1、主主 題題:從從西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪談起談起設設 計計 者者:林進發老師林進發老師從從西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪談起談起一一.研究動機研究動機 二二.研究目的研究目的五五.研究結果研究結果三三.研究設備器材研究設備器材四四.研究過程研究過程八八.參考資料參考資料七七.結論結論六六.討論討論研究動機：研究動機：在數學第三冊第三章介紹商高定理時，曾在數學第三冊第三章介紹商高定理時，曾 經提到以經提到以西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪幫助我們在數線上畫出幫助我們在數線上畫出 長度長度 的線段的線段(如圖一如圖一)。類似西歐多樂斯輪的類似西歐多樂斯輪的 造圖法，依其規則可以畫出下列不同的造型，造圖法，依其規
2、則可以畫出下列不同的造型，使每個直角三角形都是等腰直角三角形，對於使每個直角三角形都是等腰直角三角形，對於 這一類圖形的線段長及面積和的計算，引起我這一類圖形的線段長及面積和的計算，引起我 們相當的興趣們相當的興趣(如圖二如圖二)。n圖一:西歐多樂斯輪圖二:類似西歐多樂斯輪 1 1 1二二.研究目的：研究目的：以以歸納推演歸納推演的方式，應用的方式，應用商高定理商高定理、等比級數等比級數和和公式公式來求得圖形的來求得圖形的線段總長度線段總長度與所有直角三與所有直角三角形角形總面積總面積，並舉例說明。，並舉例說明。三三.研究設備器材：研究設備器材：筆、尺、圓規、橡皮擦筆、尺、圓規、橡皮擦。四四.
3、研究過程：研究過程：何謂西歐多樂斯輪：在西元前何謂西歐多樂斯輪：在西元前425年古希臘哲學家年古希臘哲學家西歐多樂斯西歐多樂斯，發現下圖的造法（他只作到發現下圖的造法（他只作到 ），我們稱之為西歐多樂斯輪），我們稱之為西歐多樂斯輪 （The Wheel of Theodorus），），它可以幫助我們在數它可以幫助我們在數 線上畫出長線上畫出長 度為度為 的線段。的線段。17n (2)集並瞭解應用公式的由來：集並瞭解應用公式的由來：1.梯形面積梯形面積：(上底上底+下底下底)高高2 由來：設一梯形上底由來：設一梯形上底a、下底下底b、高高h，我們可以把兩個相同我們可以把兩個相同 的的梯形梯形併成
4、一個併成一個 平行四邊形平行四邊形，如圖三，如圖三 a b h b a 圖三:梯形面積 則平形四邊形的面積為則平形四邊形的面積為(a+b)h，梯形面積為平行四梯形面積為平行四邊形面積的一半邊形面積的一半(a+b)h 2即為所求。即為所求。2.商高定理：商高定理：一個直角三角形的斜邊平方等於其兩股的平方和。一個直角三角形的斜邊平方等於其兩股的平方和。由來：設一直角三角形兩股長分別為由來：設一直角三角形兩股長分別為a、b，斜邊長為斜邊長為c，我們可以我們可以 將相同的兩個直角三角形排成如圖四而成一個梯形將相同的兩個直角三角形排成如圖四而成一個梯形 c c b a b a 圖四:商高定理則梯形面積等
5、於三個直角三角形的面積和即則梯形面積等於三個直角三角形的面積和即 (a+b)(a+b)2 ab 2 c2 兩邊同乘以兩邊同乘以2得得 (a+b)(a+b)2 abc2 a22abb22 abc2 a2b2c2 即為所求。即為所求。2121 3.等比級數：在一等比級數中，若首項為等比級數：在一等比級數中，若首項為a，公比為公比為r，項數為項數為n，則其總和為則其總和為S (r 1)；若若r1，則則S=na。由來：我們以由來：我們以S表示表示n項等比級數的和即項等比級數的和即 Sa+ar+ar2+arn-1 當當r=1時，時，Sa+a+a+aan 當當r 1時，由兩邊同乘以時，由兩邊同乘以r 得得
6、rSar+ar2+ar3+arn 由由得得 SrSaarn (1-r)Sa(1-rn)S 即為所求。即為所求。rran11rran11(3)西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪的作圖：的作圖：1.首先作一兩股長為首先作一兩股長為1的等腰直角的等腰直角。則斜邊長為。則斜邊長為 。2.以以 和和1為兩股再作另一個相接連的直角為兩股再作另一個相接連的直角。則斜邊長為。則斜邊長為 3.以以 和和1為兩股再作另一個相接連的直角為兩股再作另一個相接連的直角。則斜邊長為。則斜邊長為 4.如此一直作下去的圖形，即得如此一直作下去的圖形，即得西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪如圖五。如圖五。5.此輪根據多次作圖，最多能畫出此輪根據多
7、次作圖，最多能畫出16個直角個直角，第，第17個其轉角的個其轉角的 和就會超過和就會超過360度，即會和第一個直角度，即會和第一個直角重疊。重疊。圖五:西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪22343(4)西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪線段長度和面積的計算：線段長度和面積的計算：數目長度面積12+22123+2+321(1+2)34+2+3+421(1+2+3)16(17+2+3+17)21(1+2+3+17)表一:西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪總長度和面積的計算(5)類似類似西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪的作圖：的作圖：1.首先作一兩股長為首先作一兩股長為1的等腰直角的等腰直角。則斜邊長為。則斜邊長為 。2.以以 為兩股再
8、作另一個相接連的等腰直角為兩股再作另一個相接連的等腰直角。3.再以第二次所作等腰直角再以第二次所作等腰直角的斜邊為兩股長作出第三次等腰直角的斜邊為兩股長作出第三次等腰直角。4.如此類推，一直作下去，就可以作得如此類推，一直作下去，就可以作得8個等腰直角個等腰直角相接連為一相接連為一 個輪狀個輪狀,如圖六。如圖六。22圖六:類似西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪(6)類似類似西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪線段長度和面積的計算：線段長度和面積的計算：數目總長度總面積12+22124+222336+4227846+3022255n看底下計算過程看底下計算過程表二:類似西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪總長度和面積的計算總長度
9、1+2+22+32+12n+1+2+22+32+.+n2 2【1+2+22+32+.+12n】+n2 22121n+n2 2（2+1）【n2-1】+n2 總面積21+1+4+8+2n-1 21+12121n 21+2n-1-1 2n-1-21(7)以另外一種方法來研討上述以另外一種方法來研討上述(6)5的方式：的方式：類似類似西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪，在不影響其線段總長度和面積情況下可以作，在不影響其線段總長度和面積情況下可以作 下圖的轉換。下圖的轉換。由轉換後的圖形可以瞭解，其全部的面積相當於一個大的等腰由轉換後的圖形可以瞭解，其全部的面積相當於一個大的等腰直角直角減去減去 ，而其線段總長度
10、為一等比級數加上大的直角，而其線段總長度為一等比級數加上大的直角的的斜邊和一股長後減去斜邊和一股長後減去(1+)計算如下：計算如下：221總面積為882121263總長度為1+2+22+32+42+52+62+82+8(1+2)1+2+2+22+4+42+8+8212 22+142若以上述(6)5.所求公式代入得：n6時，總長度2（2+1）【62-1】+62 2（2+1）【7】+8 22+142 總面積26-121 3221 263由此可知以上兩種方式的計算結果是相等的。由此可知以上兩種方式的計算結果是相等的。五五.研究結果：研究結果：依上述研究過程中，我們得到下面一般的公式：依上述研究過程中
11、，我們得到下面一般的公式：(1)西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪的作圖法，若作的作圖法，若作n個直角個直角時，其線段總長為時，其線段總長為(n+1+2+3+1n)a其中其中a為第一個直角為第一個直角的一股長度。的一股長度。而其總面積為而其總面積為21(1+2+3+1n)a2 (2)類似類似西歐多樂斯輪西歐多樂斯輪的作圖規則，若的作圖規則，若n個等腰直角個等腰直角時，時，且第一個等腰直角且第一個等腰直角的股長為的股長為a時，其線段總長為時，其線段總長為 ann212122而其總面積為而其總面積為（2n-1-21）a2六六.討論：討論：由以上公式，我們可以利用它來解決一些幾何上的問題，這裡我們由以上公式，
12、我們可以利用它來解決一些幾何上的問題，這裡我們列舉兩個幾何問題來加以討論。列舉兩個幾何問題來加以討論。【例題一】設 =10cm，求下列圖形的線段總長和總面積(圖中皆 為等腰直角)AB B 10cm A解依公式n=5，a=10 總長度為 55212122 102412412210242282216102101410140+1002 cm總面積為215102121550 cm2【例題二】下圖是由連續幾個等腰直角有規則地構成圖形，若此 圖形是由10個等腰直角，且最小的等腰直角面積為 8cm2，試求其總長度、總面積。解由題意知n=10，我們可以先求最小的股長aa282 a4 代入公式得總長度為(376
13、+2482)cm總面積為8184cm2七七.結論：結論：由上面研討過程和結果，我們可以看得出來，類似由上面研討過程和結果，我們可以看得出來，類似西歐多西歐多樂斯輪樂斯輪的作圖方式，可以轉換為一個大的梯形或四邊形（梯形和的作圖方式，可以轉換為一個大的梯形或四邊形（梯形和三角形構成），而在導引公式當中，應用到商高定理和等比級數，三角形構成），而在導引公式當中，應用到商高定理和等比級數，而所求的公式，可以處理平面幾何的連續圖形的問題，可見幾何而所求的公式，可以處理平面幾何的連續圖形的問題，可見幾何和代數是可以相互驗證的。和代數是可以相互驗證的。八八.參考資料：參考資料：(1)(1)王懷權王懷權(1975)，幾何學發展史，協進圖書有限公司，幾何學發展史，協進圖書有限公司。(2)(2)(民民86年），數學教師手冊三、四冊，國立編譯館年），數學教師手冊三、四冊，國立編譯館。(3)(民民76)，簡明數學辭典，簡明數學辭典，凡異出版社。凡異出版社。(4)(民民77)77)，數學的神秘與奇趣，凡異出版社。數學的神秘與奇趣，凡異出版社。(5)羅浩源羅浩源(1997)(1997)，生活的數，生活的數學，九章出版社。學，九章出版社。
