1、欢迎指导 二项式定理 开始教学制作人:龙南中学 赖祝华E-mail E-mail 某企业欲投资100万元,有两种获得可拱选择,一种是年利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,10年后收回本金和利息,试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资10年后可多得利息多少元?分析：分析：第一种；100（1+11%10）=210第二种：100（1+9%）10问问1 1：问问2：(a+b)2=(a+b)3=a2+2ab+b2=202211120202bacbacbac3033212312130303bacbacbacbaca3+3a2b+3ab2+b3下一
2、页=不借助计算器,如何求(1+9%)10？不难发现,符号右边的积的展开式的每一项是从每一个括号里任取一个字母的乘积,因而在(a+b)4展开式中,各项都是4 次式,有如下形式的项:a4、a3b、a2b2、ab3、b4.发现a的指数依次减少,b的指数依次增加观察(a+b)4的展开式,发现什么?根据以上发现,归纳猜想(a+b)n =？(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b440443134222413140404bacbacbacbacbac=一般地，对于任意正整数一般地，对于任意正整数n，都有，都有)(110 NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn这个这个公式所表
3、公式所表示的定理示的定理叫做二项叫做二项式定理，式定理，右边的多右边的多项式叫做项式叫做(a+b)n n的的二项展开二项展开式。式。叫做二项叫做二项式系数式系数叫做二项展叫做二项展开式的通项开式的通项注：1、二项展开式有以下特征：共有n+1项.展开式中a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止.每一项里a、b的指数和均为n.b的指数与二项式系数 的上标相同。rnc2、二项展开式的通项：、二项展开式的通项：rrnrnrbaCT1 五五个个元元素素，知知四四求求一一。通通项项中中有有；指指数数之之和和为为与与的的指指的的上上标标相相同同，的的指指数数与与指指数数：；
4、少少，上上标标为为项项数数的的下下标标为为系系数数：1,311rrrnrnrrnTrnbanbaCbrnC21 注：1、通项 是展开式中的第r+1项，非第 r 项。2、定理中，用-b代替b有,rrnrnrbacT1nnnnrrnrnrnnnnnbcbacbacacba)1()1()(1110用a=1,b=x 时有，nnnnnnxcxcxcx2211)1(令x=1时,有 nnnnnncccc2102思考?(a+b)n 的通项公式与(b+a)n 的通项公式有什么不同？612xx.4x11例例1：展开下列各式：展开下列各式：解：原式原式=43214641xxxx414431342124114)()(
5、)(1xxxxcccc=解：原式：原式=61612)12()(3xxxx665624633642651661)2()2()2()2()2()2(3cxcxcxcxcxcxx)126415820161532664(2345613xxxxxxx32231126016024019264xxxxxx例2 求（x+a)12的展开式中倒数第2项？并求此项的系数和二项式系数？析：（x+a)12的展开式共13项，倒数第2项是它的第12项。解：展开式的第12项是：1111112111112111211112xaxacaxcT二项系数为121112c系数为1111111212 aac练习练习（1）求（1+2x)7
6、 的展开式的第4项的系数？解：3333733737132802)2(1xxcxcT解：rrrrrrxcxxc29999)1()1(通项是根据题意，得9-2r=3r =3所以 x3的系数是84)1(393c9)1(xx（2）求 的展开式中 x3 的系数？例例3用二项式定理证明：（1）（n+1)n -1 能 被 n 2 整除？（2）99 10 -1 能被 1000 整除？解：解：1)1100(1991010111001001001009102810911010ccc)1101010(10008101511017cc能被1000整除19910111)1(12211ncncncnnnnnnnnnn22
7、211nncncnnnnnn)1(2423122nnnnnnncncncnn能被 n2 整除1)1(nn练习nyx)2(1、求 的展开式中第r项的系数()A、B、C、D、11)2(rnrc11)2(rnrc1rncrnrc)2(2、的展开式中的常数项是第几项？523)12(xx 解：rrrrxxcT)1()2(25351rrrrxc51555)1(2依题意，得15-5r =0得 r =3所以 常数项是第4 项C3、求多项式（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中x2的系数解：原式=只有在（x-1)6 中有x2的系数，才会使展开式中产生 x2 项.故其系数为
8、)1(1)1(1)1(5xxx6)1()1(1xxx20)1(336c小结1、二项式定理)(110 NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn2、二项式展开式的通项：rrnrnrbacT13、二项式展开式的特征：共有n+1项展开式中a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止.每一项里a、b的指数和均为n.4、注意“系数”与“二项式系数”等概念的区别和联系是展开式中的第r+1项，非第 r 项。5、公式的简单变形：nnnnrrnrnrnnnnnbcbacbacacba)1()1()(1110nnnnnnxcxcxcx2211)1(令x=1时,有 nnnnnncccc2102P109 P109 T3T3（1 1）T4T4作业作业谢谢指导谢谢指导 再见再见
