1、4.4 时间反演分立对称性 一、牛顿力学的时间反演变换n经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图n若x(t)是牛顿方程的解，令t=-t,有nx(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)n可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。)()(22txVdttxdm2222()()()()d xtd xtmmV xtdtdt 二、电动力学的时间反演变换nMaxwell方程：nLorentz力：n对t-t变换,若n则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。n即若n上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：nt-t，xx,v-v(p-p),n,EE,j-j,B-B1(
2、)Fe EvBc(),(),(),(t)(),(),(),(t)E tB tj tEtBtjt是解，则也是解三、薛定谔方程的时间反演变换n对薛定谔方程，n作时间反演：n 可见(x,-t)与(x,t)满足不同的方程n对上式取复共轭，得：n可见对解(x,t)，有相应解*(x,-t)n因(x)=，时间反演波函数由*给出*(,H*(,xtixtt）22(,)()(,)2x tiV xx ttm 22(,)()(,)2xtiV xxttm 四、反幺正算符 n若一对称操作使 ，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征n对时间反演,波函数变为复共轭,应有n定义：对变换 ,如果n称为反幺正算符n后
3、一式所定义的算符称为反线性算符。,*,:*;1212()*),cccc n一般而言，反幺正算符可写成=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即n n若|不是基矢,可展开为以|a为基矢的矢量:nK的作用效果依赖于基矢的选取（故U也必与基矢选取有关）n是反幺正的说明：n 是反线性的n 是反幺正的*Kcc KK.若为基矢，则*K,则aaaaCaCa1212()*UK*UK,cccc*UK U,aaaaaa Uaaa U U*aaaaaa 五、时间反演算符n时间反演态（运动反演态）：|n如由上面讨论知，动量本征态|p的时间反演态:n|p=|-pn时间反演算符的基本性质n假设态矢具
4、有时间反演对称性：n n得：-iH=iH，应为反幺正算符nH=H六、时间反演算符的运算n仅考虑从左边作用于右矢，和利用n 及左右矢的对偶对应关系n重要等式：n这是因为对 ，有n故*n对厄米算符A，有n若A-1=A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称n由此，n可得A在时间反演态的期望值：n由 ，知 p-1=-pn类似地,nx-1=x,|x=|xn从 亦可知J-1=-J七、厄米算符的时间反演对称性八、波函数的变化n由n知：n对球谐函数：n可见：n定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并非简并，则相应波函数是实的。n证:H|n=H|n=En|n,|n与|n相同,n故=*n注意：时间反演态的动量空
5、间波函数为*(-p p)33()*d xxxd x xx九、自旋1/2体系的时间反演 n因n (时间反演的效果)n得n由于n有 n所以：n对无自旋体系2=1n两者很不相同！2()mlmlmlm 十、一般角动量体系的时间反演n由 ，得n而n故对任意|:n此外，由于n不妨约定 （对自旋1/2体系，该约定对应于取 ）n一般地可约定：n注：相位约定依处理问题方便而定，但2=1与相位约定无关。2/2/2()()*)yyi JiJjmjmejmjmejmjmi十一、球张量的时间反演性质n对n若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理n只要考虑q=0的分量即可。n对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=
6、0分量确定：n ；n由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立)(kqT()();21kkqj Tjj m Tjmjk mq jk j mj ()1()()000AkkkqqqTTT.对，有十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并 n电荷在静电场中，V(x)=e(x),H,=0n由于,U(t,t0)0,不存在量子数的时间反演守恒。但H,=0导致非简并态波函数为实数n更重要的推论是Kramers简并。由于|n与|n同为H的本征态，若非简并，|n=ei|n.n对j半整数体系，则-|n=|n=ei|n=|n,故|n与|n不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不相同。n有外外磁场时,H含 n在时间反演下是奇的,H0,不存在Kramers简并,().,S B p AA pBAp S 由于作业n4.7、4.8、4.10
