1、Northeastern University研究人群流动对疾病传播影响的研究人群流动对疾病传播影响的元胞自动机模型元胞自动机模型畅春玲 指导教师：井元伟教授 张嗣瀛教授Northeastern University 1引言种群在多个斑块间迁移的SIS模型 混沌产生的判定 5下一步研究计划仿真Northeastern University 近年来，随着各国、各地区经济、文化等交流日益密切，近年来，随着各国、各地区经济、文化等交流日益密切，传染病侵入到新的领地已经成为一个全球性问题。传染病侵入到新的领地已经成为一个全球性问题。20032003年年SARSSARS在几个月之内就传播到在几个月之内就
2、传播到3030多个国家和地区，造成多个国家和地区，造成84008400多人感染，多人感染，900900多人死亡。交通工具不断进步，人群流动日多人死亡。交通工具不断进步，人群流动日益频繁是导致传染病迅速传播的重要原因之一。目前被世益频繁是导致传染病迅速传播的重要原因之一。目前被世界卫生组织不断提高防控级别的甲型界卫生组织不断提高防控级别的甲型H1N1H1N1病毒，也正是由病毒，也正是由于人员流动的复杂性，导致全球病例剧增，我国目前的染于人员流动的复杂性，导致全球病例剧增，我国目前的染病者均为输入型病例。病者均为输入型病例。1引言Northeastern University 最早研究扩散问题的数
3、学模型是最早研究扩散问题的数学模型是19371937年提出的年提出的FisherFisher方方程。这些经典反应扩散方程中空间和时间都是连续的，要求程。这些经典反应扩散方程中空间和时间都是连续的，要求个体在空间各个方向的扩散是等可能的，并且个体扩散距离个体在空间各个方向的扩散是等可能的，并且个体扩散距离服从正态分布，这并不适合于研究物种扩散。服从正态分布，这并不适合于研究物种扩散。目前研究传染病扩散问题最直接的方法是空间离散化，而目前研究传染病扩散问题最直接的方法是空间离散化，而让时间连续变化。离散化的空间由斑块组成，每个斑块对应让时间连续变化。离散化的空间由斑块组成，每个斑块对应于一个自然栖
4、息地，如城市、岛屿、国家等。这种方法的优于一个自然栖息地，如城市、岛屿、国家等。这种方法的优点是，如果把每个斑块看成是同质的，就可以用常微分方程点是，如果把每个斑块看成是同质的，就可以用常微分方程模型来描述物种演变规律。模型来描述物种演变规律。Northeastern University 早在早在1976年年Hethcote就建立了一个种群在两个斑块中扩散就建立了一个种群在两个斑块中扩散的传染病模型，此后又有一些后续研究，如的传染病模型，此后又有一些后续研究，如Arino和和van den Driessche等，王稳地、金瑜和赵晓强等。（等，王稳地、金瑜和赵晓强等。（1995-2006）王稳
5、地和赵晓强（王稳地和赵晓强（2004年）提出了一个种群在多个斑块年）提出了一个种群在多个斑块间迁移的传染病模型，发现了人群流动既可加强传染病传播间迁移的传染病模型，发现了人群流动既可加强传染病传播也可能减弱传染病传播的规律。也可能减弱传染病传播的规律。元胞自动机中元胞可以很自然的看成一个斑块，而且可元胞自动机中元胞可以很自然的看成一个斑块，而且可以把时间也看成离散变量，所以我们建立了一个元胞自动机以把时间也看成离散变量，所以我们建立了一个元胞自动机传染病模型来研究人员流动对传染病传播的影响。传染病模型来研究人员流动对传染病传播的影响。Northeastern University 主要参考文献
6、：主要参考文献：生物数学前沿生物数学前沿 陆征一陆征一 王稳地主编王稳地主编 科学出版社科学出版社 2008年年6月月Epidemic dynamics:discrete-time and cellular automaton models R.Willox Physica A 328(2003)13-22Northeastern University种群在多个斑块间迁移的元胞自动机SIS模型（1 1）微分方程模型）微分方程模型 假设种群的增长由如下方程描述：假设种群的增长由如下方程描述：()NB N NN()B N为出生率，为出生率，其中，其中，N为该种群个体总数为该种群个体总数 ，为死亡率
7、。为死亡率。采用双线性发生率并忽略因病死亡，设斑块总数为采用双线性发生率并忽略因病死亡，设斑块总数为nNortheastern University当种群不发生迁移，即斑块是孤立的时，第当种群不发生迁移，即斑块是孤立的时，第i个斑块上的个斑块上的SIS模型为：模型为：()iiiiiiiiiiiSB N NSS II()iiiiiiiIS II其中，其中，分别为第分别为第i个斑块上易感者和染病者的数量，个斑块上易感者和染病者的数量，iSiIiiiNSI是种群在第是种群在第i个斑块上的个体总数，个斑块上的个体总数，i是第是第i个斑块上染病者的恢复率。个斑块上染病者的恢复率。（1）（2）1,2,in
8、Northeastern University 现假设这现假设这n个斑块是连通的，即易感者和染病者均可以在个斑块是连通的，即易感者和染病者均可以在斑块间迁移。设第斑块间迁移。设第i个斑块上易感者和染病者的迁出率分别为个斑块上易感者和染病者的迁出率分别为和和iiaiib分别为分别为 和和 ，于是种群在，于是种群在n个斑块间迁移的个斑块间迁移的SIS模型为模型为ijaijb，从斑块，从斑块j上的易感者和染病者迁入斑块上的易感者和染病者迁入斑块i内的迁入率内的迁入率（3）（4）1()niiiiiiiiiiiijjjSB N NSS IIa S1()niiiiiiiijjjIS IIb I1,2,in
9、Northeastern University（2 2）元胞自动机模型）元胞自动机模型 假设流行病传播的地方由假设流行病传播的地方由CACA的元胞空间代表，并且把元胞的元胞空间代表，并且把元胞空间分成同样大小的格子，每个代表空间分成同样大小的格子，每个代表CACA中的一个元胞，即每个中的一个元胞，即每个元胞代表一个斑块，对应于现实中的城市。不同的元胞有不同元胞代表一个斑块，对应于现实中的城市。不同的元胞有不同的人群，设元胞总数为的人群，设元胞总数为m m*m m。我们把元胞的邻居定义成与中心元胞有联系的元胞，即有我们把元胞的邻居定义成与中心元胞有联系的元胞，即有交通连线的元胞，这样只有邻居元胞
10、之间能够进行迁移，邻居交通连线的元胞，这样只有邻居元胞之间能够进行迁移，邻居为为MooreMoore型，并且半径为型，并且半径为1 1。Northeastern UniversitytttijijijSIN0,1tijS(,)i j设设表示时刻表示时刻t t元胞元胞内的易感者所占的比例，内的易感者所占的比例，0,1tijI 表示时刻表示时刻t t在此元胞内的染病者所占的比例，在此元胞内的染病者所占的比例，令令因此，因此，Northeastern University 元胞自动机的转移规则，即在下一时刻元胞的状态。这里元胞自动机的转移规则，即在下一时刻元胞的状态。这里我们我们把时间离散化，得到如
11、下状态转移规则：把时间离散化，得到如下状态转移规则：1111111111111111111111111()()tttttttttijijijijijijijijijijijijttttijijijijijijijijttttijijijijijijijijSSBNNSS IIaSaSaSaSaSaSaSaS（5）（5）式括号的部分表示邻居元胞移入到中心元胞中的易感者）式括号的部分表示邻居元胞移入到中心元胞中的易感者数量。数量。Northeastern University1111111111111111111111111()()tttttijijijijijijijijttttijijijij
12、ijijijijttttijijijijijijijijIIS IIbIbIbIbIbIbIbIbI（6）（6）式括号的部分表示邻居元胞移入到中心元胞中的染病者）式括号的部分表示邻居元胞移入到中心元胞中的染病者数量。数量。这里，这里，1,2,1,2,im jmNortheastern University混沌的产生)1()(Nxrxtx,2,1),1(1kNyryyykkkk连续形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)离散形式离散形式y yk k 某种群第某种群第k k代的数量代的数量(人口人口)讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k k,
13、y yk kN N？y*=N 是平衡点是平衡点Northeastern UniversitykkyNrrx)1(1rb记)1()1(1NyryyykkkkkkkyNrryry)1(1)1(1)2()1(1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)(1)的平衡点的平衡点y y*=N=N讨论讨论 x x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)(2)的平衡点的平衡点brrx111*Northeastern University)1(1kkkxbxx的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象bNortheastern University仿真 针对不同的迁移率，观察一定时间后染病者的数量，针对不同的迁移率，观察一定时间后染病者的数量，应该出现混沌现象。即迁移率增大到一定程度时，初始时应该出现混沌现象。即迁移率增大到一定程度时，初始时刻染病者数量的微小变化，会引起一定时间后染病者数目刻染病者数量的微小变化，会引起一定时间后染病者数目较大的不同。较大的不同。Northeastern University 5下一步研究计划（1）完成仿真）完成仿真（2）学习理论）学习理论Northeastern University
