1、振型分解反应谱法振型分解反应谱法振型分解振型分解(以双自由度体系为例以双自由度体系为例)：结构固有频率：结构固有频率：、结构固有振型：结构固有振型：结构地震反应：结构地震反应：2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法2=q1(t)+q2(t)结构地震反应结构地震反应基本振型基本振型二阶振型二阶振型广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标一阶振型反应一阶振型反应二阶振型反应二阶振型反应2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法3多自由度体系地震反应：多自由度体系地震反应：结构运动方程：结构运动方程：结构地震反应：结构地震反应：I：指示向量，对剪切型结构指示向量，对剪切型结构2022-12-6第8讲 振
2、型分解反应谱法4其中：其中：2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法52022-12-6第8讲 振型分解反应谱法6 采用前述的振型分解法可求得体系各质点的位移和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而言，振型分解法还是嫌稍复杂了一些，且运用不便。注意到工程抗震设计时仅关心各质点反应的最大值，给合单自由度体系的反应谱理论，在振型分解法的基础上，可导出更实用的振型分解反应谱法。2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法73.5.1 水平地震作用多自由度弹性体系的水平地震作用可用各质点所受惯性力来代表，故质点上的水平地震作用为：maxmax)()()(ttxmtFFjgjijijiji )()()(t
3、utxmtFigii ijijjjjijiGGnjjijgjinjjiitFttxmtF11)()()()(3-622022-12-6第8讲 振型分解反应谱法8因此，建筑抗震设计规范按下式计算结构的水平地震作用标准值：根据式（3-64）并结合抗震设计规范给出的设计反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最大水平地震作用，再按照一般的结构力学原理，把地震作用视为静力荷载，可求得对应于各振型的地震作用效应（弯矩、剪力、轴力、位移等）3-642022-12-6第8讲 振型分解反应谱法9对于单自由度体系对于单自由度体系-体系体系j j振型振型i i质点水平地震作用标准值计算公式质点水平地震作用标
4、准值计算公式2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法102022-12-6第8讲 振型分解反应谱法11如当满足下述关系式：则可以认为 近似为零，此时振型组合公式（3-65a）变为（3-65b）称式（3-65b）的组合公式为“平方和开平方”法，简称SRSS法。因此，建筑抗震设计规范规定，结构的水平地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）按下式计算：（3-72）式中,SEk-水平地震作用标准值的效应；Sj-j振型水平地震作用标准值的效应，一般可取23个振型,当基本自振周期 T11.5s 或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加；2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法12-相应于相应于j j振
5、型自振周期的地震影响系数；振型自振周期的地震影响系数；-j-j振型振型i i质点的水平相对位移；质点的水平相对位移；-j-j振型的振型参与系数；振型的振型参与系数；-i-i质点的重力荷载代表值。质点的重力荷载代表值。m1m2mi11F12FiF1nF121F22FiF2nF21 jF2jFjiFjnF1nF2nFniFnnF1振型地震作用标准值2振型j振型n振型 地震作用效应地震作用效应（弯矩、位移等）（弯矩、位移等）-j-j振型地震作用振型地震作用产生的地震效应；产生的地震效应；m-选取振型数选取振型数-体系体系j j振型振型i i质点水平地震作用标准值计算公式质点水平地震作用标准值计算公式
6、 一般只取一般只取2-3个振型，个振型，当基本自振周期大于当基本自振周期大于1.5s或或房屋高宽比大于房屋高宽比大于5时，振型时，振型个数可适当增加。个数可适当增加。2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法13例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振
7、型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）查表得查表得地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法14)(sT0 1.
8、0gTgT50.6max2max45.0max2)(TTgmax12)5(2.0gTT例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数查表得查表得第一振型第一振型第二振型第二振型第三振型第三振型2022-12-6第8讲
9、 振型分解反应谱法15例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数第一振型第一振型第二振型第二振型第三振型第三振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱
10、法16例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用第一振型第一振型kN4.167k
11、N4.334kN2.334第一振型第一振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法17例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各
12、楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用kN4.167kN4.334kN2.334第一振型第一振型第二振型第二振型kN8.120kN7.120kN9.120第二振型第二振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法18例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（
13、2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用kN4.167kN4.334kN2.334第一振型第一振型kN8.120kN7.120kN9.120第二振型第二振型第三振型第三振型kN8.17kN9.80kN2.107第三振型第三振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法19例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组
14、为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用kN4.167kN4.334kN2.334第一振型第一振型kN8.120kN7.120kN9.120第二振型第二振型kN8.17kN9.80kN2.107第三振型第三振型（5 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
15、计算各振型的地震作用效应（层间剪力）第一振型第一振型2.3346.6688361 1振型振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法20例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系
16、数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用kN4.167kN4.334kN2.334第一振型第一振型kN8.120kN7.120kN9.120第二振型第二振型kN8.17kN9.80kN2.107第三振型第三振型（5 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）2.3346.6688361 1振型振型第二振型第二振型8.1201.08.1202 2振型振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法21例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的
17、层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用kN4.167kN4.334kN2.334第一振型第一振型kN8.120kN7.120kN9.120第二振型第二振型kN8.17kN9.80kN
18、2.107第三振型第三振型（5 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）2.3346.6688361 1振型振型8.1201.08.1202 2振型振型第三振型第三振型8.171.631.443 3振型振型2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法22例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解
19、：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数（4 4）计算各振型各楼层地震作用）计算各振型各楼层地震作用kN4.167kN4.334kN2.334第一振型第一振型kN8.120kN7.120kN9.120第二振型第二振型kN8.17kN9.80kN2.107第三振型第三振型（5 5）计算各振型的地震作用效应）计算各振型的地震作用效应2.3346.6688361 1振型振型8.1201.08.1202 2振型振型8.171.631.443 3振型振型（6 6）计算
20、地震作用效应（层间剪力）计算地震作用效应（层间剪力）8.3356.6718.845组合后各层地震剪力组合后各层地震剪力2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法23第第8讲结束！讲结束！学习是一件快乐的事情，且学习是一件快乐的事情，且听下回分解！听下回分解！考虑两个自由度的体系。将质点和在水平向地震作用下任一时刻的位移和用其两个振型的线性组合表示，即：(3-55a)（3-55b）2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法25其中，第一振型向量T12111，第二振型向量T22212。上式实际上是一个坐标变换式，原来的变量)(1tu和)(2tu为几何坐标，而新的坐标)(1tq和)(2tq可称为广义
21、坐标。由于体系的振型是唯一确定的，因此，当)(1tq和)(2tq确定后，质点的位移)(1tu和)(2tu也将随之确定。2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法26 式（3-55）也可以这样理解：体系的位移可看作是由各振型向量乘以相应的组合系数和后叠加而成的。换句话讲，这种方法是将实际位移按振型加以分解，故称为振型分解法。另外，由于和是随时间变化的，因此，同一振型在不同时刻对总位移“贡献”的大小是不一样的。3-56-位移向量-广义坐标向量-振型矩阵 为体系的第j个振型向量。2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法27 利用振型关于质量矩阵的正交性及式（3-56），可以导出广义坐标与一般位移反
22、应的关系。将式（3-56）两端分别前乘（3-57）在水平地震运动作用下，多自由度弹性体系的运动方程为：（3-40）将式（3-56）代入式（3-40），并前乘振型向量的转置 利用振型向量对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的正交性，可得：2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法28 注意到 jjjMK/2jjjjMC/2),2,1()()()(2)(2njtxtqtqtqgjjjjjj 211/jiniijiniijTjjmmMIMj)(tqj0)0(jq)0)0(jq dtetxtqjttgjjjjj)(sin)()()(0)()(ttqjjjdtetxtjttgjjjj)(sin)(1)()(0 2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法29式中 为阻尼比和自振频率分别为 和 的单自由度弹性体系的位移反应。2022-12-6第8讲 振型分解反应谱法30
