1、高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 1 页页 共共 12 页页 试卷类型：试卷类型：A 肇庆市肇庆市 2020 届高中毕业班第三次统一检测届高中毕业班第三次统一检测 文文科数学科数学 注意事项注意事项： 1答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色字迹的签 字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。 第第卷卷 一、一、 选择题：本大题共选择题：本大题共 1
2、2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要一项是符合题目要求的求的. 1已知集合 2 |10 ,|280Ax xBx xx ，则=AB A4, B1,4 C1,2 D2, 2复数z满足2 3 4i zi，则z= A.2i B. 2 i C. 1 2i D. 1 2i 3在等差数列 n a中，前n项和 n S满足 83 45SS，则 6 a的值是 A. 3 B 5 C 7 D 9 4在ABC中，ABACABAC，4,3ABAC，则BC在BA方向上的投影是 A. 4 B. 3 C. 4 D. 3 5设
3、 , x y满足约束条件 , 01 02 0 y yx yx ，则2zxy的最大值是 A.0 B. 3 C. 4 D . 5 6命题 :p 曲线 2 yx的焦点为 1 0 4 ，；命题 :q 曲线 2 2 1 4 y x的渐近线方程为 2yx ； 下列为真命题的是 A.p q B. pq C. pq D . pq 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 2 页页 共共 12 页页 7某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收 入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变 化.下图给出了该企业这两年不同运营成本
4、占全年总收入的比例，下列说法正确的是 A该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和 B该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业2018年其它费用是2017年工资金额的 1 4 D该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍 8函数 3 e1 ( ) (e1) x x f x x (其中e为自然对数的底数)的图象大致为 9已知, x y的取值如右表， 从散点图可以看出y与x线性 相关，且回归方程为0.95yxa，则a A3.25 B2.6 C2.2 D0 10如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥 的三视图
5、如右图所示，则该棱锥的外接球的表面积为 A4 B6 C8 D12 11. 已知 3 2log 2a ， 1.5 2b ， 0.5 2c ，则 Aabc Bcab Cbca Dbac 12在正三棱锥PABC中， ,PA PB PC两两垂直， 2PA ，点E在线段AB上，且 2AEEB，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 A 8 9 B 11 18 C 5 12 D 4 9 A O y x O y x B O y x C O y x D 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 3 页页 共共 12 页页 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和
6、选考题两部分. 第第 13 题题第第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第第 22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？题意是：有 两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一 尺，以后每天减半”，如果墙厚 31 64
7、32 尺，_天后两只老鼠打穿城墙 14曲线 2 1 yx x 在点1,2处的切线方程为 . 15已知为锐角， 5 cos 413 ，则sin . 16 已知点P是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 左支上一点, 2 F是双曲线的右焦点， 且双 曲线的一条渐近线恰是线段 2 PF的中垂线,则该双曲线的离心率是 . 三、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知在ABC中，角ABC、 、对应的边分别为abc、 、，sinsin 2 BC baB （1）求A； （2）若4,6bc，求sin
8、B的值 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 4 页页 共共 12 页页 18.（本小题满分 12 分） 某快递公司为了解本公司快递业务情况， 随机调查了100个营业网点， 得到了这些营业网 点2019年全年快递单数增长率x的频数分布表： x的分组 0.20,0 0,0.20 0.20,0.40 0.40,0.60 0.60,0.80 营业网点数 2 24 53 14 7 （1） 分别估计该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例和快递单数负增长 的营业网点比例； （2）求2019年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数 据用该组区间的中点值作为代表）
9、.（精确到0.01） 参考数据：748.602 19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A是边长为2的菱形，且 1 CACB. （1）证明： 11 CBACB A面面； （2）若 0 1 60BAA， 11 ACBCBA，求点C到 平面 11 ABC的距离 C1 B1 A B A1 C 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 5 页页 共共 12 页页 20.（本小题满分 12 分） 已知点 1 F为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点， 2 1, 2 P 在椭圆上， 1 PFx轴 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线:
10、 l ykxm与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且OAOB，O 到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21.（本小题满分 12 分） 设函数 2 0 ex axxa f xa . （1）求 f x的单调区间； （2）当0x时， 2 e0 x axxa成立，求正实数a的取值范围 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 6 页页 共共 12 页页 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，作答时， 请用请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上
11、将所选题号后的方框涂黑. （22） （本小题满分 10 分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为 2 2 1 2 x y.在以原点O为极点，x轴正半轴为 极轴的极坐标系中，P的极坐标为 3, 3 ，直线l过点P. （1）若直线l与OP垂直，求直线l的极坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于,A B两点，且 13 8 PA PB ，求直线l的倾斜角. （23） （本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 设函数( ) |f xxaxb，0ab. （1）当1,1ab时，求不等式 3f x 的解集；来源 X （2）若( )f
12、x的最小值为2，求 41 ab 的最小值. 2020 届高中毕业班第届高中毕业班第三三次统一检测题次统一检测题 文文科数学科数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D A D B B D B B C A 二、填空题二、填空题 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 7 页页 共共 12 页页 13 6 14 10xy 15 72 26 16 5 三、解答题三、解答题 （17） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）由sinsin 2 BC baB 及正弦定理 可得sin
13、sinsinsin 2 BC BAB （2 分） 因为ABC，所以 sinsinsinsinsincos 222 BCAA BBB ， 又sinsin=2sincossin 22 AA ABB，所以sincos=2sincossin 222 AAA BB （4 分） 因为0,0AB，所以cos0,sin0 2 A B 所以 1 sin 22 A ，因此 26 A ，即 3 A （6 分） （2）法一：由余弦定理可得 222 1 2cos16362 4 628 2 abcbcA 所以2 7a . （9 分） 由正弦定理得 sinsin ba BA ，得 sin21 sin 7 bA B a （1
14、2 分） 法二：由正弦定理及ABC得 2sinsinsin sin 3 bccc BCBA B 代入数据得3sin3cossinBBB，即 2 cossin 3 BB （9 分） 结合 22 cossin1BB 得 2 3 sin 7 B ，又因为0B， 21 sin 7 B （12 分） （1 18 8） （本小题满分） （本小题满分 1 12 2 分）分） 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 8 页页 共共 12 页页 解： （1）根据频数分布表得，所调查100个营业网点中，快递单数增长率不低于40%的营业 网点的频率为14 7 =0.21 100 ， 快递单数负增长的营业网点
15、的频率为 2 =0.02 100 ， （4 分） 用样本频率分布估计总体分布得该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例为 21%，快递单数负增长的营业网点比例为2%. （5 分） （2） 22453147 0.100.100.300.500.700.30 100100100100100 x （7 分） 222 2 22 22453 0.100.30.100.30.300.3 100100100 147 0.500.30.700.3 100100 s 74 = 2500 （注： 7437 =0.0296 25001250 ） （10 分） 741 740.02 8.6020.17 25
16、0050 s 所以求2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值为30%， 标准差的估计值为17% . （12 分） （19） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） （1）设 11 ABABO，连接CO.因为侧面 11 ABB A是菱形， 所以 11 ABAB， （2 分） 又因为 1 CACB，所以 1 COAB，又 1 ABCOO， 所以 11 ABCAB面，又 11 ABCAB面，所以 11 CBACB A面面. （5 分） （2）在菱形 11 ABB A中，因为 0 1 60BAA，所以 1 ABA是等边三角形，可得 1 2AB ，所 以 1 2BCBB，所以侧面 11
17、BBCC是菱形，故 11 CBC B， （*） （6 分） 在等边三角形 1 CAB中， 1 ABCO， 又 11 ABAB， 且 1 COABO， 所以 11 ABCAB面， 又 11 CBCAB面，所以 11 CBAB， （9 分） 结合（*）以及 11 ABC BB得 111 CBAC B面，设 11 CBC BH， H O C1 B1 A B A1 C 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 9 页页 共共 12 页页 则线段CH的长就是点C到平面 11 ABC的距离. （10 分） 经计算得 1 3,3COOB ， 22 11 6CBCOOB， 所以 6 = 2 CH，即点C
18、到平面 11 ABC的距离为 6 2 . （12 分） （20） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）依题意可得 1 1,0F ，右焦点 2 1,0F， （1 分） 12 23 2 2 22 22 PFPFa，所以 222 2,1,1acbac， （3 分） 椭圆方程为 2 2 1 2 x y （4 分） （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 2 2 1 2 x y ykxm 可得 222 (21)4220kxkmxm （5 分） 2 1212 22 422 ,. 2121 kmm xxx x kk （6 分） 22 12121212 222 2
19、2 222 ()()() 2242 . 212121 y ykxm kxmk x xkm xxm mkmmk kkmm kkk （8 分） 由 22222 1212 222 222322 =0 212121 mmkmk OA OB x xy y kkk 得 22 32(1)mk （10 分） 原点O到直线l的距离为 2 2 6 33 1 2 mm k m （12 分） （21） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 10 页页 共共 12 页页 解： （1） 2 21111 xx axaxaxaxa fx ee （2 分） 令 0fx ，
20、得1x 或 1 1x a ，因为0a ，所以 当 1 1x a 或1x 时， 0fx ；当 1 11x a 时， 0fx ， 所以 f x的单调增区间为 1 1,1 a ，减区间为 1 ,1, 1, a . （5 分） （2）由 2 e0 x axxa可得 2 1 ex axxa . （6 分） 由（1）可知，当 1 10 a ，即01a时， f x在0,1单调递增，在1,上单调递减， max 12 1 a f xf e （8 分） 依题意有1 2 1 a e ，即 1 2 e a ； （9 分） 当1a 时， 123 11 a f ee ，与题意矛盾. （11 分） 所以a的取值范围是 1
21、0, 2 e （12 分） （22） （本小题满分） （本小题满分 10 分）分） 解： （1）法一：设,M 是直线l上除P外的任意一点，连接OM，在Rt OPM中， cos3 3 OP ； （3 分） 经检验 3, 3 P 满足cos3 3 ， 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 11 页页 共共 12 页页 所以直线l的极坐标方程为cos3 3 （4 分） 法二：P的直角坐标为 3 3 , 22 ， （1 分） OP的斜率3 OP k，直线l的斜率为 3 3 ， （2 分） 所以直线l的直角坐标方程为 333 232 yx ，即 3 2 3 yx （4 分） 化为极坐标方程为
22、3 sincos20 3 （5 分） （2）P的直角坐标为 3 3 , 22 ， （如果第一问求出P的直角坐标,这里不再给分） （5 分） 设直线l的参数方程为 3 cos , 2 0 3 sin, 2 xt yt ， （6 分） 与 2 2 1 2 x y联立并整理得 22 13 1 sin3cos6sin0 4 tt （*） （7 分） 12 2 13 13 4 1 sin8 PA PBt t （8 分） 得sin1，所以 0 90，此时方程（*）的判别式为100 所以直线l的倾斜角为 0 90 （10 分） （23） （本小题满分） （本小题满分 10 分）分） 解： （1）原不等式等价
23、于113xx ， 当1x时，可得11 3xx ，得 3 1 2 x； （1 分） 当11x 时，可得11 3xx ，得23成立； （2 分） 当1x时，可得11 3xx ，得 3 1 2 x ； （3 分） 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 12 页页 共共 12 页页 综上所述，原不等式的解集为 33 | 22 xx （5 分） （2）( ) |f xxaxbba，当且仅当0xaxb时等号成立 （6 分） 所以( )f x的最小值为ba，即=2ba （7 分） 又因为0ab，所以=2baab， （8 分） 414114114149 =552 2222 bab a ab ababababab 当且仅当 4 ba ab 时，等号成立，所以 41 ab 的最小值为 9 2 （10 分） 法二：( ) |f xxaxbba （6 分） 当且仅当0xaxb时等号成立 所以( )f x的最小值为ba，即=2ba （7 分） 411 4114114 =5 222 ba abab abababab 又因为0ab，所以 4 0,0 ba ab ，所以 4114149 552 222 bab a ababa b 当且仅当 4ba ab 时，等号成立，所以 41 ab 的最小值为 9 2 （10 分）
