/1 模型中的最优服务率模型中的最优服务率u 标准的标准的M/M/1Model 系统容量为系统容量为N的情形的情形 M/M/C模型中最优服务台数模型中最优服务台数C16 一个排队系统的最主要特征参数是一个排队系统的最主要特征参数是顾客的到达间隔时间分布与服务时间分顾客的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现存系统原始资料间分布需要首先根据现存系统原始资料统计出它们的统计出它们的经验分布经验分布（见（见P315P315319319），），然后与理论分布然后与理
16、论分布拟合拟合，若能照应，我们，若能照应，我们就可以得出上述的分布情况。就可以得出上述的分布情况。17 经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。经验数据服从该假设分布。分布的拟合检验一般采用分布的拟合检验一般采用 2检验。由数理统检验。由数理统计的知识我们知：若样本量计的知识我们知：若样
17、本量n充分大充分大(n50)，则，则当假设当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度为真时，统计量总是近似地服从自由度为为k-r-1的的 2分布，其中分布，其中k为分组数，为分组数，r为检验分为检验分布中被估计的参数个数。布中被估计的参数个数。18tnnenttP !)(式中式中为常数为常数(0)0)，称，称X X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，若在上式中引入时间参数若在上式中引入时间参数t t，即令，即令tt代替代替，则有：，则有：在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变量为量为X，则有：，则有：!nenxPn n=0,1,2,（1）与时
18、间有关的随机变量的概率与时间有关的随机变量的概率，是一个，是一个随机过程随机过程，即即泊松过程泊松过程。t0，n=0,1,2,（2）19)()(,1221ntNtNPttPn（t2t1，n0）若设若设N(t)N(t)表示在时间区间表示在时间区间0,t)0,t)内到达的顾客数内到达的顾客数(t0),P(t0),Pn n(t(t1 1,t,t2 2)表示在时间区间表示在时间区间tt1 1,t,t2 2)(t)(t2 2tt1 1)内有内有n(0)n(0)个顾客到达的概率。即：个顾客到达的概率。即：在一定的假设条件下在一定的假设条件下 顾客的到达过程就是顾客的到达过程就是一个泊松过程。一个泊松过程。
19、当当P Pn n(t(t1 1,t,t2 2)符合下述三个条件时，顾客到达过程符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流顾客到达形成普阿松流)。20 无后效性：无后效性：各区间的到达相互独立各区间的到达相互独立,即即MarkovMarkov性。性。.t0 t1 t2 tn-1 tn|)(|)(11112211)()(,.,)(,)(nnnnxtxnxtxxtxxtxnntxPntxP 也就是说过程在也就是说过程在t+tt+t所处的状态与所处的状态与t t以前所处的状以前所处的状态无关。态无关。平稳性：平稳性：即对于足够小的即对于足够小的tt，有：，有：)()
20、(tttttP ，1普阿松流具有如下特性：普阿松流具有如下特性：在在t,t+tt,t+t内有一个顾客到达的概率与内有一个顾客到达的概率与t t无关无关,而与而与tt成正比。成正比。21 普通性：普通性：对充分小的对充分小的t,t,在时间区间（在时间区间（t,t+tt）内有内有2 2个或个或2 2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小.由此知，在由此知，在(t，t+t)t)区间内没有顾客到达的概率为：区间内没有顾客到达的概率为：)(1),(0tottttP 令令t1 1=0,t=0,t2 2=t,=t,则则P(tP(t1 1,t,t2 2)=P)=Pn n(0,t)
21、=P(0,t)=Pn n(t)(t)0 0 是常数，它是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称为表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。概率强度。2)(),(nntotttP 即即 P P0 0+P+P1 1+P+P22=1=1 在上述假设下，在上述假设下，t t时刻系统中有时刻系统中有n n个顾客的概率个顾客的概率p pn(t)n(t)：22 A n pn(t)01-t+(t)pn(t)(1-t+(t)B n-1 pn-1(t)1t pn-1(t)t(t)(t)n-2 Pn-2(t)2 C n-3 Pn-3(t)3 0 P0(t)n)()(1)1)()(tttnPttnPttnP)()(1)(
22、)()(ttntPtntPtnPttnPtttnPtnPttnPttnP)()(1)()()(23)()()(1tPtPdttdPnnn(1)(1)()(00tPdttdP1)0(0P(2)(2)当当n=0时，则时，则 te)t(P 0(3)(3)（没有顾客到达的概率）（没有顾客到达的概率）（n n个顾客到达的概率）个顾客到达的概率）tnnenttP !)()(（4 4）瞬态方瞬态方程程（1 1）、（）、（2 2）两式求导并令导数为）两式求导并令导数为0 0，得稳态概率：，得稳态概率：0)0(nP24 级数级数.!nx.!xxenx 212 tkke!k)t(0!)()()(11ntnetnP
23、tNEnntnn )!1()(11 nttennt 令令k=n-1，则：，则：!)()(0kttetNEkkt tetetNEtt )(ttar )(N(V 同理方差为：同理方差为：顾客到达过程是一个顾客到达过程是一个泊松过程泊松过程(泊松流泊松流)。期望期望25 表示单位时间内顾客平均到达数。表示单位时间内顾客平均到达数。1/表示顾客到达的平均间隔时间。表示顾客到达的平均间隔时间。对顾客的服务时间对顾客的服务时间：系统处于忙期时系统处于忙期时两顾客相继离两顾客相继离开系统的时间间隔开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，一般地也服从负指数分布，1TE21 TVar 接受服务，然后离开接受服
24、务，然后离开服务时间的分布：服务时间的分布：可以证明可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到当输入过程是泊松流时，两顾客相继到达的时间间隔达的时间间隔T T独立且服从负指数分布。（等价）独立且服从负指数分布。（等价）tetF 1)(tetf )(，则，则26其中：其中：表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。服务率。1/1/表示一个顾客的平均服务时间。表示一个顾客的平均服务时间。设设v v1 1,v,v2 2，,v,vk k是是k k个独立的随机变量，服从相同个独立的随机变量，服从相同参数参数 k k 的负指数分布，那么：的负指数分布，那么：te
25、tF 1)(tetf )(，则，则 令令 ，则，则称为服务强度称为服务强度。kT 2127 串联的串联的k k个服务台个服务台，每台服务时间相互独立，服，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数从相同的负指数分布（参数k k），那么一顾客走完），那么一顾客走完k k个服务台总共所需要服务时间就服从上述的个服务台总共所需要服务时间就服从上述的k k阶阶ErlangErlang分布。分布。011 te)!k()kt(k)t(ftkkk 则称则称T服从服从k阶阶爱尔朗分布。其特征值为：爱尔朗分布。其特征值为：1TE21 kTVar,其概率密度是其概率密度是1/k1/k表示一个顾客的一个服务台
26、的平均服务时间。表示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。28 例例:有易碎物品有易碎物品500500件件,由甲地运往乙地由甲地运往乙地,根据以根据以往统计资料往统计资料,在运输过程中易碎物品按普阿松流发在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎生破碎,其破损率为其破损率为0.002,0.002,现求现求:1.:1.破碎破碎3 3件物品的件物品的概率概率;2.;2.破碎少于破碎少于3 3件的概率和多于件的概率和多于3 3件的概率件的概率;3.;3.至少有一件破损的概率至少有一件破损的概率.解解:=0.002500=1 1 1破碎破碎3 3件物品的概率为件物品的概率为:P(k=3)=(P(k=3)=(
27、3 3/3/3！)e)e-=(1=(13 3/3/3！)e)e-1-1=0.0613=0.0613 即物品破碎即物品破碎3 3件的概率为件的概率为6.136.13 2.2.破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率件的概率:29 破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率为件的概率为91.9791.97 破碎物品多于破碎物品多于3 3件的概率为件的概率为:02.098.01!1330 kkekp 3.3.至少有一件破碎的概率为至少有一件破碎的概率为 PkPk 1=1-(11=1-(1k k/k!)e/k!)e-=1-(1=1-(10 0/0!)e/0!)e-1-1=0.632=0.632 9197.0
28、21112120 eeknp30 对排队模型，在给定输入和服务条件下，主要对排队模型，在给定输入和服务条件下，主要研究系统的下述运行指标：研究系统的下述运行指标：(1)(1)系统的系统的平均队长平均队长LsLs(期望值期望值)和和平均队列长平均队列长LqLq(期望值期望值)；(2)(2)系统中系统中顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间WsWs与队列中与队列中平均等平均等待时间待时间WqWq；本节只研究本节只研究M/M/1M/M/1模型，下面分三种情况讨论：模型，下面分三种情况讨论：31 系统中有系统中有n n个顾客个顾客M/M/1:/FCFS/FCFS模型模型 在任意时刻在任意时刻t t，状态为，
29、状态为n n的概率的概率P Pn n(t)(t)（瞬态概率），（瞬态概率），它决定了系统的运行特征。它决定了系统的运行特征。已知顾客到达服从参数为已知顾客到达服从参数为的泊松过程，服务时的泊松过程，服务时间服从参数为间服从参数为的负指数分布。现仍然通过研究区间的负指数分布。现仍然通过研究区间 t，t+tt）的变化来求解。在时刻）的变化来求解。在时刻t+tt，系统中有，系统中有n n个顾客不外乎有下列四种情况（个顾客不外乎有下列四种情况（t，t+tt）内到达）内到达或离开或离开2 2个以上个以上没列入）。没列入）。？32区区间间(t t,t+t t)情情况况 时时刻刻t t的的顾顾客客 到到达达
30、 离离去去 时时刻刻t+t t的的顾顾客客 (t t,t+t t)的的概概率率 0 0,t+t t 的的概概率率 A n n 1-t+O(t)1-t+O(t)Pn(1-t+O(t)（1-t+O(t)）B n+1 n 1-t+O(t)t+O(t)Pn+1(1-t+O(t)（t+O(t)）C n-1 n t+O(t)1-t+O(t)Pn-1(t+O(t)（1-t+O(t)）D n n t+O(t)t+O(t)Pn(t+O(t)（t+O(t)）由于这四种情况是互不相容的，所以由于这四种情况是互不相容的，所以Pn(t+t)t)应应是这四项之和，则有：是这四项之和，则有：tttPtttPtttPttPn
31、nnn)1)()()1)(1)()(1)()1()(1tOtttPn 所有的高阶无所有的高阶无穷小合并穷小合并33)t(Ot)t(Pt)t(P)tt)(t(Pnnn 111t)t(O)t(P)()t(P)t(Pt)t(P)tt(Pnnnnn 11 令令t0t0，得关于，得关于P Pn n(t)(t)的微分差分方程：的微分差分方程：)()()()()(11tPtPtPdttdPnnnn(1)当当n=0时，只有表中的（时，只有表中的（A）、（）、（B）两种情况，）两种情况，因为在较小的因为在较小的tt内不可能发生（内不可能发生（D D）（到达后即离）（到达后即离去），若发生可将去），若发生可将tt
32、取小即可。取小即可。)t()t)(t(P)t)(t(P)tt(P 11100)t(P)t(Pdt)t(dP100 (2)(2)生生灭灭过过程程瞬瞬态态解解34 由此可得该排队系统的由此可得该排队系统的状态转移图状态转移图：由（由（4）得：）得：001PPP 其中其中服务强度服务强度 将其代入（将其代入（3）式并令）式并令n=1,2,(也可从状态转移也可从状态转移图中看出状态平衡方程图中看出状态平衡方程)得：得：关于关于Pn的差的差分方程分方程 n-1n-1 n n n+1n+1 2 2 0 0 1 1 稳态时，稳态时，它 对 时它 对 时间的导数为间的导数为0，所以由，所以由(1)、(2)两式
33、得：两式得：Pn(t)与时间无关与时间无关,可以写成可以写成Pn,011 nnnP)(PP010 PP(3)(3)(4)(4)350120 P)(PP n=1n=10020 P)(PP 0202021PP)(P)(P n=2n=20231 P)(PP00230 P)(PP 0303022231PP)(P)(P 36 以此类推以此类推，当，当n=n时，时，00)(PPPnnn (5)(5)1 10 nnP 以及概率性质知：以及概率性质知：111000 PPnn(数列的极限为数列的极限为 )11 10Pnn)(P 1(6)(6)否则排队无限远否则排队无限远 系统系统稳态稳态概率概率系统的运行指标系
34、统的运行指标37 (1)系统中的队长系统中的队长Ls（平均队长）（平均队长）nnnnsnPnL 001.)(n.)()()(n 11312132.nn.nn 1433223322 132.n(01)1 Ls 即即:(7)(7)期望期望38(2)队列中等待的平均顾客数队列中等待的平均顾客数Lq nnnnqnPnL 111)1()1(nnnn)(n 1111 12sL(8)(8)(3)顾客在系统中的平均逗留时间顾客在系统中的平均逗留时间Ws 顾客在系统中的逗留时间是随机变量，可以证顾客在系统中的逗留时间是随机变量，可以证明，它服从参数为明，它服从参数为-的负指数分布，分布函数的负指数分布，分布函数
35、 11nn39 和密度函数为：和密度函数为：w)(e)w(F 1w)(e)()w(f （w00）)WsLs(1wEWs (4)(4)顾客在队列中的平均逗留时间顾客在队列中的平均逗留时间W Wq q 111WsWq)WqLq(等待时等待时间间 顾客在队列中的平均逗留时间应为顾客在队列中的平均逗留时间应为W Ws s减去平均服减去平均服务时间。务时间。考虑考虑L LS S与与W WS S的关的关系系40 四个指标的关系为四个指标的关系为(Little Little 公式公式)：系统处于空闲状态的概率：系统处于空闲状态的概率：10P 系统处于繁忙状态的概率：系统处于繁忙状态的概率：010PnP)(服
36、服务务强强度度ssqsLLLL 1qqssWLWL 41 在繁忙状态下，队列中的平均顾客数在繁忙状态下，队列中的平均顾客数L Lb b：Ls)N(PLLqb 0 顾客平均等待时间顾客平均等待时间:Ws)N(PWWqb 10 忙期的平均长度忙期的平均长度:1B 1IB(由由 来来)一个忙期平均服务的顾客数为：一个忙期平均服务的顾客数为：111 L Lb bP P(N0)(N0)=L=Lq q42例：例：某医院手术室根据病人来诊和完成手某医院手术室根据病人来诊和完成手术的时间记录，任意抽查术的时间记录，任意抽查100个工作小时，个工作小时，每小时来就诊的病人数每小时来就诊的病人数n的出现次数如表的
37、出现次数如表9-4。又任意抽查了。又任意抽查了100个完成手术的病历，个完成手术的病历，所用时间所用时间v(小时小时)出现的次数如表出现的次数如表9-5。计算。计算手术室的各项指标手术室的各项指标。43到达的病人到达的病人数数n n出现次数出现次数f fn n0 010101 128282 229293 316164 410105 56 66 6以上以上1 1合计合计100100为病人完成手术时为病人完成手术时间间v(v(小时小时)出现次出现次数数f fv v0.00.00.20.238380.20.20.40.425250.40.40.60.617170.60.60.80.89 90.80.
38、81.01.06 61.01.01.21.25 51.21.2以上以上0 0合计合计100100 表9-4 表9-5441.1.参数的确定参数的确定算出每小时病人平均到达率算出每小时病人平均到达率 2.1(2.1(人人/小时小时)每次手术平均时间每次手术平均时间 0.4(0.4(小时小时/人人)每小时完成手术人数每小时完成手术人数(平均服务率平均服务率)2.5(2.5(人人/小时小时)2.2.取取2.12.1，2.52.5，可以通过统计检验的方法，可以通过统计检验的方法(例如例如2 2检检验法验法)，认为病人到达数服从参数为，认为病人到达数服从参数为2.12.1的普阿松分布，手的普阿松分布，手
39、术时间服从参数为术时间服从参数为2.52.5的负指数分布。的负指数分布。3.3.它说明服务机构它说明服务机构(手术室手术室)有有8484的时间是繁忙的时间是繁忙(被利用被利用)，有，有1616的时间是空闲的。的时间是空闲的。2.10.842.5100nnf100vvf454.4.依次算出各指标：依次算出各指标：在病房中病人数在病房中病人数(期望值期望值)排队等待病人数排队等待病人数(期望值期望值)病人在病房中逗留时间病人在病房中逗留时间(期望值期望值)病人排队等待时间病人排队等待时间(期望值期望值)2.15.25()2.52.1sL 人0.84 5.254.41()qL 人12.5()2.52
40、.1sW 小时0.842.1()2.52.1qW 小时46+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3
41、F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiU
42、lXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A
43、2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp&w-z1D4G7JbMePhTk
44、WoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1
45、C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfR
46、jUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlX&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3
47、F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiT
48、lXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPgWoZr%u(x+B2E
49、5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTk
50、WnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNelXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G
