1、时频信号分析时频信号分析Time-Frequency Signal Analysis2022-12-111 时频分析基础时频分析基础1.1 信号的时间与频率信号的时间与频率同一信号同一信号频率域频率域-能反映出信号在时间域中所不能反映的能反映出信号在时间域中所不能反映的信号本身的某些重要特征信号本身的某些重要特征时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量()(j)x tX时间域频率域2022-12-12时间时间和和频率频率是描述信号的两个最基本的物理量是描述信号的两个最基本的物理量频率频率-具有明确的物理意义具有明确的物理意义（1）波形源）波形源（2）波的
2、传播）波的传播（3）简化对波形理解）简化对波形理解（4）FT数学工具数学工具时域时域 （傅里叶变换）（傅里叶变换）频域频域物理意义：一个任意平方可积函数（信号）物理意义：一个任意平方可积函数（信号）x(t)都可都可以分解为无穷多个以分解为无穷多个(在某些特殊条件下可以是有限个在某些特殊条件下可以是有限个)不同频率正弦信号之和。不同频率正弦信号之和。jj(j)()ed1()(j)ed2ttXx ttx tX()dx tt 2022-12-13傅里叶变换的不足或限制（局限性）傅里叶变换的不足或限制（局限性）:1、傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能、傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能时间和频率的定位
3、时间和频率的定位 对给定信号对给定信号x(t)，希望知道，希望知道在某一个特定时刻（或一很短的时间范围），该信在某一个特定时刻（或一很短的时间范围），该信号所对应的频率是多少；反过来，对某一个特定的号所对应的频率是多少；反过来，对某一个特定的频率（或一很窄的频率区间），希望知道是什么时频率（或一很窄的频率区间），希望知道是什么时刻产生了该频率分量。刻产生了该频率分量。2022-12-14傅里叶变换建立了一个域到另一个域的通道，但它傅里叶变换建立了一个域到另一个域的通道，但它并没有将时域和频域组合成一个域。在上述傅里叶并没有将时域和频域组合成一个域。在上述傅里叶变换中，变换中，这两个变量是互相排
4、斥的。即若想知这两个变量是互相排斥的。即若想知道在某一频率处道在某一频率处 ，需要知道，需要知道x(t)在在所有值，反之亦然：所有值，反之亦然：(j)X的xt和t 00j0jt0(j)()ed1(t)(j)ed2tXx ttxX2022-12-15这样，我们无法从局部频率处这样，我们无法从局部频率处的的 来得到某一局部时刻来得到某一局部时刻的的x(t)，反过来也是如此的。这就是说，通过傅里叶变，反过来也是如此的。这就是说，通过傅里叶变换建立起来时域换建立起来时域频率关系无频率关系无“定位定位”功能。换句功能。换句话说，时间信号话说，时间信号x(t)某个局部的改变将传遍（影响）某个局部的改变将传
5、遍（影响）整个频率轴，相反也一样，整个频率轴，相反也一样，某个局部的变换也某个局部的变换也将传遍整个时间轴。将传遍整个时间轴。012()或(j)X 012()ttttt 或(j)X 2022-12-162022-12-172022-12-182、傅里叶变换对于非平稳信号的局限性、傅里叶变换对于非平稳信号的局限性平稳信号平稳信号 频率不随时间变化的信号（时频率不随时间变化的信号（时不变信号）不变信号）非平稳信号非平稳信号 频率随时间变化的信号（时频率随时间变化的信号（时变信号）变信号）定义上有别与平稳随机信号定义上有别与平稳随机信号均值（一阶矩）和均值（一阶矩）和相关（二阶矩）函数不随时间变化。
6、相关（二阶矩）函数不随时间变化。非平稳信号非平稳信号频率随时间变换频率随时间变换不合适不合适 与时间无关与时间无关 工程上 工程上(j)X2022-12-19EX:线性频率调制信号线性频率调制信号2j()tx te-0.500.51Real partSignal in time0182365Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4WV,lin.scale,contour,Threshold=5%Time sFrequency Hz2022-12-1102022-12-111从上例可见，傅里叶变换反映不出信号频率
7、随时间从上例可见，傅里叶变换反映不出信号频率随时间变换的行为。因此，它只适合于分析平稳信号，而变换的行为。因此，它只适合于分析平稳信号，而对频率随时间变换的非平稳信号，即时变信号，它对频率随时间变换的非平稳信号，即时变信号，它只能给出一个总的平均效果。只能给出一个总的平均效果。2022-12-1123、傅里叶变换在分辨率上的局限性、傅里叶变换在分辨率上的局限性分辨率是信号处理中的基本概念。分辨率是信号处理中的基本概念。时间分辨率和频率分辨率时间分辨率和频率分辨率其含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小其含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）。间隔（又称最小分辨细
8、胞）。自然地，我们希望既能好的时间分辨率又能有好的自然地，我们希望既能好的时间分辨率又能有好的频率分辨率。理想的分辨率是某一时刻某一频率，频率分辨率。理想的分辨率是某一时刻某一频率，也即在时也即在时-频面上的一个点（或一个小的区域）频面上的一个点（或一个小的区域）2022-12-113但是受实际上不确定原理的制约，时间分辨率和频率但是受实际上不确定原理的制约，时间分辨率和频率分辨率不能同时达到最好（即分辨间隔最小）。因此分辨率不能同时达到最好（即分辨间隔最小）。因此在实际信号分析中，应根据信号的特点及信号处理任在实际信号分析中，应根据信号的特点及信号处理任务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨
9、率。务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨率。时域突变信号时域突变信号高的时域分辨率，降低频率分辨率高的时域分辨率，降低频率分辨率要求要求时域慢变信号时域慢变信号降低时间分辨率，高的频率分辨率降低时间分辨率，高的频率分辨率一个一个“好好”的方法，除了能够选择不同的时间分辨率的方法，除了能够选择不同的时间分辨率和频率分辨率外，还应能适应信号特点自动调节时域和频率分辨率外，还应能适应信号特点自动调节时域的分辨率和频域的分辨率。的分辨率和频域的分辨率。2022-12-114傅里叶变换中傅里叶变换中 每一个特定的每一个特定的值表示值表示了某个特定频率的三角函数了某个特定频率的三角函数 因因此从频域中它
10、表示一个点。即它的频率分辨率最好此从频域中它表示一个点。即它的频率分辨率最好（理想值）。但它的时间域中表示的是整个时间域，（理想值）。但它的时间域中表示的是整个时间域，所以它的时间分辨率为零（最低）。所以它的时间分辨率为零（最低）。另一个极端的例子是另一个极端的例子是 函数，它在时间域函数，它在时间域上是一个点，具有理想的时间分辨率，但它在频率上是一个点，具有理想的时间分辨率，但它在频率是整个频率轴，所以它的频率分辨率为零。是整个频率轴，所以它的频率分辨率为零。(j)Xjecosjsinttt()t2022-12-115结论：结论：用独立的两个域中来讨论频率随时间变换的用独立的两个域中来讨论频
11、率随时间变换的非平稳信号（时变信号）是不合适的。必须将两个非平稳信号（时变信号）是不合适的。必须将两个域结合起来进行分析域结合起来进行分析这就是所谓的时频分析。这就是所谓的时频分析。它是在时间它是在时间-频率域上对信号进行分析。频率域上对信号进行分析。2022-12-1161.2 克服傅里叶变换不足的一些主要方法克服傅里叶变换不足的一些主要方法1、短时傅里叶变换、短时傅里叶变换意义意义：用：用 沿着沿着t滑动，不断地截取一段一段的信滑动，不断地截取一段一段的信号，然后对每一小段分别做傅里叶变换，得到号，然后对每一小段分别做傅里叶变换，得到平面上的二维函数平面上的二维函数*jSTFT(,)()(
12、)edxtxg t()g t 窗函数()g t(,)tSTFT(,)xt2022-12-1172、时频联合分析、时频联合分析Wigner-Ville分布分布Cohen类时频分布类时频分布Gabor变换（展开）变换（展开）*jW(,)()()ed22xtx tx t*j(+)1C(,)()()(,)ed d d222tuxtgx ux ugu j,()C()entm nmnx tg tmT ,()m ng tC 窗 函 数展 开 系 数2022-12-118时频分布应具有的几个基本性质：时频分布应具有的几个基本性质：（1）是人们最关心的两个物理量）是人们最关心的两个物理量t和和的联合分布的联合分
13、布函数。函数。（2）可反映）可反映x(t)的能量随时间的能量随时间t和频率和频率变换的形态变换的形态（3）既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率）既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率分辨率分辨率2022-12-1193、小波变换、小波变换式中式中 小波基函数小波基函数 基本小波，母小波基本小波，母小波 a 尺度系数，代表频率尺度系数，代表频率 b 位移，代表时间位移，代表时间*,WT(,)()()dxa ba bx ttt,1()()a btbtaa()t2022-12-1204、信号的子带分解（、信号的子带分解（subband decomposition）复杂信号复杂信号分解分解简单信
14、号组合简单信号组合信号处理最常用信号处理最常用的方法的方法FT，Gabor，STFT，Winger-ville分布，分布，wavelets等等均属于这类分解均属于这类分解子子带分解带分解将信号的频谱均匀地或非均匀地分解将信号的频谱均匀地或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号，称成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号，称它们为原信号的子带信号。它们为原信号的子带信号。实现方法：滤波器组（实现方法：滤波器组（filter bank）2022-12-1215、信号的多个频率分析、信号的多个频率分析对信号的频谱作非均匀分解，以适应在不同对信号的频谱作非均匀分解，以适应在不同频段对时域
15、和频域分辨率的要求频段对时域和频域分辨率的要求每一级都是对低频部分作分解，这样的分解满足实每一级都是对低频部分作分解，这样的分解满足实际中时间、频率分辨率的要求。际中时间、频率分辨率的要求。2022-12-1221.3 信号的时宽与带宽信号的时宽与带宽时域时域时间中心时间中心信号信号 时间宽度（时间宽度（Time-duration）频域频域频率中心频率中心 频带宽度（频带宽度（frequency-bandwidth）对给定信号对给定信号x(t)，其能量：，其能量：2221E=()d(j)d()2x ttXx t 2022-12-123定义：定义：时宽时宽-带宽积带宽积：201()()dEu t
16、t x ttt信号的时间中心201()(j)d2Eu tX信号的频率中心22201()()dEtttx tt 信号的时宽22201=()(j)d2EX信号的频宽4t 2022-12-124Ex：显然：显然：214()2()etx t211()241(j)()eX2122222(-)011()()dedE2ttttx tttt 211()22222011=()(j)d()ed2E22X-40-30-20-1001020304000.050.10.150.20.250.30.350.4 Gauss signal x(t)-0.500.50246810121416 the Spectrum of x
17、(t)42t 000,0t2022-12-1251.4 不确定原理（不确定原理（Heisenberg测不准原理）测不准原理）给定信号给定信号x(t),若若，则，则当且仅当当且仅当x(t)为高斯信号时，即为高斯信号时，即 时等号成立时等号成立证：不失一般性，假定证：不失一般性，假定 ，则，则lim()0ttx t12t 2()etxtA000,0t2221()dEtt x tt 2221=(j)d2EX2022-12-126于是：于是：利用利用Parseval定理，上式可改写为：定理，上式可改写为：由由Schwarz不等式，有不等式，有22222221()d(j)d2Ettx ttX d()FT
18、j(j)dx tXt2222221()d()dEtt x ttx tt 22221()()dEttx t x tt 2022-12-127由于由于而假定而假定:，故，故 上式上式 ，并代入前式，有，并代入前式，有 即即若要上不等式的等号成立，只有若要上不等式的等号成立，只有 时才有可时才有可能，这样的能，这样的 只能是只能是 形式，也既高斯信号。形式，也既高斯信号。2221d()()1()()dd()d2d22xttxttx t x ttttxtttlim()0tt x t 1E2 2214t 12t()()x tktx t()x t2Aet2022-12-128定理的意义定理的意义对给定的信
19、号，其时宽与带宽的乘积对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。为一常数。当信号的时宽减少时，其带宽将相应增大，当时宽减当信号的时宽减少时，其带宽将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽将变成无穷大，如时域的到无穷小时，带宽将变成无穷大，如时域的脉冲信号；反之亦然，如时域的正弦信号。脉冲信号；反之亦然，如时域的正弦信号。这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无穷小。这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无穷小。2022-12-129定理的应用：定理的应用：对应于，时间分辨率和频率分辨率的制约关系对应于，时间分辨率和频率分辨率的制约关系寻求最佳的时寻求最佳的时-频分辨率频分辨率若信号若信号x(t
20、)的持续时间是有限的，则称其为的持续时间是有限的，则称其为紧支撑紧支撑其持续时间区间（范围）为其持续时间区间（范围）为，称为支撑范围，称为支撑范围，频率亦同。频率亦同。12tt t 2022-12-1301.5信号的瞬时频率信号的瞬时频率首先介绍首先介绍Hilbert变换变换信号分析中的一个重要工具信号分析中的一个重要工具给定一个连续时间信号给定一个连续时间信号x(t)，定义：，定义：为为x(t)的的Hilbert变换，变换，可以看成是可以看成是x(t)通过一滤波器通过一滤波器的输出，即：的输出，即：11()1()()()*ddxx tx tx ttt()xt()()()x th tx t1(
21、)h tt其中2022-12-131其傅里叶变换为其傅里叶变换为若记若记那么那么就是说，就是说，Hilbert变换是幅频特性为变换是幅频特性为1的全通滤波器。的全通滤波器。信号信号x(t)通过通过Hilbert变换器后，其负频率成分作变换器后，其负频率成分作+90度度相移，而正频率作相移，而正频率作-90度相移。度相移。j0(j)jsgn()j0Hj()(j)(j)HHe(j)102()02H 2022-12-1322022-12-133由前式，由前式，即即由此可以得到由此可以得到Hilbert反变换的公式反变换的公式(j)(j)(j)(j)jsgn()j(j)sgn(-)XXHXX(j)js
22、gn(-)(j)XX11()()()dxx tx ttt 2022-12-134设设为信号为信号x(t)的的Hilbert变换，定义变换，定义为信号为信号x(t)的解析信号。的解析信号。对实信号对实信号x(t)引入解析信号引入解析信号z(t)的理由：的理由：（1）x(t)实，实，X(j)共轭对称，即共轭对称，即 表示表示X(j)的平均频率永远为零，的平均频率永远为零，频宽也与实际物理意义不符；此外，负频率频宽也与实际物理意义不符；此外，负频率 没有实际没有实际物理意义。物理意义。（2）可以表示出实信号）可以表示出实信号x(t)的相位和幅度，从而能的相位和幅度，从而能够定够定义出瞬时频率。义出瞬
23、时频率。()xt()()j()z tx tx t*(j)(j)XX2022-12-135对上式作傅里叶变换，有：对上式作傅里叶变换，有：我们通常概念上的频率是建立在傅里叶变换的基础我们通常概念上的频率是建立在傅里叶变换的基础上的，应该被称为傅里叶频率。因为对于周期为上的，应该被称为傅里叶频率。因为对于周期为T0的周期信号，可以展开为傅里叶级数的周期信号，可以展开为傅里叶级数(j)(j+(j)(j)j(j)(j)ZXjXXHX）2(j0(j)00XZ）00T2T02()()e1()()edTjktkjktx tXkXkx tt 2022-12-136即可将其分解为无穷多个复正弦信号的叠加，每一即
24、可将其分解为无穷多个复正弦信号的叠加，每一个复正弦的频率都是基波频率个复正弦的频率都是基波频率 的的k倍，对于非周倍，对于非周期信号，可以视为其周期为无穷大，此时期信号，可以视为其周期为无穷大，此时频率频率非各次谐波，而为连续变量。非各次谐波，而为连续变量。0j(j()edtXx tt）2022-12-137由傅里叶变换联系起来的频率都是在整个时间轴上的由傅里叶变换联系起来的频率都是在整个时间轴上的积分得到的。积分得到的。傅里叶频率傅里叶频率一个一个全局时间全局时间的概念的概念平稳（时不变）平稳（时不变）信号信号频率不随时间而变换的信号频率不随时间而变换的信号对于非平稳的或时变的信号由于其频率
25、随时间变化对于非平稳的或时变的信号由于其频率随时间变化,傅傅里叶频率概念就不适合了，由此就引入了里叶频率概念就不适合了，由此就引入了瞬时频率瞬时频率概概念。念。2022-12-138对于实信号对于实信号x(t)，由，由Hilbert变换，可以定义出解析变换，可以定义出解析函数函数其频谱其频谱Z(j)为信号正频谱的两倍，即为信号正频谱的两倍，即解析函数解析函数z(t)可以写为指数形式可以写为指数形式()()j()z tx tx t00(j)2(j)0ZXj()221()()e()()()()()tg()tz ta ta txtxtx ttx t2022-12-139定义瞬时频率定义瞬时频率 为为
26、 对对t的导数，即的导数，即理论上，有无穷多种方式定义虚部，但理论上，有无穷多种方式定义虚部，但Hilbert变换变换提供了定义虚部使结果成为解析函数的唯一方式。提供了定义虚部使结果成为解析函数的唯一方式。对于对于 ，可得，可得()it()td()()()ditttt()sinx tt()()constitt2022-12-140单分量信号单分量信号（mono-component）信号在任意信号在任意时刻都只含有一个频率分量，该频率分量可以是常时刻都只含有一个频率分量，该频率分量可以是常数（单一频率正弦信号），也可以是时间的函数数（单一频率正弦信号），也可以是时间的函数（时变信号）。（时变信号
27、）。多分量信号多分量信号（multi-component）信号在同一信号在同一时刻包含了多个频率分量，同样这些频率分量可以时刻包含了多个频率分量，同样这些频率分量可以是常数也可以是时间的函数。是常数也可以是时间的函数。考虑：瞬时频率对多分量信号的表示？考虑：瞬时频率对多分量信号的表示？2022-12-141瞬时频率的物理意义（应用）瞬时频率的物理意义（应用）非线性物理系统：非线性物理系统：（1 1）刚度为非线性的质量弹簧系统；）刚度为非线性的质量弹簧系统；（2 2）长度为非定长的单摆系统。）长度为非定长的单摆系统。振动方程为：振动方程为：级数解（傅里叶解）：级数解（傅里叶解）：非级数解的一种形
28、式：非级数解的一种形式：2222d(1)cos,()1dxMxxtk xxt 2()coscos3cos6.x tttt()cos(sin2)x ttt2022-12-142瞬时频率：瞬时频率：时域波形及两种形式的频域波形：时域波形及两种形式的频域波形：d(sin2)2 cos2dttIFtt2022-12-143举一个例子：举一个例子：式中式中瞬时频率：瞬时频率：平均频率平均频率给定一个实信号给定一个实信号x(t),尽管通过尽管通过Hilbert变换可以构成变换可以构成一个解析信号一个解析信号z(t)，且，且z(t)是唯一的，但并不是每一是唯一的，但并不是每一个解析信号都有明确的物理意义。个
29、解析信号都有明确的物理意义。12j()()AeAe()ejtjttx ta t221()2A 1 cos()a tt1111sinsin()tgcoscos2tttttt1()()2itt2022-12-144 瞬时频率：瞬时频率：当当A1=A2，瞬时频率，瞬时频率 为平均频率为平均频率12j()12()A eA e()ejtjttx ta t22212121()+2 cos()a tt1112112A sinA sin()tgA cosA costtttt2211212A-A()()22()ittat1()2it2022-12-145连续的瞬时频率连续的瞬时频率负的瞬时频率负的瞬时频率202
30、2-12-146由上两例可见，对任意实信号由上两例可见，对任意实信号x(t)直接采用直接采用Hilbert变换构成解析信号并由此得到的瞬时频率存在着以变换构成解析信号并由此得到的瞬时频率存在着以下几个解释上的困难，即不能具有实际物理意义上下几个解释上的困难，即不能具有实际物理意义上的解释：的解释：（1）瞬时频率可以不是频谱中的频率之一；）瞬时频率可以不是频谱中的频率之一；（2）如果只有少数明显的频率组成的一个线状频谱，）如果只有少数明显的频率组成的一个线状频谱，那么瞬时频率可以是连续的，而且在无数个值范围那么瞬时频率可以是连续的，而且在无数个值范围内变化；内变化；2022-12-147（3）虽
31、然解析信号的频谱对于负频率为零，但瞬时）虽然解析信号的频谱对于负频率为零，但瞬时频率可以是负的；频率可以是负的；（4）对于一个带限的信号，它的瞬时频率可以在频）对于一个带限的信号，它的瞬时频率可以在频带之外；带之外；（5）如果瞬时频率是在某一时刻）如果瞬时频率是在某一时刻t1存在的频率的表存在的频率的表示，则可以认为信号在此时刻前后的情况是无关紧示，则可以认为信号在此时刻前后的情况是无关紧要的，只有在要的，只有在 t1时刻才是应该考虑的，但是为了计时刻才是应该考虑的，但是为了计算在算在t1时刻的解析信号，我们必须知道全部时间的时刻的解析信号，我们必须知道全部时间的信号。信号。2022-12-1
32、48几点说明：几点说明：（1）瞬时频率概念问题）瞬时频率概念问题它的局部性和非局部性它的局部性和非局部性（2），只有当，只有当a(t)和和 的频谱的频谱能完全分开时，这样构成的解析信号及其瞬时频率能完全分开时，这样构成的解析信号及其瞬时频率才具有物理意义。才具有物理意义。这个条件也等价于若这个条件也等价于若x(t)能写成能写成的形式。且的形式。且a(t)和和 的频谱能完全分开时，对的频谱能完全分开时，对x(t)求解析信号才有意义求解析信号才有意义。j()()()eyz ta tj()et()()cos()x ta ttcos()t2022-12-149可以证明，对于实信号可以证明，对于实信号
33、，若，若a(t)的频的频谱在低端，而谱在低端，而 的频谱在高端，且互不重叠，的频谱在高端，且互不重叠，则则 的的Hilbert变换为变换为其解析信号其解析信号z(t)为：为：可见用解析信号可见用解析信号 去研究、表征实信号去研究、表征实信号是有实际意义的，两者的幅值函数和相位函数（瞬是有实际意义的，两者的幅值函数和相位函数（瞬时频率）相同。时频率）相同。()()cos()x ta ttcos()t()cos()a tt()sin()a ttj(t)()()cos()j()sin()()ez ta tta tta tj(t)()ea t()cos()a tt2022-12-150（3）对于多变量
34、信号，直接应用瞬时频率，有在解）对于多变量信号，直接应用瞬时频率，有在解析的困难。这其实与用傅里叶变换去分析一个频率析的困难。这其实与用傅里叶变换去分析一个频率随时间变换的时变信号一样，傅里叶谱只能用谐波随时间变换的时变信号一样，傅里叶谱只能用谐波（无穷个频率分量）去逼近（在数学上），而这些（无穷个频率分量）去逼近（在数学上），而这些谐波缺乏明确的物理意义；谐波缺乏明确的物理意义；（4）瞬时频率的合理应用是首先对被分析信号）瞬时频率的合理应用是首先对被分析信号x(t)进行处理，一般是进行分解，分解后的一系列分量进行处理，一般是进行分解，分解后的一系列分量满足上述的条件，然后再进行瞬时分析。这样
35、的分满足上述的条件，然后再进行瞬时分析。这样的分解可能不是唯一的。因为将实信号解可能不是唯一的。因为将实信号x(t)表示成表示成 并不是唯一的，并不是唯一的，a(t)和和 具有无数具有无数个形式，因此不同的分解方法形成不同的瞬时频率个形式，因此不同的分解方法形成不同的瞬时频率的分析方法。的分析方法。()()cos()x ta tt()t2022-12-151与瞬时频率相对应的另一个概念是群延迟（与瞬时频率相对应的另一个概念是群延迟（group delay，GD），设该信号的傅里叶变换为），设该信号的傅里叶变换为，则，则可将可将写成写成的形式，定义：的形式，定义：称为称为x(t)的群延迟。群延迟
36、是频率的函数，它反映了的群延迟。群延迟是频率的函数，它反映了在频谱在频谱 中频率为中频率为 的分量所具有的延迟。的分量所具有的延迟。(j)X(j)Xj(t)(j)eXgd()()=d(j)X2022-12-1522 2 短时傅里叶变换与短时傅里叶变换与GaborGabor变换变换2.1 连续信号的短时傅里叶变换（连续信号的短时傅里叶变换（STFT）作为时作为时-频分析的最早使用方法（变换），短时傅里叶频分析的最早使用方法（变换），短时傅里叶变换也称窗口傅里叶变换，直接由傅里叶变换修改而来。变换也称窗口傅里叶变换，直接由傅里叶变换修改而来。设设 信号信号 g(t)窗函数窗函数则则表示用窗函数对信
37、号进行截断，如图所示。表示用窗函数对信号进行截断，如图所示。2()()x tL R()()()gxxgt2022-12-153那么那么 的傅里叶变换便是的傅里叶变换便是 在时刻在时刻t的的STFT：改变改变t的值，即可得到一组的值，即可得到一组 ，它反映信号，它反映信号x(t)的频谱的频谱X(j)随时间变化的大致规律，显然随时间变化的大致规律，显然是变量是变量 的二维函数。的二维函数。若令若令则上式则上式STFT可写成可写成STFT的基函数的基函数()gx t()x*STFT(,)()()edjxtxgtSTFT(,)xtSTFT(,)xt(,)tj,()()tggt e*,STFT(,)()
38、()(),()xtttxgdxg,()tg2022-12-154STFT的基函数的形式取决于窗函数的基函数的形式取决于窗函数g(t)，即基函数，即基函数的时域、频域特性由窗函数的时域、频域特性由窗函数g(t)决定。决定。基函数的时域、频率特性决定了时基函数的时域、频率特性决定了时-频分析的性质。频分析的性质。由由 的形式上看，的形式上看，g()是窗函数，因此它在时域是窗函数，因此它在时域应是应是有限支撑有限支撑的，又由于的，又由于 在频域是线谱（可以在频域是线谱（可以说成说成“点支撑点支撑”）。）。所以所以 在时域和频域都应在时域和频域都应是有限支撑的。是有限支撑的。jjSTFT:()tteg
39、t e傅 里 叶 变 换 的 基 函 数：的 基 函 数,()tgje,()tg2022-12-155讨论讨论STFT在时域和频域的分辨率在时域和频域的分辨率基函数基函数 的的时宽时宽 和和频宽频宽 时宽：时宽：基函数基函数 的时间中心的时间中心（时移变量）（时移变量）其时宽：其时宽：,()tgt,()tg0Tt22222,11()()d()dEEttgg,tG2022-12-156频宽：频宽：同时宽，同时宽，的频率中心的频率中心 而频宽：而频宽：jjj()j(),G()FTg(t)=()eede()ed t ttttgtg tt j(-)t,G()G(-)et ,G()G(-)t,()tG0
40、22222,11()d()d2E2EtGG 2022-12-157上式也可以用傅里叶变换性质：时域相乘上式也可以用傅里叶变换性质：时域相乘 频域频域卷积卷积由上可见，由上可见，短时傅里叶变换的基函数短时傅里叶变换的基函数 的时宽和的时宽和频宽（或称时域和频域的局部性，紧支撑）完全由频宽（或称时域和频域的局部性，紧支撑）完全由所选择的窗函数所选择的窗函数g(t)的时宽和频宽所决定。的时宽和频宽所决定。,()tgj,j,()()()FT()FTttttggt eGgte2022-12-158上图可见，基函数的时上图可见，基函数的时-频分辨率（时宽和频宽）是频分辨率（时宽和频宽）是恒定的，不随变量恒
41、定的，不随变量 的变化而改变。不具有随的变化而改变。不具有随信号的特征变换而改变其时信号的特征变换而改变其时-频分辨率。频分辨率。(,)t2022-12-159STFT也可以写为：也可以写为：2.2 短时傅里叶反变换短时傅里叶反变换j1()STFT(,)()d d2xxtgt et j*j1STFT(,)()()d2ttxteXGe2022-12-1602.3 离散信号的离散信号的STFTN时移步长时移步长反变换反变换j*j()0,1,21STFT(,e)()()enxnx nnLmx n gnmN2 j*STFT(,)()()e2nkMxknkmx n gnmNkM101()STFT(,)W
42、MnkxMmkx nm kM2022-12-161语音信号语音信号“twenty-nine”的短时傅里叶变换（语谱图）的短时傅里叶变换（语谱图）2022-12-1622022-12-1632.4 Gabor变换变换2022-12-1642022-12-1652022-12-1662022-12-1672022-12-1680anath(t)h(t-a)h(t-na)anath(t-a)exp(j2pi*b*t)anath(t-a)exp(j2pi*m*b*t)2022-12-1692022-12-1702022-12-1712022-12-1722022-12-1732022-12-17420
43、22-12-1752022-12-1762022-12-1772022-12-1782022-12-1792022-12-1802022-12-1812022-12-1822022-12-183展开系数的确定2022-12-1840510152025303500.10.20.30.4h(t)050100150200250300-0.4-0.200.20.40.6g(t)图2.4.3 在ab=1 时高斯窗的对偶函数 2022-12-1852022-12-1862022-12-1872022-12-1882022-12-1892022-12-1902022-12-1912022-12-192-0.
44、500.51Real partSignal in time0250500Linear scaleEnergy spectral densityGABOR,Lh=16,Nf=8,N=16,Q=1,lin.scale,imagesc,Thld=5%Time sFrequency Hz05010015020000.10.20.30.42022-12-193-0.500.51Real partSignal in time0434868Linear scaleEnergy spectral densityGABOR,Lh=16,Nf=16,N=32,Q=4,lin.scale,imagesc,Thld=
45、5%Time sFrequency Hz05010015020025000.10.20.30.4 Gabor基函数的选择（1）几种不同窗函数的举例：例1 令矩形函数的时宽为 T，即TtptgT2)(121其中，1,1,1)(xxpTwtG121),(Twt121),(2022-12-194Gabor基函数的选择（2）故得到 )(2)(121tgTtptT)(2)(121tfTtptgT)(*12)(121tfTtptT2022-12-195Gabor基函数的选择（3）例2：高斯窗函数eTTttg2221)(对偶函数为：TnneeKTnTtt12/123212/10)(22)1(212022-1
46、2-196Gabor基函数的选择（4）基函数有两种常用的表达式。高斯函数2)/()()()(TtTtjnTmnetgemTtgtg)()(2)(nwjmTmnenwgwg 时域基函数为高斯的，频域也为高斯的。高斯基函数的功率谱为均匀的，均匀Gabor采样。2022-12-197Gabor基函数的选择（5）非均匀Gabor采样例4：Gabor基函数的时域形式为：0,)1(exp)(0),()(22112stsjnmTtssmTttsTTmsggg频域 Gabor基函数为：0,1exp)1(20),exp()(2)(222111ssnmTjsnsjmTsssmsggG2022-12-1983 Wi
47、nger-Ville分布分布(Winger-Ville Distribution,WVD)2022-12-1993.1 Winger-Ville分布分布(WVD)定义定义 WVD定义：定义：或或并有并有*jW(,)(/2)(/2)edxtx tx t*jW(,)(/2)(/2)e dtXtXXW(,)W(,)Xxtt2022-12-1100Winger于于1932年提出并用量子力学。年提出并用量子力学。1948年年Ville应用应用于信号分析，并一直来讨论数学基础、时频分布的统于信号分析，并一直来讨论数学基础、时频分布的统一表示形式、一表示形式、WVD定义和性质等。定义和性质等。80年代后期年
48、代后期WVD研究热。论文、成果称研究热。论文、成果称“所有时频分布之母所有时频分布之母”。定义的解释：定义的解释：为积分变量，为积分变量，t是时移，若令是时移，若令/2=，则，则=2，d =2d*j2W(,)2()()edxtx tx t2022-12-1101若令若令-瞬时相关瞬时相关（与一般相关的比较，更能反映非平稳信号的特性）（与一般相关的比较，更能反映非平稳信号的特性）则有：则有：*(,)(/2)(/2)xR tx tx tjW(,)(,)edxxtR t(,)xR t瞬时相关2022-12-11023.2 WVD性质性质一、一、的奇、偶、虚、实性的奇、偶、虚、实性1、无、无论论x(t
49、)是实信号还是值信号，其是实信号还是值信号，其WVD都是都是t和和 的实函数的实函数证明：证明：两边取共轭两边取共轭令令 ，则，则,W t*(,)(,)xxW tW t*j,22 edxW tx tx t j,22 exW tx tx td j,22 e,xxW tx tx tdW t 2022-12-11032、若若x(t)为实信号，则为实信号，则 不但是不但是t、的实函的实函数，还是数，还是 的偶函数，即的偶函数，即证明：证明：,xW t*,xxWtWtj,(2)2 exW tx tx td*j,(2)2 ed,xxW tx tx tW t 2022-12-1104二、二、WVD的能量分布
50、性质的能量分布性质由于由于WVD的定义，有的定义，有令令 ，则有，则有上式表明，上式表明，在时刻在时刻t对频率的积分等于该时对频率的积分等于该时刻信号的瞬时能量，由刻信号的瞬时能量，由WVD的第二个定义的第二个定义*j1(/2)(/2)(,)d2txx tx tW te021()W(,)d2xx ttW(,)xt2()W(,)dxXtt2022-12-1105表明表明在某一频率处在某一频率处对对t的积分等于该信号在的积分等于该信号在此频率的瞬时能量。此频率的瞬时能量。上两式也可以写为上两式也可以写为说明说明在某一时间带内对时间的积分等于信号在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某
