1、传热学-3、复杂导热过程及2维导热的分离变量法机械工程学院机械工程学院2内容预备知识1二维矩形薄板导热分析2机械工程学院31.预备知识 二阶常微分齐次方程(欧拉方法求解)常微分方程的解的叠加特性(线性常微分与线性偏微分方程)函数的Fourier展开分析机械工程学院4二阶常微分齐次方程-欧拉方法求解0 cyyby xgy 02cbrr特征方程2422,1acbbr双实根单实根复数根xrxrBeAey2100 xreBxAy10 xBxAeyxsincos 1Re r 1Im r机械工程学院5(齐次)微分方程解的叠加性0 cyyby如果方程有两个特解g(x)和h(x)，且g(x)和h(x)不线性相
2、关，则方程的通解可表示为:g(x)+h(x)tctp2tcp201,nnyxtyxt级数收敛，切可求二阶导数2222zyx机械工程学院6函数的Fourier展开分析 xxxxxx3sin,2sin,sin;,3cos,2cos,cos,1函数系的正交性kji,10sincos2innnxbnxaaxf,定义在xf dxnxxfancos dxnxxfbnsin dxxfa0l 即，取一系列正交函数，那么这些正交三角函数的级数和可构成任意函数。l 而正交函数的系数可通过正交特性来进行求解机械工程学院7续 10sincos2innlxnblxnaaxf llxf,定义在 llndxlxnxflac
3、os1 llndxlxnxflbsin1 lldxxfla10 lndxlxnxflb0sin2 1sininlxnbxflx,0机械工程学院8例子-4-2024-101sum to sin17xf(x)=1 or-1 f(x)x(-)(4/)sinx(4/3)sin3x(4/5)sin5xsum to sin11xFourier Expansion of f(x)=-1,or 1.1-2ksin1-2k4.sin9x94sin7x74sin5x54sin3x34sinx4xxff(x)=-1,or 1机械工程学院92.二维矩形薄板导热分析-问题的提出02222ytxt02222yx0tt x
4、yxbyyxyyxlxyxx,0,00,0,0t t0 0t1lxttsin1lb过余温度t t0 0t t0 0t t0 0010ttRef.王补宣.工程传热传质学（上册）北京：科学出版社，1986.p.98机械工程学院10分离变量法02222yx ygxfyx,1 02222yygxfxygxf 02222dyygdxfdxxfdyg ygygxfxf ygygxfxf假设函数形式函数可被”分离”假设函数的原因在于1)物理问题有解，且唯一；2)如果能得到解，那么他就是答案机械工程学院11续02222yx2 ygygxfxf 0 xfxf xBxAxfsincos 0 ygyg yyDeCe
5、ygyyDeCexBxAyxsincos,xyxbyyxyyxlxyxx,0,00,0,0二阶齐次常微分假设0机械工程学院12续02222yx3yyDeCexBxAyxsincos,xyxbyyxyyxlxyxx,0,00,0,0DCA;0yyCeCexByxsin,yshxCyxnsin,0ADC部分边界条件定出部分常数特解的一般形式机械工程学院13续02222yx40,yxlx yshxCyxnsin,yshlCnsin0 0sinlnl 2lnlynshlxnCyxnsin,边界条件的特殊性使得函数不能被任意分离假设0机械工程学院14续02222yx5lynshlxnCyxnsin,1s
6、in,nnlynshlxnCyx lxttxyxbysin,010;011nCClyshlxCyxsin,1lbshttC011l叠加解满足三个齐次边界条件l构造满足另一非齐次边界条件的解机械工程学院15续02222yx61sin,nnlynshlxnCyx xyxby,10sincos2nnnlxnblxnaax1sin,nnlbnshlxnCbx 1sinnnlxnbx lndxlxnxlb0sin2lbnshbCnn边界条件函数可被展开成Fourier级数，且级数的系数由已知的边界函数确定l上式中Cn和sh(ny/l)共同构成bn机械工程学院16续yx,10sinsin2nllynshl
7、xnlbnshdxlxnxl1sinnnlynshlxnlbnshb1sinnnlynshlxnC02222yx7最终解l最终解先通过积分利用f(x)求得bn，然后求得Cn，然后带入求得最终过余温度。机械工程学院17任意边界？t t0 0t1lxttsin1lbt t4 4t t3 3t t2 2l总是可通过叠加法获得 10sinsin2nllynshlxnlbnshdxlxnxl ldxlxnxl02sinlxnsinlbnshlynsh 02dxnxx sinnshnxsinnyshlbyx,如何求解？HW:假设l=;b=;f(x)=1a)编程计算过余温度，并画图b)用Excel计算，并画图机械工程学院19Excel绘三维(温度分布)图机械工程学院20Excel计算The End！
