1、理 论 力 学（运动学）教教 材材:理论力学 陈国平 罗高作 主编武汉理工大学出版社参考书参考书:建筑力学 钟光珞 张为民 编著中国建材工业出版社 建筑力学 周国瑾等 编著同济大学出版社 理论力学 范钦珊 主编清华大学出版社 110 10 质点动力学质点动力学2Fa m3 将动力学基本方程将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。点的运动微分方程。)(Fam 1.矢量形式矢量形式22d drmFt222222dd()d ()d()dd xmXtxx tymYyy ttzz tymZt式中2.直角坐标形式直角坐标形式10-2 质点运动微分方程的形
2、式质点运动微分方程的形式 X=max Y=may4 3.自然形式自然形式),)(轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。为质点的弧坐标形式的式中bnFFFFtssbn 质点运动微分方程还可有极坐标形式质点运动微分方程还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。222dd0nbsmFtvmFFbnFFvmFdtdvm0251.1.第一类第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）10-3 10-3 质点动力学两类问题质点动力学两
3、类问题解题步骤和要点：解题步骤和要点：正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析正确进行受力分析,画出受力图画出受力图(应在一般位置上进行分析应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量。求解未知量。60v桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，
4、求求钢丝绳的最大拉力。解解：选重物(抽象为质点)为研究对象 受力分析如图所示运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。例例17例题例题1.曲柄连杆机构如图所示曲柄连杆机构如图所示.曲柄曲柄OA以匀角速度转动以匀角速度转动,OA=AB=r.滑块滑块B的运动方程为的运动方程为x=2rcos .如滑块如滑块B的质量为的质量为m,摩擦及连杆摩擦及连杆AB的质量不计的质量不计.求当求当 =t=0 时连杆时连杆 AB所受的力所受的力.OAB 8B解解:取滑块取滑块B为研究对象为研究对象.由于杆的质量不计由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力为二力杆。滑块受力如图。如图。NmgF x=2rcos=tax
5、=-2r2cosmax=-FcosF=-2 mr29umg s例：例：质量为质量为 m 长为长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为为u,=0。分析小球的运动。分析小球的运动。解：解：1、取研究对象画受力图、取研究对象画受力图、确定坐标系确定坐标系 2、建立微分方程、建立微分方程 3、求解并分析小球运动、求解并分析小球运动F ngFamm :sinmgml 运动微分方程运动微分方程cos2mgFml 分析小球的运动分析小球的运动（微幅摆动）（微幅摆动）0sin gl sin02 lg 20 lg 101 sin ,GdtdvgGFma2 cos ,2
6、GTlvgGFmann列出自然形式的质点运动微方程.,)(cos 22为变量其中式得由vglvGTmax,0 ,1TT 时因此重物作减速运动式知由)1(20maxglvGT求解未知量注注减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。11FNa 已知：已知：P，。求求 fmin。（1）取物块为研究对象，取物块为研究对象，画受力图画受力图PFa（2）研究对象运动分析研究对象运动分析（3）列方程求解求知量列方程求解求知量0cossinPFFagPPFFNyxcos),(sinPFgaPF
7、NNFfF tancosmingafyx例题例题12vpmniiim1vp13m1m2mnzoxyrCCrimimmmmiiiiiCrrriiCmmvvCiimmvvpvCvCOCC14tFI tddFI ttd0FI15Favpmtmtd)(dddtmd)(ddFvptdtmm00IFvv16dtdtdtmdiieiiieiii)()()()()()(FFFFvdtdtmdiieiii)()()(FFv(e)idIFpddteieiFtpddtdtd0(e)i0Fppp0)(dtiiF其中：其中：)(0eiIpp p或：或：)()()(/ezzeyyexxFdtdpFdtdpFdtdp微分形
8、式微分形式)(0)(0)(0ezzzeyyyexxxIppIppIpp积分形式积分形式17vrvMmmO)(Mo(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz MO(mv)=mvh=2OAB MO(mv)定位矢量定位矢量)()(vvMmMmzzO18Oriviyxzm1mim2ii)(vrvMLmmiiOO)(iizzmMLvzzOLL19rimi22)(iiiiiiiiizzrmrmrvmmMLv令：令：z2iiJrmzzJL 202.定轴转动刚体定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。三、刚体
9、动量矩计算三、刚体动量矩计算1.平移刚体平移刚体CCCiiiiOOvmrvmrvmML)()iiii iCCCrmvmrvmrv)(CzzvmML 平移刚体可视为质量集中于质心的平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。质点来计算对点（或轴）的动量矩。2()zziii izLMmvm rJ 对转轴对转轴的动量矩的动量矩ziMiriivm213.平面运动刚体平面运动刚体质点系对质心的动量矩质点系对质心的动量矩iriiCiiiiiCvmrvmrvmrL OxyzxyzCmiviirirCr动坐标为平移坐标系动坐标为平移坐标系iriiCiivmrvrm)(CririiiriiCC
10、Lvmrvmrvrm )(iiiiiCiiiOvmrvmrvmrL 质点系对质点系对O点的动量矩点的动量矩CCCCiiCLvmrLvmr()zzCCLMmvJ平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。与绕质心轴作转动时的动量矩之和。对质心的动量矩用绝对速度对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。和用相对速度计算是相等的。22动量动量矩矩)(CzzvmML zzJL()zzCCLMm
11、vJ2311222321RRvv1223232222()OJJLmmR vRROOAOBOCL=L+L+L1122222332()JJm v Rm v R解解：例例1 滑轮滑轮A：m1，R1，J1 滑轮滑轮B：m2，R2，J2；R1=2R2 物体物体C：m3 求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。24解解:v=r ABOOPPLv rv rJgg 221,()22OOABPrPJrLPPgg将代入得。例例2求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。25例题例题3.重重150N的均质圆盘的均质圆盘B与重与重60N,长长24 cm的均质直的均质直杆杆AB在在 B处用铰链连接如图处用铰链连接如图
12、.求求系统对系统对A点的动量矩。点的动量矩。B ABC圆盘圆盘B平动平动,杆杆AB作定轴转动作定轴转动.26lvgWJBBA2224.08.915024.08.9360vB27)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd)()(FMvMOOmdtd28)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)(eiOdtdFMLO0)()(iiOFM其中：其中：)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)(e)izzMLdtdF29PWRMoe)()(eOMotdLd)(22RgWJWRaOvRgWJLOORvvRgWRJLOO)(WRd
13、tdvRgWRJO)(30rimi)()(izzMJdtdF)(22FzzzzMdtdJdtdJJ)(Fz zz zMJ31aCmgO解：取摆为研究对象解：取摆为研究对象求：求：微小摆动的运动方程微小摆动的运动方程已知：已知：m，a，JO。sin22mgadtdJO 摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：sin022 OJmgadtd例题例题 2322mdJzCJzdJzJzCmCBAzCz2)2(lmJCzJz212lm2 4lm231ml332mJz z惯性半径惯性半径(回转半径回转半径)mJzz 34OCmgFOyFOxmgRJO2222321mRmRmRJORg32求：角加速度求：角加速
14、度 35刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 yFxFCxm.Cym.)(eiCMFCJ.36CFNmgaCsin CCxxmamamgF cos0sinmgFgaNC0cos CyNymaFmgF 0 CCMJ 37(b)斜面足够粗糙斜面足够粗糙 RaC cossin31sin32sin32mgFmgFRggaNC CFNaCmgF由由 得：得：Nf FFtan31gf满足纯滚的条件：满足纯滚的条件：maFmgC FRJC sinxFFmgN0cosyF38解解:取整个系统为研究对象，取整个系统为研究对象，受力分析如图示。受力分析如图示。运动分析：运动分析：v=r()()()eOABAB
15、MFP rP rPP rABOOPPLv rv rJgg 221,()22OOABPrPJrLPPgg将代入得由动量矩定理：由动量矩定理：2d()()d2ABABrPPPPPrtgdd/2ABABPPgtrPPP已知已知:。求求 ;滑轮重P；半径为r；PPBA例例53913 动能定动能定理理40质点的动能质点的动能221mvT 质点系的动能质点系的动能 iiivmT22141a.平动刚体的动能平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能221CmvT rimi21zJT2222222121)(2121ziiiiiiiiiJrmrmvmT42PCd222121CCJmvT221PJT
16、2mdJJCP222)(2121mdJJTCPdvC43221122CCTmvJ21,2CCJmR vR243CmvT C均质圆盘在地面上均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能 v例例1221122CCTmvJCvRv2211()22CTm vrJ44vABC解：PP 为为AB杆的瞬心杆的瞬心234ATMvsinvl222111223PlJmlmml22221126sin3ABPABmvTJmv219412TMm v总均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下端A用铰
17、与质量为用铰与质量为M半径为半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线，杆与水平线的夹角的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。，求该瞬时系统的动能。vPAAABTTT总例例245a.常力的功常力的功b.变力的功变力的功FMM1M2SsFW cos功是代数量，其国际单位制为功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。（焦耳）。dsFWdcossdsFW0cos46c.（1）重力的功）重力的功x12)(21zzmgW)(2112iiizzgmW)(2112CCzzmgW几种常见力的功几种常见力
18、的功47（2）弹性力的功）弹性力的功)(22221ddkW222212 ()()22kkWdddd初末即弹性力的功只与弹簧的起弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，始变形和终了变形有关，与力作用点的路径无关。与力作用点的路径无关。rrr/048当刚体转动时，转角当刚体转动时，转角 与弧长与弧长s的关系为的关系为力力F在刚体从角在刚体从角 1 1转到转到 2 2所作的功为所作的功为2112dzWM作用于转动刚体上的力的功，作用于转动刚体上的力的功，力偶的功力偶的功作用面垂直转轴的常力作用面垂直转轴的常力偶偶M，则力偶作的功为则力偶作的功为d sdR12)MW1(2刚体刚体49（4）平面运动
19、刚体上力系的平面运动刚体上力系的功功dMdWCCCCR 212112rF平面运动刚体上力系的功等于力系向质心平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。简化所得的力和力偶做功之和。50MiCdrCdriCicCidddrrriCiCiiidddWrFrFrFddMdCMFdiCiiiCi)(cosFrFdddMddMdWWCCRiCCii rFFrF)(dMdWCCCCR 212112rF51（5）只要只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等刚体的内力功之和等于零。不可伸长
20、的绳索内力功之和等于零。于零。但变形体内力功之和不为零。但变形体内力功之和不为零。BArFrFWdddBArFrFdd)(dBArrFBArF d质点系内力的功质点系内力的功 刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。52约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。5.柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。3.刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体
21、的光滑铰链（中间铰）RRRRdddd0WFrFrFrFrd2.固定铰支座、活动铰支座和向心轴承固定铰支座、活动铰支座和向心轴承NNd0 (d)WFrFrd1.光滑固定面约束光滑固定面约束理想约束力的功理想约束力的功（6）530ddtvrC0ddtvFrFWCd法向力法向力 ，摩擦力作用于瞬心，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移处，而瞬心的元位移NFF(b)圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功(a)动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功2211NddMMMMWF sf Fs FN=常量时常量时,W=f FN S,与质点的路径有关。与质点的路径有关。圆轮沿固
22、定面作纯滚动时，圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功摩擦力是静摩擦力，不作功!(7)摩擦力的功摩擦力的功54如图所示滑块重如图所示滑块重P9.8 N，弹簧刚度，弹簧刚度系数系数k0.5 N/cm，滑块在，滑块在A位置时位置时弹簧对滑块的拉力为弹簧对滑块的拉力为2.5 N，滑块在，滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光滑水平的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置槽从位置A运动到位置运动到位置B，求作用于，求作用于滑块上所有力的功的和。滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与与N始终垂直于始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算
23、滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T 与与F的功。先计算的功。先计算T 的功：的功：在运动过程中，在运动过程中，T 的大小不变，但方向在变，的大小不变，但方向在变，因此因此T 的元功为的元功为cosdTWTx2215)20()20(cosxxTPFFN因此因此T在整个过程中所作的功为在整个过程中所作的功为T15 cmBA20 cmx例例12020220020cosd20d200 N cm(20)15TxWTxxx55再计算再计算F的功：的功：由题意：由题意：12.55cm0.5d252025cmd因此因此F在整个过程中所作的功为在整个过程中所作的功为22221211()0.5(52
24、5)150N cm22FWkdd 因此所有力的功为因此所有力的功为200 15050N cmTFWWWT15 cmBA20 cm另另外外20ctg15x215dd15dctgsinx 1cos d15d()sinx F=kd56一、质点的动能定理：一、质点的动能定理：Wmvd)21(d2动能定理的微分形式动能定理的微分形式2221121122mvmvW动能定理的积分形式动能定理的积分形式13.313.3动能定动能定理理57)21(d)(d2d 2mvvvmvvm而Wmvd)21(d2因此因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径将上式沿路径 积分，可得积分，可得21MM2221121
25、122mvmvW动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以两边点乘以，有，有drrFrtvmddddFtvmdd牛顿定律牛顿定律58P均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量为质量为m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动惯量为惯量为JO。圆轮在重物。圆轮在重物P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O转动，转动，已知重物重量为已知重物重量为W。s222121210OJvgWTTRvWsW12WsvRJvgWO02121222vdtdsadtdv,59Ps)(22RgWJWRaO60已知已知：m，R,f，。CFNmgvCF取系统为研究对象取系统为研究对象s222121210CCJmvTTRvCsin12mg
26、sWsin0432mgsmvC2243CmvTsin32ga 61图示系统中图示系统中,重物重物A质量为质量为m1,系在绳子上，绳子跨过系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮不计质量的固定滑轮D并绕在鼓轮并绕在鼓轮B上，由于重物下上，由于重物下降，带动了轮降，带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为鼓轮半径为r，轮，轮C的半径为的半径为R，两者固连在一起，总，两者固连在一起，总，质量为质量为m2，对于其水平轴，对于其水平轴O 的回转半径为的回转半径为。求重物。求重物A下落距离下落距离h时的加速度。时的加速度。(绳重不计，绳不可伸长，绳重不计，绳不可伸
27、长，初始时系统静止初始时系统静止)OBCDA62OBCDAm1gs2212121210PJvmTTPrRv2222RmmJPgsmW1122222212)(21vrRRmmTgsmvrRRmm12222210)(2163OBCDAm1gsP)()()(2222121RmrRmrRgmaA64OCBPOACBPFFTFNmg2222222143)21(21210mRmRmRJTTCmgfsPsW212mgfsPsmR20432265OCBPOACBPFFTFNmg)2(32mgfPmsR)(32mgfPmR66卷扬机如图，鼓轮在常力偶卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓的作用下将
28、圆柱上拉。已知鼓轮的半径为轮的半径为R1，质量为，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为径为R2，质量为，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程经过路程 的速度。的速度。解：以系统为研究对象，解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为所有力所作的功为sgmRsMWsin2112系统在初始及终了两状态的动能分别为系统在初始及终了两状态的动能分别为01T22221122111222CCT
29、Jm vJFNFSm2gm1gFOxFOyMOC例例567其中其中2111Jm R22212CJm R11RvC22RvC于是于是)32(42122mmvTC由由1212WTT得得sgmRsMmmvCsin0)32(421212解之得解之得)32()sin(221112mmRsgRmMvCFNFSm2gm1gFOxFOyMOC68作作业业求物块求物块A由静止下降至由静止下降至任意位置任意位置(x)时的加速时的加速度度?Rmgmgmg69人用手推车人用手推车amFF力力 是由于小车具有惯性，力图保持是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体原来的运动状态，对于施力物体(人手人手)产
30、生的反抗力。称为小车的产生的反抗力。称为小车的惯性力惯性力。F一、惯性力的概念惯性力的概念 注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。14 动静动静法法14.1.1 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理 定义：质点惯性力定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。性反抗的总和。maG14.1 达朗伯原理达朗伯原理70二、质点的二、质点的达朗伯达朗伯原理原理Gma质点的质点的达朗伯达朗伯原理原理maFma0F0GF即：即
31、：在质点运动的任一瞬时在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动作用于质点上的主动力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系的平衡力系。这就是。这就是质点的质点的达朗伯达朗伯原理原理。14.1.2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理71列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢，相对于车厢静止。求车厢的加速度的加速度 。a例题例题 172gg ()FmaFma g0,sincos0 xFmgF 角随着
32、加速度角随着加速度 的变化而变化，当的变化而变化，当 不变时，不变时，角角也不变。只要测出也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度角，就能知道列车的加速度 。摆式。摆式加速计的原理。加速计的原理。aaa由动静法由动静法,有有tgga 解得解得 选单摆的摆锤为研究对象选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力虚加惯性力 解：解：73740)cos(00)sin(sin0T2T111T2T1211FFgmFFFlmFyxT1T12T1T3T1cos2FFgmFFF,glmmm2121cos7514.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化一、平动刚体的惯性力一、平动刚体的惯性力GcacM作用在质心上作用
33、在质心上二、定轴转动刚体的惯性力二、定轴转动刚体的惯性力GoacMGoJoM 作用在定点作用在定点三、平面运动刚体的惯性力三、平面运动刚体的惯性力GcacMJcGcM 作用在质心上作用在质心上76习题习题1AOC nGGGcMOC nGGGcMnma=nGcma=GcC GcM cGGcM77rC 重重P、半径为、半径为r的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为 的斜面向下滚动。求轮心的斜面向下滚动。求轮心C 的的 加速度。加速度。解：以解：以圆轮为研究对象圆轮为研究对象,受力如图受力如图,建立如图坐标。建立如图坐标。圆轮作平面运动圆轮作平面运动,轮心作直线运动轮心作直线运动,则则Car将惯性力系
34、向质心简化将惯性力系向质心简化,惯性力和惯性力偶矩的大小为惯性力和惯性力偶矩的大小为gPFrg2g2PMrgCrFSFgMgFNPxyaC则由质点系的达朗伯原理则由质点系的达朗伯原理0cos0 xNFFPcosNFP例例3 378 g()00CSMF rMF解之得解之得2sin3Cagsin3SPFg0sin0ySFPFFrCFSFgMgFNPxyaC79均质杆长均质杆长l,质量质量m,与水平面铰接与水平面铰接,杆由与平面成杆由与平面成 0角位置，由静角位置，由静止落下。求刚开始落下时杆止落下。求刚开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A支座的约束力。支座的约束力。解解：选杆选杆AB为研究对
35、象，为研究对象，虚加惯性力系：虚加惯性力系：根据动静法，有根据动静法，有g2RmlF g0 nRnFma2g3AAmlMJ0g0g00 ,cos0 (1)0 ,sin0 (2)()0,cos/20 (3)ARnnnARAgAFFmgFFFmgFMFmglM例例4gRmaF gRFn=m R2man80单个物体的动力学问题，用动静法或单个物体的动力学问题，用动静法或动力学普遍方程求解区别不大。但是动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问物体系统的动力学问题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。03 cos 2gl解方程得：解方程得：
36、00 sin ,cos 4nAAmgFmgF 特别注意：特别注意：在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反相反(考虑负号考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入，不能再带负号！的大小代入，不能再带负号！81质量为质量为m1和和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为半径为r1和和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转
37、动惯量为的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。度。取系统为研究对象取系统为研究对象解：方法解：方法1 用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解例例82虚加惯性力和惯性力偶：虚加惯性力和惯性力偶：g11 1g222g ,OOFm aFm aMJJ由质点系的达兰贝尔原理：由质点系的达兰贝尔原理：1122g1 1g2 2g11221 1 122 2()0 ,00OOMFm grm grF rF rMm grm grm a rm a rJ列补充方程：列补充方程：代入代入上式上式得：得：2211 ,rara1 12 2221 12 2m rm rg
38、m rm rJ83习题习题2C AO1BO2 AO1CABnGnma=nGcma=Gc2L=m2L=m2GoJoM nG84习题习题3一一 图示系统中，物块图示系统中，物块A和半径为和半径为R的均质圆轮的均质圆轮B的质量均为的质量均为m1，圆轮圆轮B可在水平面上作纯滚动；均质定滑轮可在水平面上作纯滚动；均质定滑轮C的半径为的半径为r，质量，质量为为m2，弹簧刚度为，弹簧刚度为k，初始时系统处于静止，且弹簧恰为原长。，初始时系统处于静止，且弹簧恰为原长。试用动能定理求物块试用动能定理求物块A下降距离下降距离s时的速度和加速度。绳子的质时的速度和加速度。绳子的质量和轴量和轴C处的摩擦忽略不计。处的摩擦忽略不计。AkCB85AkCB2T10T p21pJ2B21CJ2C221v1m2RvBW pJ231m212R 1m2R 1m2RCJ2m212rrvC1mg21k21(s)22T1TW41128212mmksgma4112162122mmksgsmV86
