1、稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法 2 2稳定性：稳定性：控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定不稳定。在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性通常是控制器设计的最基本要求。通常是控制器设计的最基本要求。经典控制理论对稳定性分析的局限性经典控制理论对稳定性分析的局限性（1 1）局限
2、于描述）局限于描述线性定常系统线性定常系统（2 2）局限于研究系统的）局限于研究系统的外部稳定性外部稳定性 （输入输出稳定性）（输入输出稳定性）经典控制理论的稳定性判据经典控制理论的稳定性判据u劳斯（劳斯（RouthRouth）判据）判据u奈氏（奈氏（NyquistNyquist）判据）判据现代控制理论对稳定性分析的特点现代控制理论对稳定性分析的特点（1 1）稳定判据可用于线性）稳定判据可用于线性/非线性非线性，定常，定常/时变时变系统系统（2 2）研究系统的外部稳定性和）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性）内部稳定性（状态稳定性）现代控制理论的稳定性判据现代控制理论的稳定性判据u李
3、雅普诺夫李雅普诺夫（LyapunovLyapunov）稳定性理论）稳定性理论（3 3）能够反映系统稳定的本质特征。）能够反映系统稳定的本质特征。李雅普诺夫（李雅普诺夫（LyapunovLyapunov）稳定性理论）稳定性理论李雅普诺夫，俄国数学力学专家，李雅普诺夫，俄国数学力学专家，俄罗斯科学院院士，意大利林琴俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。以及法国巴黎科学院的外籍院士。18921892年在他的博士论文运动稳定性的一般年在他的博士论文运动稳定性的一般问题问题（The general problem of the stability motionThe g
4、eneral problem of the stability motion）中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性问题，建立了著名的问题，建立了著名的LyapunovLyapunov方法方法，为现代控制和非线性，为现代控制和非线性控制奠定了基础。控制奠定了基础。LyapunovLyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。李雅普诺夫（李雅普诺夫（LyapunovLyapuno
5、v）稳定性理论）稳定性理论李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法）设系统的齐次状态方程为：设系统的齐次状态方程为：(,)txf x展开式为：展开式为：nitxxxfxnii,2,1 ),(21方程的解（运动或状态轨线）为：方程的解（运动或状态轨线）为：),;(00tt xx初始状态向量初始状态向量初始时刻初始时刻0000),;(xxxtt4.1 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义（4.1）n维状态向量维状态向量n维向量函数维向量函数一、系统状态的运动及平衡状态一
6、、系统状态的运动及平衡状态平衡状态平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化：各分量相对于时间不再发生变化 ),(txfx 所有状态的所有状态的变化速度为零变化速度为零，即是，即是静止状态静止状态 线性定常系统：线性定常系统：Axx 平衡状态：平衡状态：0eeAxx 00exA0A一个一个平衡状态平衡状态状态空间原点状态空间原点无穷多无穷多个平衡状态个平衡状态非线性系统：非线性系统：平衡状态：平衡状态：一般有多一般有多个平衡状态个平衡状态),(txfx 0),(teexfx 3221211xxxxxx例：例：0032211xxxx10 ,10 ,00321eeexxx22221nxxxx欧式范数欧
7、式范数二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义表示向量表示向量 的长度的长度x2222211)()()(neneeexxxxxxxx表示向量表示向量 到到 的距离的距离xex2ncxxxxeee222211)()(xx3ncxxxxxxeeee233222211)()()(xx表示状态空间中，以表示状态空间中，以 为圆心，半径为为圆心，半径为c c的的圆圆ex表示状态空间中，以表示状态空间中，以 为球心，半径为为球心，半径为c c的的球球ex 以平衡点以平衡点 为球心，取为球心，取 和和 为半径，在为半径，在n n维状态空间作出维状态空间作出两个球域两个球域ex()()、。SS：任意取的正数：
8、任意取的正数（可以任意小）（可以任意小）：是：是 取定后看能否找到的取定后看能否找到的其中其中初始状态初始状态有界有界，随时间，随时间推移，状态向量距平衡推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到个确定的数值内，而到达不了平衡状态。达不了平衡状态。任给一个球域任给一个球域 ，若存在一个球域，若存在一个球域 ，使得从，使得从 出发的出发的轨迹不离开轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的的。)(S)(S)(S)(S1x2xex)(S)(S1 1、李雅普诺夫意义下稳定、李雅普诺夫意义下稳定1x2xex)
9、(S)(S若若 与初始时刻与初始时刻 无关，则无关，则称系统的平衡状态称系统的平衡状态 是是一致一致稳定稳定的。的。ex0t时变系统时变系统 与与 有关有关 0t定常系统定常系统 与与 无关无关 0t 任给一个球域任给一个球域 ，若存在一个球域，若存在一个球域 ，使得从，使得从 出发的出发的轨迹不离开轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的的。)(S)(S)(S)(S 考虑系统（考虑系统（4.14.1），如果对任意的实数），如果对任意的实数 ，都存在另一实，都存在另一实数数 ，使当初始状态位于以，使当初始状态位于以平衡状态平衡状态 为球
10、心，为球心，为半径的为半径的闭球域闭球域 内，即内，即)(S0ex时，从任意初态出发的解始终位于以时，从任意初态出发的解始终位于以 为球心，半径为为球心，半径为 的闭的闭球域球域 内，即内，即ex)(S则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 在在李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫意义下稳定。ex0李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定1x2xex)(S)(S当系统做不衰减的震荡运动当系统做不衰减的震荡运动时，将描绘出一条封闭曲线时，将描绘出一条封闭曲线，只要不超出，只要不超出 ，则认为是，则认为是稳定的。稳定的。)(S则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 是是渐近稳定渐近稳定的的。ex若系统方程
11、的平衡状态若系统方程的平衡状态 不仅具有李雅普诺夫意义下的不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有稳定性，且有ex若若 与与 无关，则为一致渐近稳定。（无关，则为一致渐近稳定。（定常系统）定常系统）0t2 2、渐近稳定、渐近稳定初始状态有界，随时间初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡推移，状态向量距平衡点的距离可以无限接点的距离可以无限接近，直至到达平衡状态后近，直至到达平衡状态后停止运动。停止运动。1x2xex)(S)(S几何意义：几何意义：系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。能回到平衡状态附
12、近并且向平衡状态靠拢。当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。3 3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定几何意义：几何意义：大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平衡状态。衡状态。线性系统线性系统稳定性与初始条件稳定性与初始条件无关无关，如果渐，如果渐近稳定，则近稳定，则必然必然大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。非线性非线性系统稳定性与初始条件密切系统稳定性与初始条件密切相关相关，如果渐近稳定，如果渐近
13、稳定，不一定不一定大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。初始状态有界，随时间推移，状初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡状态越来越远。态向量距平衡状态越来越远。4 4、不稳定、不稳定几何意义：几何意义：1x2xex)(S)(S 如果对于某个实数如果对于某个实数 和任一个实数和任一个实数 ，不管实数，不管实数有多小，在有多小，在 内总存在着一个状态内总存在着一个状态 ，由这一状态出发的轨，由这一状态出发的轨迹超出迹超出 ，则称次平衡状态是，则称次平衡状态是不稳定不稳定的。的。0)(S)(S00 x4.2 4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）通过系统特征根或者极点分布来判断通
14、过系统特征根或者极点分布来判断第一法在线性定常系统中的应用第一法在线性定常系统中的应用外部稳定性（经典控制理论）外部稳定性（经典控制理论）零初始条件零初始条件下，对于任意一个下，对于任意一个有界输入有界输入，若系统所产生的相应，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是输出也是有界的，称该系统是外部稳定外部稳定的。的。外部稳定外部稳定的的充要条件：充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于于s s的左半平面：的左半平面：AIBAICBAICWssss*1)(线性定常系统线性定常系统0 ,tt Axx 李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定A A的的所有
15、所有特征值：特征值：且且 的特征值无重根的特征值无重根0)Re(k0)Re(k内部稳定性内部稳定性结论结论1 1：思路思路：AA00A00A0A00(;,0),0,.(;,0)(),0.0,=/-(;,0)-/=0.tteeeteeteteeteetetetet xxxxxxxxxxxx xxxxx x系系统统的的解解为为：平平衡衡状状态态为为：且且有有：易易知知，对对于于任任一一实实数数当当且且仅仅当当时时 都都存存在在一一个个实实数数，使使由由满满足足不不等等式式的的任任意意非非零零初初始始状状态态出出发发的的解解满满足足，此此时时，系系统统为为李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定。-
16、1A-1AAAA=P APPP tttteeee作作线线形形变变换换x x=P Px x,使使得得为为约约当当阵阵。因因，有有界界等等价价于于有有界界。111111232100200000ttttttttetet eeteeee0)Re(k0)Re(k且且 的特征值无重根时，的特征值无重根时，的的元素均有界。元素均有界。A结论结论2 2：渐近稳定渐近稳定A A的的所有所有特征值：特征值：0)Re(k需需Alim0.tte111111232100200000ttttttttetet eeteeee结论结论3 3：不稳定不稳定A A有一个特征值：有一个特征值：或或 的特征值有重根的特征值有重根0)
17、Re(k0)Re(k111111232100200000ttttttttetet eeteeee 设系统方程为：设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。试确定其外部稳定性、内部稳定性。xxx10,121160yu （1 1）系统的传递函数为：）系统的传递函数为：)3(1)3)(2()2(12116101ssssss极点位于极点位于s s左半平面，左半平面，s=2s=2的极点被对消掉了。系统是有的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。界输入有界输出稳定的。BAICW1)(ss求系统的特征方程：求系统的特征方程：0)3)(2(116)det(AI1223 求求得得：，系统不是渐近稳定
18、的。系统不是渐近稳定的。12112112212122121,2,3xxxxxxxxxxxxxxxx 例例:用用间间接接法法判判断断下下列列系系统统的的稳稳定定性性）21,211,det()(1)1,1,1 1AsIAssi 系系统统每每个个平平衡衡点点不不稳稳定定。3)21,2112,det()(1)11,11AsIAssi 系系统统平平衡衡点点渐渐近近稳稳定定。），21,2011,det()1,10 AsIAssi 解解系系统统所所有有平平衡衡点点稳稳定定。：），eeex=x()ff(x,)=f(x,)+(x-x)R(x)x ette e将将f(x)f(x)在在x x 邻邻域域展展成成泰泰勒
19、勒级级数数:高阶项之和x xfxx对于非线性系统，可以在一定条件下用它的对于非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模近似线性化模型型来研究它在平衡状态的稳定性。来研究它在平衡状态的稳定性。xf(x,)t 非非线线性性系系统统：第一法在非线性系统中的应用第一法在非线性系统中的应用结论：在线性化系统模型中，结论：在线性化系统模型中，1 1）A A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 处渐近稳定；处渐近稳定；2 2）A A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在 处处 不稳定；不稳定；ex1111212 e
20、ennnnnfffxxxJacobianfffxxx 得得线线性性化化模模型型为为其其中中为为矩矩阵阵x xx xxAxfAx3)3)A A在特征值的实部有一部分为在特征值的实部有一部分为0 0，其它的都具负实部，非线，其它的都具负实部，非线性系统在性系统在 处的稳定性不能得出明确结论，而取决于高次项处的稳定性不能得出明确结论，而取决于高次项。exex 设系统方程为：设系统方程为：试确定其在平衡状态的稳定性。试确定其在平衡状态的稳定性。11122212xxx xxxx x 系统的平衡状态为：系统的平衡状态为：12(0,0),(1,1).TTeexx11112121222|0 01111-10=
21、-1+0-1=-1=1eexxxxxxxxxxxx（，）在在处处将将其其线线性性化化，有有，其其特特征征值值为为，则则系系统统在在处处是是不不稳稳定定的的。21112121222|1 11,221-0-1=-1+10=jeexxxxxxxxxxxx（，）在在处处 将将 其其 线线 性性 化化，有有，其其 特特 征征 值值 为为，实实 部部 为为 零零，则则 无无 法法 得得 出出 系系 统统在在处处 稳稳 定定 性性 的的 结结 论论。（c）不稳定）不稳定性性（b）渐近稳定性）渐近稳定性（a）李雅普诺夫意义下的稳定性）李雅普诺夫意义下的稳定性4.3 4.3 李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫
22、第二法（直接法）不必不必求解微分方程，求解微分方程，直接直接判断系统稳定性。判断系统稳定性。平衡状态能量最小。系统经激励后，其能量若随着时间推平衡状态能量最小。系统经激励后，其能量若随着时间推移而衰减，最终到达能量最小的平衡状态，则为渐近稳定移而衰减，最终到达能量最小的平衡状态，则为渐近稳定的。的。反之，若系统不断从外界吸收能量，则不稳定。反之，若系统不断从外界吸收能量，则不稳定。对于一些纯数学系统，还没有一个定义对于一些纯数学系统，还没有一个定义“能量函数能量函数”的的简便方法。为了克服这个困难，简便方法。为了克服这个困难，LyapunovLyapunov定义了一个定义了一个虚虚构的构的广义
23、广义能量函数能量函数，称为，称为LyapunovLyapunov函数函数(能满足稳定性定能满足稳定性定理的理的 函数函数)。()V x()V x 是标量函数，是标量函数，x x为状态变量，是为状态变量，是t t的函数。的函数。()()dV xV xdt连续一阶偏导，连续一阶偏导，反应能量变化反应能量变化。是非负数（是非负数（定号性定号性），），反应能量大小；反应能量大小；()V x()V x李雅普诺夫直接法：利用李雅普诺夫直接法：利用 和和 的符号特性来直接的符号特性来直接判断系统在平衡状态是否稳定。判断系统在平衡状态是否稳定。()V x在零平衡状态的邻域内在零平衡状态的邻域内 正定：正定：0
24、,x 0,x()0V x 负定：负定：0,x()0V x 半正定：半正定：时，时，0 x()0V x()V x 半负定：半负定：时，时，0 x()0V x 0 x 不定：不定：时，时，可正可负。可正可负。()0;V x 一、标量函数一、标量函数 的定号性的定号性(x)V已知已知 ，确定标量函数的定号性。，确定标量函数的定号性。Txxx321 x0)(,0 0)(,0 xxxxVV)(xV正定正定0)(,0 xxV)(xV半正定半正定0)(,0,0,0321xVxxx()0Vx其其余余 0)(,0 0)(,0 xxxxVV)(xV0)(,0 xxV0)(,02,0231xVxxx ()0Vx其其
25、余余0)(,0 0)(,0 xxxxVV半负定半负定0)(20)(2232221232221xxVxxxVxxx不定不定)(xV二、二次型二、二次型V V函数函数2111 11212112222232324242221112112122221212()(,)22222nnnnnnnnnnTnnnnnnV xV xxp xp x xp x xp xp x xp x xp x xp xpppxpppxxxxx Pxpppx22,mvm1 12 21 12 2例例如如：匀匀速速直直线线运运动动的的物物体体的的动动能能为为匀匀速速旋旋转转运运动动物物体体的的动动能能为为。二次型：各项均为自变量的二次型
26、：各项均为自变量的二次二次单项式的标量函数单项式的标量函数P P为实对称矩阵为实对称矩阵jiijpp TPP 22111111(x)m222Vmvmxxx二次型函数的定号性与矩阵二次型函数的定号性与矩阵P P的定号性是一致的。的定号性是一致的。P P的定号性判断准则一，的定号性判断准则一，SylvesterSylvester准则准则：P P为正定的充要条件为：为正定的充要条件为：P P的各阶主子式大于的各阶主子式大于0 0，即：，即：11111122212200 0nPPPPP P P P为负定的充要条件为：为负定的充要条件为：P P的各阶主子式负、正相间，的各阶主子式负、正相间，i01,3,
27、i奇奇数数0i=2,4,0i=2,4,偶偶数数 P P为半正定的充要条件为：为半正定的充要条件为：P P的各阶主子式为正或零，的各阶主子式为正或零，即即0.i P P为半负定的充要条件为：为半负定的充要条件为：P P的各阶主子式满足负定的各阶主子式满足负定的条件，但其中可以有等于的条件，但其中可以有等于0 0的。的。P P的定号性判断准则二，的定号性判断准则二，特征值判据特征值判据：1)AAAAAAAA正正定定的的特特征征值值均均为为正正数数负负定定的的特特征征值值均均为为负负数数半半正正定定的的特特征征值值均均为为非非负负数数半半负负定定的的特特征征值值均均为为非非正正数数 确定下列二次型的
28、定号性。确定下列二次型的定号性。323121232221242210)(xxxxxxxxxVx3213211121212110)(xxxxxxV x判别方法一判别方法一0101019211102正定正定)(xV0511212121103P P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式00 确定下列二次型的定号性。确定下列二次型的定号性。222123()2V xxxx112323100()020001xV xxxxxx判别方法二判别方法二0)1)(2)(1(100020001P-I 1,2,1 321矩阵矩阵P P的特征值的符号有正的特征值的符号有正有负，即符号不定有负，即符号不定不定不定)(xV 确定下
29、列二次型为正定时，待定常数的取值范围。确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。323121231221211242)(xxxxxxxcxbxaVx11123121312()1121axV xxxxbxcx011a011112ba11 11 1 11110144aababcbac01211211113cba()0()1()()2()()0eexf xxV xV xV xV xf xxx考考虑虑系系统统，设设为为一一平平衡衡状状态态,如如果果存存在在连连续续可可微微的的标标量量函函数数满满足足）是是正正定定的的；）是是半半负负定定的的；则则系系统统的的平平衡衡状状态态是是李李雅雅普普诺诺夫夫意
30、意义义下下稳稳定定的的。稳定性定理稳定性定理三、李雅普诺夫稳定性判别定理三、李雅普诺夫稳定性判别定理O1x2xO1x2x()()(0)0()()V xV xC CCV xV x正正定定，是是一一个个闭闭的的曲曲面面族族，层层层层相相套套且且随随向向原原点点退退缩缩；半半负负定定，的的值值沿沿着着运运动动轨轨迹迹只只能能减减少少或或保保持持定定值值。()0()1()()2)()()0eexf xxV xV xV xV xf xxx考考虑虑系系统统，设设为为一一平平衡衡状状态态。如如果果存存在在连连续续可可微微的的标标量量函函数数满满足足）是是正正定定的的；是是负负定定的的；则则系系统统的的平平衡
31、衡状状态态是是渐渐近近稳稳定定的的。渐近稳定性定理渐近稳定性定理|().xVx当当时时，O1x2x()0eV xx 进进一一步步，若若是是半半径径无无穷穷大大的的，则则平平衡衡状状态态是是大大范范围围渐渐近近稳稳定定的的。22121122221212():,()xxx xxxxx xx 例例 已已知知系系统统用用李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数方方法法判判断断其其稳稳定定性性.22121122221212:(1)0()00()0 xxx xxxxx xx解解寻寻找找平平衡衡状状态态2212(2)()V xxx选选择择。2221 12212(3)()()222()V xV xx xx xxx 稳稳定
32、定性性判判断断正正定定,.负负定定,(0,0)(),(0,0)V x根根据据定定理理 系系统统平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定.且且由由于于为为半半径径无无穷穷大大的的 故故大大范范围围渐渐近近稳稳定定.几何解释：几何解释：2212()=()V xxxCV xx由由确确定定的的图图形形表表示示状状态态到到原原点点的的距距离离，而而表表示示状状态态 沿沿系系统统轨轨线线趋趋向向于于原原点点的的速速度度。定理条件的降低：定理条件的降低：定理条件定理条件 的负定性可以降低。的负定性可以降低。()V x()()0()0()0V xV xV xV x用用“半半负负定定，且且不不恒恒等等于于”代代替替了了
33、“负负定定”即即允允许许运运动动过过程程中中在在某某些些状状态态点点上上能能量量速速率率为为，而而由由不不恒恒等等于于 保保证证运运动动能能脱脱离离这这类类状状态态点点，继继续续收收敛敛到到原原点点。()0()1()()2()()3|()00()0eneexf xxV xV xV xV xf xxxV xxV xxR考考虑虑系系统统，设设为为一一平平衡衡状状态态。如如果果存存在在连连续续可可微微的的标标量量函函数数满满足足）是是正正定定的的；）是是半半负负定定的的；）集集合合不不包包含含系系统统的的除除平平衡衡状状态态以以外外的的状状态态轨轨迹迹。则则系系统统的的平平衡衡状状态态是是渐渐近近稳
34、稳定定的的。进进一一步步，若若是是半半径径无无穷穷大大的的，则则平平衡衡状状态态是是全全局局渐渐近近稳稳定定的的。O1x2x()0()1()()2()()0eexf xxV xV xV xV xf xxx考考虑虑系系统统，设设为为一一平平衡衡状状态态。如如果果存存在在连连续续可可微微的的标标量量函函数数满满足足）是是正正定定的的；）也也是是正正定定的的；则则系系统统的的平平衡衡状状态态是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下不不稳稳定定的的。上述结论是系统平衡状态稳定性判断的上述结论是系统平衡状态稳定性判断的充分充分条件。条件。所以，不能根据没有找到符合上面定理的 得出系统在平衡点不稳定的结论，也
35、不能根据 为不定得出系统在平衡状态不稳定的结论。不稳定性定理不稳定性定理()V x()V x12212:,xxxxx 例例 已已知知系系统统用用李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数方方法法判判断断其其稳稳定定性性.21122:(1)0000 xxxxx解解寻寻找找平平衡衡状状态态2212(2)()V xxx选选 择择21 1222(3)()()222V xV xx xx xx稳稳定定性性判判断断正正定定,.(0,0)半半负负定定进进一一步步判判断断系系统统平平衡衡状状态态的的渐渐近近稳稳定定性性.02)(22xV x02 x02 x 021xx01 x)(xV只在原点恒为零只在原点恒为零,3(0,0)
36、.因因此此 渐渐近近稳稳定定性性判判据据条条件件)成成立立,从从而而系系统统平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定)(,xxV系统原点系统原点平衡状态平衡状态为为大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。22212122212121122121()()2,(),2()()()2().(0,0).,(),(0,0)V xxxxxV xV xxxxxx xx xxxV x 如如果果选选择择则则正正定定且且负负定定于于是是系系统统平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定进进一一步步为为半半径径无无穷穷大大的的全全局局渐渐近近稳稳定定.112212:,xxxxxx 例例 已已知知系系统统用用李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数方方法
37、法判判断断其其稳稳定定性性.1211222212221 12212:(1)0000(2)()(3)()()2222.(0,0)xxxxxxV xxxV xV xx xx xxx解解寻寻找找平平衡衡状状态态选选择择稳稳定定性性判判断断正正定定,正正定定所所以以系系统统平平衡衡状状态态不不稳稳定定.例例 给定连续时间的定常系统给定连续时间的定常系统 试判定其稳定性。试判定其稳定性。系统的平衡状态为系统的平衡状态为 。取。取(i)(i)为正定；为正定；(ii)(ii)显然显然 是半负定的；是半负定的；1222122(1)xxxxxx 120,0 xx2212()V xxx2212()V xxx122
38、212222212212 222(1)(1)xxVVVxxxxxxxxxx 12211221(iii)(a):=0()0.=0=0 (b):=-1 ()0.=-1=0 xxV xxxxxV xxx可可以以看看出出，只只有有当当任任意意，时时，而而根根据据系系统统的的状状态态方方程程，在在系系统统的的任任意意轨轨线线上上，则则必必然然有有；任任意意，时时，时时，由由状状态态方方程程 中中的的第第二二个个方方程程可可得得，进进而而由由第第一一个个方方程程又又 22=0=-1 ()0.(),(0,0)xxV xV x 得得到到，这这说说明明不不可可能能在在系系统统轨轨线线上上。因因此此，除除了了原原
39、点点以以外外，在在系系统统的的任任意意轨轨线线上上均均有有且且由由于于为为半半径径无无穷穷大大的的故故全全局局渐渐近近稳稳定定.例例:研究以下系统在研究以下系统在(0,0)(0,0)点的稳定性点的稳定性1221sinxxgxxl 22111222121:(1)()(1 cos)2(2)()2()sinsinsin=0 0 0ixgV xxlV xxgggV xxxx xxxxxlll解解选选择择 稳稳定定性性判判断断在在原原点点的的邻邻域域 0)(0)负定负定(0)(0)(0)半负定半负定(0)0)且不恒为且不恒为0 0(对任意非零的初始状态的解对任意非零的初始状态的解)该平衡该平衡状态状态渐
40、近稳定渐近稳定正定正定(0)(0)半负定半负定(0)0)且恒为且恒为0 0(对某一非零的初始状态的解对某一非零的初始状态的解)该平衡该平衡状态状态稳定稳定但非渐近稳定但非渐近稳定正定正定(0)(0)正定正定(0)(0)该平衡该平衡状态状态不稳定不稳定4.4 4.4 李雅普诺夫第二方法在线性系统中的应用李雅普诺夫第二方法在线性系统中的应用一、定常连续系统一、定常连续系统 xAx该类系统具有如下特点该类系统具有如下特点:1)1)当系统矩阵当系统矩阵A A为非奇异时为非奇异时,系统有且仅有一个平衡状态系统有且仅有一个平衡状态 ,即为状态空间原点即为状态空间原点;2)2)若该系统在平衡状态若该系统在平
41、衡状态 的某个邻域上是渐近稳定的的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的则一定是大范围渐近稳定的;3)3)对于该线性系统对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次 型函数的形式。型函数的形式。0ex 0ex 结论：结论：线性定常连续系统线性定常连续系统 在平衡状态在平衡状态 处渐近稳定的处渐近稳定的充要条充要条件件是：对于任意给定的正定矩阵是：对于任意给定的正定矩阵Q Q，存在正定矩阵，存在正定矩阵P P，满足以下，满足以下方程：方程：xAx0exT A PPAQ,充分性充分性：()TV取取xx Px()()0TTTTTTTTV xx Pxx
42、 Pxx A Pxx PAxxA PPA xx Qx 并且正定函数并且正定函数 即为系统的一个李雅普诺夫函数。即为系统的一个李雅普诺夫函数。TxPx必要性必要性（P170）：）：+00,=.TA tAtAQPeQe dt渐渐近近稳稳定定的的特特征征根根均均有有负负实实部部。设设对对称称矩矩阵阵令令由矩阵指数函数由矩阵指数函数eAt的定义和性质知的定义和性质知,上述被积矩阵函数的上述被积矩阵函数的各元素一定是具有各元素一定是具有tke t形式的诸项之和形式的诸项之和,其其 是是A的特征值。的特征值。因为系统是渐近稳定的因为系统是渐近稳定的,则矩阵则矩阵A A的所有特征值的所有特征值 的实部的实部
43、一定小于零一定小于零,因此上述积分一定存在因此上述积分一定存在,即即P为有限对称矩阵。为有限对称矩阵。又由于又由于Q正定正定,矩阵指数函数矩阵指数函数eAt可逆可逆,可知可知,P为有限的正定为有限的正定矩阵。矩阵。+00+0+00 =()=()=|.limlim0,.TTTTTTTTTA tAtA tAtTA tAtA tAtA tAtA tAtA tAtttTA PPAAeQe dteQe AdtA eQeeQe A dtd eQeeQeAeeA PPAQ 因因 的的特特征征根根均均有有负负实实部部，则则因因此此，李雅普诺夫矩阵代数方程李雅普诺夫矩阵代数方程注注:1 1）如果）如果 沿任意一
44、条状态轨线不恒为零沿任意一条状态轨线不恒为零,那么那么 可取为半正定矩阵可取为半正定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充而系统在原点渐近稳定的充 要条件为要条件为:存在正定矩阵存在正定矩阵 满足李雅普诺夫代数方程。满足李雅普诺夫代数方程。2 2）矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定 的的,那么最终的判定结果将与那么最终的判定结果将与 的不同选择无关。的不同选择无关。3 3）最方便的是选取）最方便的是选取 为单位矩阵。为单位矩阵。TV(x)=-x Q xQPQQQ判别步骤：判别步骤：(2)(2)求解求解 。T A PPAQ(1)(1)选取选取 为正定实对
45、称矩阵（对角阵或单位阵）；为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）；Q(3)(3)若若P P为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。若若 可选取可选取 为半正定实对称矩阵。为半正定实对称矩阵。Q0,()Vxx不不恒恒为为零零PPLyapunov正正定定：系系统统在在平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定非非正正定定：系系统统在在平平衡衡状状态态非非渐渐近近稳稳定定（不不稳稳定定、意意义义下下的的稳稳定定）0111例例xx1112111212221222,010110 111101Tpppppppp 解解：取取 即即：QIA PPAI0e是是 正正 定定 的的，处处 渐渐 近近
46、稳稳 定定.Px1222111212222102()1pppppp1.50.50.51P1111.50p 21.50.51.2500.51 负定负定PxxxTV)(QxxxTV)(2221215.1xxxx正定正定2221xx k例例 求求使使下下面面系系统统在在平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定的的 的的取取值值范范围围1122330100 02100.5010.5xxxxukkxxdet0.50,0.ek 有有Ax解：解：000000001取取，半半 正正 定定,Q()TVxx Px12123233000()()000001TTTxVxxxxxx xxA PPA xx Qx120 xx111
47、213111213212223212223313233313233000.50100001200210000110.501001kPPPPPPPPPPPPPPPPPPk,所所以以由由上上述述正正半半定定的的 如如能能得得到到正正定定的的 则则系系统统在在平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定。QP23()0 0,Vx令令，则则-x30 x3130.50 xkxx10 x 20 x 0()0 xV x当当，不不 恒恒 为为，2241201 1262,48 40224kkkkkkkk解解出出：P T将将上上述述、代代入入方方程程A QA P PAQ,33332(48 4)00(48 4)(48 4)kk
48、kkkk 012.kk使使系系统统在在平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定的的 值值为为：2124001248 4kkkkk，322600(484)kkk ()()()()()()()TTtttttttxAPPPAx结论结论：时变连续系统：时变连续系统 在平衡状态渐近稳定的在平衡状态渐近稳定的 充要条件：对任意给定的连续对称正定矩阵充要条件：对任意给定的连续对称正定矩阵 ，存在，存在一个连续对称正定矩阵一个连续对称正定矩阵 是是李雅普诺夫矩阵微分方程李雅普诺夫矩阵微分方程的解：的解：()()()ttt xAx()tQ()P t二、时变连续系统二、时变连续系统(,)()()()()TVttttt思思
49、路路：设设，对对称称、正正定定，xxPxP(,)()()()()()()()()()TTTVtttttttttt则则xxPxxPxxPx()()()x tA t x t()()()()()()()()()()()TTTTtttttttttttxAPxxPxxPA x()()()()()()Ttttttt PAPPAQ0000()(,)()(,)(,)()(,)tTTttt ttt ttt d上上述述矩矩阵阵微微分分方方程程的的解解为为：PPQ (,),()()()()()()TVttttttt负负定定即即负负定定、对对称称xAPPPAQ 得到得到 是连续对称正定矩阵，则时变系统在平衡状是连续对
50、称正定矩阵，则时变系统在平衡状态处是渐近稳定的。态处是渐近稳定的。()tP 可取单位矩阵等，可取单位矩阵等，应已知。应已知。()tQ0()tP(),()()()()()()Tttttttt也也即即给给定定正正定定对对称称矩矩阵阵求求解解方方程程QPAPPAQ()t即即 应应正正定定、对对称称Q李雅普诺夫稳定性的判定方法李雅普诺夫稳定性的判定方法 V V(x)x)V V(x)x)结论结论正定正定(0)(0)负定负定(0)(0)(0)半负定半负定(0)0)且不恒为且不恒为0 0(对任意非零的初始状态的解对任意非零的初始状态的解)该平衡该平衡状态状态渐近稳定渐近稳定正定正定(0)(0)半负定半负定(
