1、新课程中的数学史 合肥二中合肥二中 吴德勇吴德勇数学史专题教学设计数学史专题教学设计数学史专题教学设计过程数学史专题教学设计数学史专题教学设计l 可接受性可接受性：数学史专题的内容应符合学生的认知水平；l 实用性实用性：数学史专题的教学应与必修课相结合，或为必修课服务，或为必修课内容之拓展和深入；l 科学性科学性：数学史专题的教学内容应符合史实，教学设计应符合课程标准及有关教学理论；l 可操作性可操作性：数学史专题的内容应为教师所易于接受，教学设计应为教师所易于操作。案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数形数（figured numbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagor
2、as,569 B.C.500 B.C.）本人。用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus,60?120?）以及稍后的泰恩（Theon,约2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l问题问题1（“归纳猜想论证归纳猜想论证”第第1课时课时）
3、依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1 +2+3+4+3+2+1，的前四项值，由此猜测的结果，并加以证明。1 231132 1nannn 案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数正方形数案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l 古希腊数学家Iamblichus（公元4世纪）在研究Nicomachus算术引论一书时发现 =n2 Iamblichus或许正是从正方形数的构造中发现上述结论的。1231132 1nannn 案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l 问题问题2（2006广东数学高考题）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓
4、球成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f(3)=_，f(n)=_。案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l 后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数第n个三棱锥数为(1)(1)(2)1 3626n nn nn（Nicomachus,1世纪）案例案
5、例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数 前四个四棱锥数为 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16l 第n个四棱锥数为2(1)(21)1496n nnnu莱因得纸草书（约公元前1650年）124房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607莱因得纸草上的等比数列问题莱因得纸草上的等比数列问题 12nnaqaqaqaS22naqaqaqaqa1nqSa1nnaqSqaqaqaSnn11qu欧几里得几何原本（公元前3世纪）第 9 卷命题 35nnaaaaaa12312nnnaaaaaaaaa122311211122111qaaa
6、aaaaann111qqaSnn1qu巴比论：泥版数学文献(约公元前3000年)但我们无法判断古代巴比伦人是否知道一 般公式。385553210311103212222u阿基米德（阿基米德（Archimedes,前前287-212）论劈锥曲面体与球体命题2引理；论螺线命题10 2222121123)1(nnnaaaaaaaan222221321)1(nnnn阿基米德123n-1nn-212n-1n-2n-3)1(1)2(22)2(1)1(nnnnn2222nn)1(12)1(1)1(1222nnn)2(22)2(2)2(2222nnn1)1(21)1(1)1(222nnn2222212)1(n
7、nn1)1(2)2(22)1(12nnn)1(2)1(12nn)2(4)2(22nn)3(6)3(32nn1)1(21)1(2nn)21(1)1()2(2)1(12nnnn1)12()2(5)1(31nnnnnnnn)1(212)2()1(2nnn)1)(2()1()1(2nnnn12)3()2(2)1(nnn122221122)1(nn 222212n1)1(2)2(22)1(12nnn1)12()2(5)1(3121222nnnnn222221321)1(nnnn)12)(1(613212222nnnnu阿基米德杠杆原理的启示物理视角下的二次幂和v Fehr（1963）：“伏尔泰曾说过：如
8、果没有上帝，那就有必要创造一个出来。同样，我们也可以断言：在数学学习中，如果没有该学科的物理应用，那就有必要创造出一些来！”阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）nnn321113232122221213132nnn12161nnnu阿尔海赛姆（Al-Haitham,9651039）：10-11世纪波斯 数学家 1234n1111111234n+123+1234+12+11234n22222 nkkrnrnrrrnr11112)1(12)1(6112nnnrnru吉尔森（R.Levi Ben Gershon,1288-1344）计算者之书(Maaseh Hoshev)222213221nnnn n
9、nnn2113121222123n1 123n2222边长分别为 1、2、3、n 的 n 个正方形面积之和即为二次幂和n321n323nnn吉尔森公式的几何图示：扩缩法ninrnrknrnrrnkr111221nirrnn12221ninrrrnn112221211211216112nnnrnru帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）分别令 r=1，2，n，将个等式相加即得 1331233rrrrnrnrrrnn1213331)1(12)1(6112nnnrnru三角形法122333nnnnnnnn-1-1-1nn-1122nnnnnnn-1-1-1n-2n-2nnnn-1122nnn
10、n-1-1n-23312n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+u体积法12121123112nnnrnrnrnr2161121421414313nnnnnnVl阿基米德OBDACVXYWEFHLGMNPQRST AH:AT=圆柱截面:（圆锥截面球截面）(圆锥截面球截面)=圆柱截面 (圆锥AEF球)=圆柱EG，222:APACATACACATACATAH222:PTATMT222:PTRTMTAHATAHAO 球=4 圆锥ABD 336134DRV 24RS1A2A3A12 nA12 nA14 nAnA41A2A3AnA41B
11、1C12 nB22 nC14 nAnA2nA2TO 球外切圆柱之表面积 1221214nnnAAAAS1221214nnnAAAAS24RS32S nnnnpSVVVV44221431RSVnn4431334RV u刘徽（3世纪）与祖暅（5世纪）牟合方 盖中国传统数学的代表人物魏晋时期数学家刘徽利用3DSMAX软件制作的牟合方盖 八分之一合盖的截面 内棋（八分之一合盖）外棋（“立方之内、合盖之外”部分）C1DBCA倒立的阳马 u开普勒（J.Kepler，15711630）测量酒桶体积的新科学（1615）将球体积看成是无穷多个小棱锥的体积之和，这些棱锥的顶点在球心，底在球面上，于是由棱锥体积公式
12、可得球积公式 SRSRVS3131lim0开普勒u卡瓦列利（B.Cavalieri，15981647）连续体不可分 量的几何学 （1629）BAOECDFGHK222222HKGKOKGKOGFK222GKHKFK圆柱截面圆锥截面半球截面 圆柱体积圆锥体积半球体积 u松永良弼（16901744）：算法集成 niiiininrnDrrnDV122211)(2niDDniDri2nininiinnDV1123326161Dn361DV 案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理C1B1A1CBAl问题问题1 1 如图，正三角形ABC 的边长为2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，
13、求几何体的体积。11AA 13BB 12CC 案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理l 问题问题2 如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD 两两垂直，平面ABC/平面DEFG，平面BEF/平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求该多面体的体积。A D G B E F C案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理2213Vaabbh案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理2221133Vabhbahaabbh案例案例5 割补法与出
14、入相补原理割补法与出入相补原理B1C1A1D1DCBABCA1D1ABCDD1A1C1B1案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理A1D1DABCD1ABA1CBADD1刘徽原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题l 问题问题 1（费马平面与立体轨迹引论）动点 P 到两定点 M 和 N 距离的平方和与三角形PMN的面积之比等于给定比，求点 P 的轨迹。如图3，设 P为满足已知条件的任一点，PZ为MN的垂线，Z为垂足。MN=a，MZ=x，ZP=y，则由已
15、知条件得，其中k为常数。即案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题即 。其中k为常数。这就是Z沿MN 运动时，变线段ZP的另一端点 P 所画出的曲线的方程。那么，这是什么曲线呢？2222xyxaykay a-x y x Z M P N222222xyaxaaky案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题取 MN 的中点 A，过 A 作 MN的垂线段AB，使得 4AB/a=k。以 AB 为直径作半圆 ACB，在其上取点 C，使得 AC=AN。以B为圆心、BC 为半径作圆，在该圆上任取一点 P，则 PM 和 PN 的平方和与三角形 PMN 面积之比等于
16、给定比。C A M B P N案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题这里，费马给出了方程 所确定的轨迹的作图法，该轨迹是一个圆。费马的方法相当于将方程化成222222xyaxaaky22222442aakakaxy案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题l 问题问题 2（帕普斯三线问题之特殊情形）设给定3条直线AB、AD、EF，其中直线AB与EF互相平行，AD垂直于AB，动点C到3条已知直线的距离CB、CD、CF满足 ，求C点轨迹。2CB CFkCD案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题 x y-a a B D F M
17、 A E C N22221yxaak案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题l 问题问题3（帕普斯四线问题之特殊情形）设给定4条直线，其中AB和EF平行，AD和GH平行，且AB与AD垂直，动点C且到它们的距离为CB、CD、CF和CH，满足CBCF=CDCH，求C点轨迹。案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题 x y 2a H D F B C A 2b G E2222()()xaybab函数概念应该成为中学数学的基石 F.Klein（1849-1925）从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念，但现在却由定义域、值域和序偶（第一个数
18、相同时第二个数也必须相同）来玩弄把戏。M.Kline（1958）20世纪50和60年代函数的形式化定义是一个大错误，我们可以将函数说成是法则、机器，但决不能把它说成是序偶的集合！Thorpe中学阶段应该教简单易懂的函数概念。M.A.Malik（1980）较之函数的现代定义，职前教师对函数的理解要狭隘得多、原始得多。既然如此，我们还能期望他们按照现代课本上出现的函数的现代定义来教吗？参与者对函数的不完善的理解是有问题的，这又会导致他们学生的函数定义与表象之间的不一致性，使学生的函数概念表象与18世纪的表象相类似 R.Even l约翰伯努利（1718）：一个变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式
19、组成的量。Johann Bernoulli,1667-1748l 欧拉（1748）：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。Leonhard Euler,1707-1783l 欧拉（1755）：如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化时，前面 这些变量也随之变化，则前 面的量称为后面的量的函数。Leonhard Euler,1707-1783l 孔多塞：设有若干量x，y，z，F，对于x，y，z，的每 一个确定的值，F 有一个 或多个确定的值与之对应，则称F为x，y，z，的一 个函数。A.N.C.Condorcet,1743-1794l 拉克洛瓦（S.F.Lacroix,
20、1765-1843）（1797）：任何一个量，如果它的值依赖于一个或多个其他的量，那么它就称为这些量的函数，不管我们知不知道这种依赖关系是通过什么运算实现的。l 拉格朗日（1797）：所谓一个或几个量的函数，是指任意一个用于运算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中，表达式中可以有（也可以没有）其它一些具有给定的不变值的量，而函数的量可以取所有可能的值。J.L.Lagrange,1736-1813l 傅立叶（1822）：函数f(x)代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标 x 的值，有同样多个纵坐标 f(x)的值。所有的值要么为正数，要么为负数，要么是零。无
21、需假设这些纵坐标满足同一个法则；它们可以任何方式接续，每一个都好象是单个的量。J.Fourier,1768-1830l 柯西分析教程（1821）：当变量之间这样联系起来，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想像这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就被称为自变量；而用自变量表示的其它量就叫做该变量的函数。A.L.Cauchy,1789-1857l 罗巴切夫斯基（1834）：x 的函数是这样的一个数，它对于每个 x 都有确定的值，并且随着 x 的变化而逐渐变化，函数值或者由解析式给出，或者由一个条件给出，这个条件提供了一种检验所有的数并选择其中之一的方法，或者
22、虽然依赖关系存在但可以是未知的。Lobachevsky,1792-1856l狄里克雷（1837）设a、b是两个确定的值，x 是可取a、b之间一切值的变量。如果对于每一个 x，有惟一有限的 y 值与它对应，使得当 x 从 a 到 b 连续变化时，也逐渐变化，那么 y 就称为该区间上 x 的一个连续函数。在整个区间上，y 无需按照同一种规律依赖于 x，也无需单单考虑能用数学运算来表示的关系。L.Dirichlet,1805-1859l 斯托克斯（1847）函数是这样一个量，它的值以任意方式依赖于构成它的一个或几个变量的值。因此，函数不必通过任何代数符号的组合来表达，甚至在变量的很近的界限之间也是如
23、此。G.G.Stokes,1819-1903l 黎曼（1851）：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每一个值，都有不定量 w 的惟一的值与之相对应，则称 w 为 z 的函数。B.Riemann,1826-1866l 布尔(1854)：任何包含符号 x 的代数 式称为 x 的函数，并用 一般的简记符号f(x)来 表示。G.Boole,1815-1864l 汉克尔（1870）：x 的一个函数被称为f(x)，如果对于某区间内 x 的每一个值，f(x)都有的惟一确定的值与之相关联。此外，f(x)是通过量的解析运算还是通过别的方式确定，根本无关紧要。f(x)的值只须处处惟一确定。H
24、.Hankel,1839-1873l 戴德金(1887)：函数就是系统S的一个映射，对于S中每一个确定的元素s，按照法则，都有一个确定的对象与之相关联，这个对象称为s的象，以(s)将表示；也可以说，(s)是由s通过映射产生的，即s通过映射变换成(s)。R.Dedekind,1831-1916l 坦纳里(1904）：考虑不同数的集合(X)，将这些数看成是x的取值，于是x就是一个变量。假设x的每一个值，即集合(X)的每一个元素，对应于一个数，这个数可以看成是字母y的取值；我们说y是由该集合(X)所确定的x的函数：如果定义了对应关系，就定义了该集合上的一个函数。y所取的不同值的集合(Y)是由同一个对
25、应关系确定的：我们说b是(Y)的一个元素，即(X)的一个元素a与数b对应。(X)的每一个元素对应于(Y)的一个元素；反之亦然；但在前面的定义中，并没有排除(X)的几个不同元素对应于(Y)的同一个元素，换言之，(X)和Y)之间的对应不一定是完全的。J.Tannery,1848-1910l 维布伦：若在变量y 的集合与另一个变量 x的集合之间有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数。O.Veblen,1880-1960l 皮亚诺（1911）：函数是这样一种关系 u，对于任意的x，y 和 z，如果第二个元素相同的两个序偶 y；x 和 z；x
26、满足这个关系，那么必有 y=x。G.Peano,1858-1932l 豪斯道夫（1914）：设 P 是序偶 p=(a,b)组成的一个集合，对于每一个 ，称 b 为 a 的象，在特殊情况下，每个 a 只有惟一的象 b，则被此 a决定且与a相关的元 b称为a 的函数，记为 。F.Hausdorff,1868-1942Pp)(afb l 古尔萨（1923）：函数这个词的现代定义是柯西和黎曼给出的。如果 x 的一个值与 y 的一个值相对应，那么我们就说y是x的一个函数。我们用方程 y=f(x)来表示。E.Goursat,1858-1936l 布尔巴基学派集合论（1939）：设E和F是两个集合，它们可以
27、不同，也可以相同。E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个xE，都存在惟一的yF，它满足与x的给定关系。我们将联系每一个元素xE和元素yF的运算称为函数；y称为x处的函数值，函数是由给定的关系决定的。两个等价的函数关系确定了同一个函数。l 布尔巴基学派集合论（1939）：定义集合 X 与 Y 的积集 X Y 如下：X Y=(x,y)|xX,yY。积集 X Y中的一子集 R 称为 X 与 Y 的一个关系，若(x,y)R，则称 x 与 y 有关系 R，记为 x R y，现设 f 是 x 与 y 的关系，即 f 包含于X Y，如果(x,y)、(x,z)f，必有 y=
28、，那么称 f 为 X 到 Y 的函数。l 欧几里得几何原本圆的切线：与圆相遇、但延长后不与圆相交的直线。第3卷命题16推论：“过圆的直径的端点作和它成直角的直线与圆相切。”Euclid（about 325 BC-about 265 BC）l 阿波罗尼斯圆锥曲线 命题32称：“从圆锥曲线顶点作直线与相应纵坐标线平行，则该直线与圆锥曲线相切，且在圆锥曲线与该直线之间不能再插入另外的直线。”Apollonius（about 262 BC-about 190 BC）l命题3334：圆锥曲线的切线作图 D C A G E F G C D B A A B C D E F G E F G D C B A A
29、 3 A 2 B 1 A 1 O阿基米德论螺线Archimedes（287 BC-212 BC）l 17世纪数学家遇到的三类问题l 一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，洛必达在其无穷小分析中列专章加以讨论。早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。l 二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的
30、切线。l 三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角牛头角（图10中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图11中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。l 笛卡儿：切线问题“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的问题”。u费马的方法u笛卡儿的方法Ren Descartes（1596 1650）l 洛必达无穷小分析曲线的切线是曲线的内接“无穷边形”一边的延长线。G.L Hospital（1661-1704）案例案例 9 数学狂怪的作品数学
31、狂怪的作品u汪联松：北平晨报（1938）u吴佑之：科学月刊（1946）u杨嘉如：大陆报（1948）u华罗庚：科学通报第三卷第六期（1951）u中国数学杂志刊登启事（1952年8月）u数学通报再次刊登上述启事（1953年1-2月）u 数学通报第三次刊登启事(1957年1月号)“再告企图用规尺三等分角的同志”案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品u1852年，德摩根受一位朋友的委托，审查了一位朋友的一个老乡所给出的十分恐怖的三等分角作图法，该作图法相当于：若是一个已知角，则 24222sin5sin3sinsin25cos3sin25sinsin25cos3sin3cos案例案例 9 数学狂怪
32、的作品数学狂怪的作品德摩根(A.De Morgan,1806-1871)案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品u一位美国三等分角者如是说：“掌握科学知识的人类怎会如此愚蠢？任何一位科学家或数学家在他还未开始着手研究手头的难题时就说它不可能，这只能说明他能力有限。”案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品l 一位美国三等分者如是说：“我们发现当代的数学权威们并不试图去解决这些疑难，却去写些阐述不可能证明它们的论文。不鼓励这些难题的解法，反而打击他们，还封他们为狂怪。”l 美国数学家Underwood Dudley80年代搜集狂怪们的研究“成果”，得三等分角作图法共两百余种！案例案例 9 数
33、学狂怪的作品数学狂怪的作品l 1951年，底特律一位82 岁高龄的“五好牌”向各个州的一流大学、各家著名私人研究机构，还有包括爱因斯坦在内的数学家，总共一百多处，通报了他的作图法！他收到了六十多份答复，其中最好的是爱因斯坦的：“我收到的信件太多了，尽管我非常想回复所有的信件，但我实在是没有时间！”案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品AOCBC错误的三等分角法之一（错误的三等分角法之一（R.J.,1986）：作者声称：有）：作者声称：有50多位数学教授（其中许多为多位数学教授（其中许多为博士）评价了他的论文，并博士）评价了他的论文，并支持他的证明支持他的证明 案例案例 9 数学狂怪的作品数
34、学狂怪的作品JBOACIFEDGHT1973 年，一位来自杜塞尔多夫的年，一位来自杜塞尔多夫的69 岁的退休公务员，声称自己在岁的退休公务员，声称自己在整整整整40 年里，花费年里，花费12,000 多小时，多小时，终于找到了这个作图法终于找到了这个作图法 案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品ANCNO KNCMAPASMMERLYYX令人眼花缭乱的三等分令人眼花缭乱的三等分角作图法角作图法 案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品PHJNODAIECBGKFMRSVTUxxxx神秘的三等分角法神秘的三等分角法（K.B.S.,1972）案例案例 9 数学狂怪的作品数学狂怪的作品COHK
35、BDEFGLAMN一位美国大学校长的三一位美国大学校长的三 等分角作图法（等分角作图法（1933）案例案例10 实无穷概念实无穷概念l 研究问题研究问题：高中生比较无穷集合时采用何种策略？是否具有历史相似性？l 研究方法研究方法：测试与访谈l 被试：江苏省某中学高二、高三两个年级各一个班，共94人。他们只具有一些初步的集合和元素的知识，尚未接触过无穷集合的知识，也不曾阅读过有关康托尔集合论方面的书籍。案例案例10 实无穷概念实无穷概念实无穷测试题实无穷测试题1、正整数集1，2，3，4，5，中的元素是否比平方数集 1，4，9，16，25，中的元素多？A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。2、
36、正整数集1，2，3，4，5，中的元素是否比偶数集 2，4，6，8，10，中的元素多？A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。案例案例10 实无穷概念实无穷概念3、观察长度分别为4厘米和6厘米的线段AB和CD，若比较 AB和CD上的点，CD上的点是否比AB上的点更多？A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。ABCD案例案例10 实无穷概念实无穷概念 4、再观察线段AB和CD，连接CA和DB，并延长，交于点O，设P是CD上任意一点，连接PO，交AB于P。CD上的点是否比AB上的点更多？A、是；B、否；C、不知道 解释你的答案。ABCDOPP案例案例10 实无穷概念实无穷概念5、设 ，则集合A和
37、 B是否具有同样多的元素？A、是;B、否;C、不知道 解释你的答案。|01Bxx|2,Ay yx xB案例案例10 实无穷概念实无穷概念 两个集合 A 和 B都满足：(1)A和B都是无穷集合；(2)B是A的真子集；(3)A和B的元素之间存在一一对应关系。案例案例10 实无穷概念实无穷概念情 境题 次集合A集合B算 术1正整数集平方数集2正整数集偶数集几 何3线段CD线段AB4线段CD线段AB算术几何5区间 0,2区间 0,1案例案例10 实无穷概念实无穷概念l 研究发现：学生比较无穷集合所用的策略研究发现：学生比较无穷集合所用的策略 类型类型1 集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样
38、多。类型类型2 集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。类型类型3 集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。类型类型4 集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。案例案例10 实无穷概念实无穷概念l 历史历史相似性相似性l 古希腊l G.Galilei(1638)：Dialogues concerning two new sciences：两条不相等的线段AB和CD上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决部分与整体“相等”的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将“大于”、“小于”和“等于”
39、这样的词用于无穷大量。案例案例10 实无穷概念实无穷概念l 19世纪，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K.Wierestrass,1815-1897）等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“部分等于整体”这个矛盾。l 波尔察诺（B.Bolzano,1781-1848）Paradoxes of the Infinite：包含关系准则“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。”案例案例10 实无穷概念实无穷概念l 康托尔（G.Cantor,1845-1918）创立集合论，
40、将实无穷作为一个概念引入数学。他定义了“势”这个概念（或称“基数”），并提出比较两个无穷集合的一一对应准则：“两个集合A和B具有相同的势（基数），当且仅当在A和B之间存在一一对应。”案例案例10 实无穷概念实无穷概念l 研究结论 高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上的数学家，如亚里士多德、伽利略、波尔察诺等的理解、困惑以及所用策略是相似的，因而对实无穷概念而言，历史发生原理是成立的。案例案例11 函数函数概念概念l 研究问题：高中生是如何理解函数概念的？是否具有历史相似性？l 研究方法：测试与访谈。用自己的语言描述什么是函数。l 被试：洛阳某中学高一和高三两个年级的部分学生，其中高
41、一122人，高三116人。案例案例11 函数函数概念概念类类 別別定定 义义高高 一一高高 三三總總 計計A变量的对应关系59（48.4%）19（16.4%）78（32.8%）B集合的对应关系6（4.9%）20（17.2%）26（10.9%）C映 射0（0）20（17.2%）20（8.4%）D解析式11（9.0%）7（6.0%）18（7.6%）E运 算9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）F变量的依赖关系3（2.5%）10（8.6%）13（5.5%）G图 像5（4.1%）7（6.0%）12（5.0%）H模糊或错误的定义14（11.4%）9（7.9%）23（9.7%）I其 它6（4.9%）
42、8（6.9%）14（5.9%）J未回答9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）案例案例11 函数函数概念概念类类別別对对函函数数的理解的理解历史历史上的代表上的代表数学数学家家1运 算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；欧拉（1748）；拉格朗日（1797）；布尔（1854）3曲线（图像）欧拉（1748）4变量的依赖关系莱布尼茨（1714）；欧拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；罗巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5变量的对应关系孔多塞（1778）；傅立叶（1822）；罗巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；汉克尔（1870）；哈代（1908）；古尔萨（1923）6映 射戴德金（1887）7集合的对应关系坦纳里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；维布伦（20世紀）；布尔巴基（1939）8序偶集皮亚诺（1911）；豪斯多夫（1914）；布尔巴基（1939）案例案例11 函数函数概念概念l 研究结论 尽管中学生已经学过函数概念，但他们对函数的理解却是多种多样的，与17世纪以后到20世纪上叶不同时空数学家的理解有着高度的相似性。THE END
