概率论与数理统计全套课件327p.ppt_163文库

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1、概率论与数理统计教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计（第三版）浙江大学（第三版）浙江大学盛骤等盛骤等编编高等教育出版社高等教育出版社第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念随机试验随机试验随机事件及其运算随机事件及其运算概率的定义及其运算概率的定义及其运算条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性 1.1 1.1 随机试验随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果；3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为随机试验可表为 E E E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反

2、面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机试验的例子1.2 样本空间、随机事件实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S=e；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,记为e.例：例：给出给出E1-E7E1-E7的样本空间的样本空间（二）（二）随机事件定义定义试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事随机事件件”,简

3、称“事件”.记作A、B、C等.任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素两个特殊事件两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.例如例如对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xm),(nm),要求第要求第 i i 组恰有组恰有n ni i个球个球(i=1,m)(i=1,m)，共

4、有分法：，共有分法：!.!1mnnn例例（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.解:N(S)=200,N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P P（A A）=？定义定

5、义事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率频率，记为fn(A).即 (二二)频率与概率频率与概率()AnnfAn 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005 频率的性质:(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性可加性：若：若AB ，则 fn(A B)fn(

6、A)fn(B).实践证明：实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.(三三)概率的公理化定义概率的公理化定义注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义.1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性:P(A)0；(2)规范性:P(S)1；(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2 )P(

7、A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质(1)有限有限可加性可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);(3)事件差事件差:A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)单调不减性单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B)(4)加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(5)互补性互补性：P(A)1 P(A);(6)可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A

8、)P(AB)P(AB).例某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解:设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2

9、也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解:设A取到的数能被2整除;取到的数能被3整除21)(AP103)(BP故故)()()()()1(ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1.4 1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条

10、件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率一、条件概率例例设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A第一次取到红球,B第二次取到红球1(1)(|)4P B A 252 1 3 22(2)()5P BP 252 11(3)()10P ABPS=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,

13、厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP 定义事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：.,.,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2AnB定理设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B S有有 1()()(|)niiiP BP A

14、P B A称为全概率公式。例例有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；12731433221)()|()()|()(2211APABPAPABPBP甲乙定理定理设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 1()(|)(|),(1,.,)()(|)jjjniiiP A P B AP ABjnP A P B A称为贝叶斯公式贝叶斯公式。思考：上例

15、中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答:74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP例例商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由Bayes公式:

16、20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848.019121.0541.018.0541.0例例数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?解：设A-发射端发射0，B-接收端接收到一个“1”的信号)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P 0.06745.0

17、85.055.005.055.005.00 1 0 1 不不清清0(0.55)(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)1 0 1 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)条件概率条件概率小结条件概率小结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式1.5 1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立定义定义设A、B是两事件，P(A)0,若 P(B)P(B|A)则称事件A与B相互独立。等价于：P(AB)P(A)P(B)引例引例从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？定理、定理、以下四件事等价：(1)

18、事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立相互独立。一般地，设A1，A2，An是n n个事件个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称

19、n n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。思考：思考：1.1.设事件A、B、C、D相互独立，则独立吗？与CDBA2.2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:0.518,0.496三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 2、在可靠性理论上的应用如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。)().(1).121nnAPAPAAAP设设A-L至至R为通路为通路,Ai-第第i个继电器

20、通个继电器通,i=1,2,5)()|(52413AAAAPAAP422pp)()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp第第二二章章随随机机关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念

21、同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量定义定义.设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。随机变量的特点随机变量的特点:1、X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2、X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件例引入适当的随机变量描述下列事件：将3个球随机地放入三个格子中，事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成

22、功3次奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类随机变量的分类：随机变量定义定义若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1)pk 0,k1,2,;(2)1.1kkp.35332CCCkXPkk例设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解 k可取值0，1，22.分布律的性质分布律的性

23、质例例某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,5.SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 )(054321AAAAAPXP.15432154321AAAAAAAAAAPXP4)1(5pp5,.,1,0)1(55kppCkXPkkk.25432154321AAAAAAAAAAPXP3225)1(PPC1.(0-1)分布分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1时

24、时,X的全部取值为的全部取值为:m,m+1,m+2,mpmXPPX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次,.2,1,)1(111mmmkpppCkXPmkmmkpppCmmm)1(11想一想：想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意X5年还是X5年零1分钟定义定义设X是随机变量，对任意实数x，事件X x的概率PX x称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P X x.易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX

25、a F(b)F(a).xX 1、单调不减性：单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一归一性：性：对任意实数x，0F(x)1，且 ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(Fxx ).x(F)x(Flim)0 x(F0 xx00 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 xxkkkpxXPxF:)(例设随机变量X具分布律如右表解解 )(xFx0112)(xXPxF试求出X的分布函数。2,121,7.01

26、0,1.01,0 xxxx0例例向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PXx 1,110,0,0)()(xxxxxXPxF)(xFx101当x1时,F(x)=1当0 x1时,kxxXPxF0)(特别,F(1)=P0 x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b?bXap2.4连续型随 1.定义定义对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有xduufxXPxF)()()(则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概

27、率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+)密度函数的几何意义为 badu)u(f)bXa(P2.密度函数的性质(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性.1)(dxxf性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；xaexf)(例设随机变量X的概率密度为求常数a.答:21a(3)若x是f(x)的连续点，则)()(xfdxxdF例例设随机变量X的分布函数为求f(x)0211021)(xexexFxx（4 4）对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。于是badxxfbXaPbXaPbXaP)(例例已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概

28、率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x),2)F(x),2)求求PXPX(0.5,1.5)(0.5,1.5)其他021210)(xxxxxf1.均匀分布均匀分布若Xf(x)，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)()x(fx则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数c,d(acd0的指数分布。其分布函数为)x(fx00,00,1)(xxexFx例.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解,000)(3xxexfx

29、,.32)1(623edxeXpx65.135.33335.15.1,5.35.1|5.3)2(edxedxeXXXpXXpxx例例某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解)(tTPtF当t 0时，0)(tF当t 0时，)(tTPtF1tTP=1-在t时刻之前无汽车过桥01tXPte1于是000)()(ttetFtft正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记

30、为N(,2)，可表为XN(,2).若随机变量22()21(),2xXf xex (1)单峰对称密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).21正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯(Gauss)分布4.标准正态分布参数 0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。.,21)(22xexx分布函数表示为xdtexXPxxt,)(2212其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z

31、2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则).()(xxXPxF例例设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?例例设 X X N(N(,2 2),),求 PP-3-3 XX3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.例例一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,2514.

32、0)67.0()1510090(90XPp故4195.0)1(03pYP则 YB(3,p)其中一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例例已知-1 0 1XPk313131求：Y=X2的分布律YPk1 0 3132或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxg 1 1、一般方法若Xf(x),-Xf(x),-x+x+,Y=g

33、(X),Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y yxgdxxf)()(dyydFyfYY)()(然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”例例设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。dxxfyFxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)()(yyyFyfYY当y0时0)(yFY当0y1时当y1时1)(yFYyy例例设X的概率密度为f X(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为F

34、Y(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为 f Y(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y)dyd2、公式法：一般地若Xf X(x),y=g(x)是单调可导函数，则|)(|)()()(yhyhfyfXgYXY注注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2、注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.例已知XN(,2),求解：222222121yyeeXY的概率密度XY关于x严单,反函数为 yyh)(故)(|)(|)()(yfyhyhfyfXXY例例设XU(0,1),XU(0,1),求Y

35、=ax+b的概率密度.(a0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为abyyh)(故aabyfyhyhfyfXY1)(|)(|)()(而othersxxfX0101)(故othersabyayfY0101)(小0-1 分布二项分布 B（n,p)泊松分布 P()离离散散型型分分布布律律归一性分布函数与分布律的互变概概率率计计算算分分布布函函数数归一性概概率率计计算算单单调调性性正态分布的概率计算均匀分布 U(a,b)正态分布 N(a,)指数分布 E（)连连续续型型概概率率密密度度

36、归归一一性性概概率率计计算算分布函数与概率密度的互变随随机机变变量量随机变量函数的分布23.1 二维随机变量的联合分布一、多维随机变量1.1.定义定义(p41)p41)将将n n个随机变量个随机变量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n构构成一个成一个n n维向量维向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n)称为称为n n维随机变量。维随机变量。一维随机变量一维随机变量XR1上的随机点坐标上的随机点坐标二维随机变量二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标上的随机点坐标n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随

37、机点坐上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数联合分布函数00,yx00,yyxxyx几何意义：几何意义：分布函数分布函数F()表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),则 Px1X x2，y1yy2

38、 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)分布函数F(x,y)具有如下性质：且0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)归一性归一性对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,(2)单调不减单调不减对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).);y,x(F)y,x(Flim)y,0 x(F0 xx00 ).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F0

39、yy00 (3)右连续右连续对任意xR,yR,(4)矩形不等式矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为)3()2(),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0YY211010 xdydxYXP求：求：(1)(1)常数常数A A；(2)F(1,1)(2)F(1,1)；(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域

40、落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。其它,00,0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例例设解(1)由归一性6 A101032)32()1)(1(6)1,1()2(eedxdyeFyx(23)0 0(,)1xyf x y dxdyAedxdy (3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解dxdyeDYXPDyx)32(6),(303220)32(6dyedxxyx671e3.两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连

41、续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X,Y)在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布。服从均匀分布。其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易见，若（易见，若（X，Y）在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布服从均匀分布，对，对D内任意区域内任意区域G，有有例例设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上的均匀分布，上的均匀分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0、20、|1，则称，则称(X,Y)服从参服从参数为数为

42、 1,2,1,2,的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 ),(),(222121NYX(2)二维正态分布二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为(P101),e121)y,x(f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 分布函数的概念可推广到分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。维随机变量的情形。事实上，对事实上，对n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，F(x1,x2,xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的分布函数，分布函数，或

43、或随机变量随机变量X1,X2,Xn的联合的联合分布函数分布函数。nnnbxabxaxxD,.:,.111DnnndxdxxxfDXXP.),.,x(.1211定义定义 n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体定义定义若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的上的有限或可列无穷多个点，称有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n

44、 n维维离散型的，称离散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的概率密度。的概率密度。求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY

45、y y0 0 othersyxeyxfy00),(例例随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答:PXPX 0=00=011011edyedxXPxy000000000yydyedxyYPyxyyFY(y)F(+,y)PYy 称为二称为二维随机变量维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数.)y,x(Flimy )y,x(Flimx 3.2 3.2 边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数FX(x)F(x,+)PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机

46、变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。例例已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求求FX(x)与与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)=0001yyyeeyy二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为 (X,Y)PXxi,Y yj,pij，i,j1,2,则称则称 PXxipi.，i1,2,为为(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；1jijp 1iijpPY yjp.j ，j1,2,为为(X,Y)

47、关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例例已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为：X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X,Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设设(X,Y)f(x,y),

48、(x,y)R2,则称则称(p48)(p48)为为(X,Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数；同理，称同理，称易知易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N(1,12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N(2,22)的密度函数，故的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布。例例设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性1021xxcdydx6 cdy

49、yxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622xxxdyxx例例设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上的均匀分布，上的均匀分布，求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘的边缘概率密度概率密度x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性定义定义称随机变量称随机变量X X与与Y Y独立独立，如果对任意实数，如果对任意实数ab,cdab,cd，有，有 paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即事件即事件aXaX

50、bb与事件与事件cYcY dd独立，则称随机独立，则称随机变量变量X X与与Y Y独立。独立。定理定理随机变量随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y)定理定理设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维连续型连续型随机变量，随机变量，X X与与Y Y独立独立的充分必要条件的充分必要条件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定理定理设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维离散型离散型随机变量，其分布律随机变量，其分布律为为P Pi,j i,j=PX=x=PX=xi,i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,

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