1、中国古代数学的主要成就中国古代数学的主要成就|周髀算经是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方法。|周髀算经也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前2、3纪。李约瑟认为：“最妥善的办法是把周髀算经看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”|周髀算经主要是以文字形式叙述了勾股算法。中国古代最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽（公元3世纪）。赵爽为周髀算经作注时，所作的“勾股圆方图注”中给出了“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。|九章算术成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的
2、一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对九章算术作过注。特别是刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。九章算术注是九章算术得以流芳百世的重要补充和媒介。|日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中国的几何原本。吴文俊教授也认为，九章算术和刘徽的九章算术注，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的几何原本东西辉映，各具特色。|九章算术全书共分9章，246道题，体例采用问题集形式。|第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，38个问题。|一今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。二又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰
3、：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。|五今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。|六又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。|约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。|第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出现。|第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。|第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。|今有积五万五千二百二十五步，问
4、为方几何？答曰：二百三十五步。|开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。|第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。|第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。|第七章“盈不足”讲述算术
5、中盈亏问题的解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契的算经一书中专门有一章讲“契丹算法”。|第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。|中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在九章算术注中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”|今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、
6、下禾实一秉各几何？|正负数的加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”|“同名、异名”指“同号、异号”，“相除、相益”指“绝对值相减、相加”。前4句是减法规则，后4句是加法规则。|李文林在数学史教程中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”|国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。|第九章“勾股”在周髀算经中勾股定理的基础上，形成了应用问
7、题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。|今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。|术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。九章算术九章算术标志着中标志着中国传统数学的知识体系国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想国传统数学体系和思想方法的特点：方法的特点：注重实际注重实际问题的数值计算方法，问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工成世界上独有的计算
8、工具和程序化计算方法具和程序化计算方法|刘徽，公元3世纪魏晋时人，于公元263年撰九章算注。该书包含了刘徽本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。|割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发将边数逐次加倍，计算每次得到的正多边形周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”设圆面积为设圆面积为S S0 0、半径为、半径为 r r、圆内接正圆内接正n n边形边长为边形边长为 l ln n、周长为周长为 L Ln n、面积为、面积为 S Sn n。将边。将边数加倍后数加倍后,得到圆内接正得到圆内接正2 2n n边
9、边形，其边长、周长、面积分别形，其边长、周长、面积分别记为记为 l l2n 2n,L,L2n 2n,S,S 2n 2n。刘徽首先指出，由刘徽首先指出，由 l ln n 及勾股及勾股定理可求出定理可求出 l l2n2n 其次知道了圆内接正其次知道了圆内接正n n 边形的边形的周长周长 L Ln n，又可求得正，又可求得正2 2n n边形的面积，边形的面积，如果在圆内接如果在圆内接n n边形的每边上作一高为边形的每边上作一高为CDCD的矩形，就可以证明刘徽不等式：的矩形，就可以证明刘徽不等式：S S2 2n n S S0 0 S S2 2n n +(+(S S2 2n nS Sn n).).|刘徽
10、用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192边形，得到圆周率约为3.14124，其精确到小数点后两位的近似值3.14=157/50，被称为“徽率”。|刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是“出入相补原理”：一个几何图形被分成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。刘徽利用这条原理成功地证明了九章算术中的许多面积公式。|刘徽在推证九章算术中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马”（一种特殊的四棱锥）体积公式便是用极限方法推导出来的，而球体积公式的推导则使用了不可分量方法。|为计算球体积公式，刘徽将两个等边圆柱垂直相交时的公共
11、部分称为“牟合方盖”，并证明了球体积与其外切的牟合方盖的体积比是/4。但他未能求得牟合方盖的体积。九章算术注九章算术注对数学方法的贡献对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。开始了其独特的推理论证的尝试。“析理析理以辞，解体用图。以辞，解体用图。”创立了创立了“出入相补出入相补”的方法，提出了的方法，提出了“割圆术割圆术”，上首次将极，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深
12、入研究，学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法用逻辑手段推导出结果的方法 。提出。提出“审审辨名分辨名分”，不但对自己提出的每一个新概，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定念都给出界定九章算术注九章算术注丰富了丰富了九九章算术章算术的数学成果，主要表现在算术、的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。代数和几何诸方面。用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为：4，于是由刘徽原理立即得到V V球球:V V牟牟=：4 4即即 V V球球=（/4/4）V V牟牟。祖暅原理祖暅原理（幂
13、势既同，则积不容异）与球体积公式与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”“小方盖差小方盖差”与球体积公式与球体积公式左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得a2=r2 h2;这正是截平面PQRS的面积中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 a2=h2，右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是h2 根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。|祖冲之（公元429500）活跃于南朝宋、齐时代，出生于历法世家，本人做过南徐州（镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官
14、，但他却成为历代为数不多能名列正史的数学家之一。|祖冲之最大的数学成就是对圆周率的精确计算。得出了圆周率的上限3.1415927（盈数），下限3.1415926（肭数）。另外还得出了圆周率的两个分数形式的近似值约率22/7，和密率（祖率）355/113。|史料上没有关于祖冲之推算圆周率方法的记载，一般认为是沿用了刘徽的“割圆术”。刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192边形，得到圆周率约为3.14124，如果用这一方法算到圆内接正24576边形，便得到圆周率在3.1415926和3.1415927之间。祖冲之在圆周率的计算方面领先于西方近千年。为了纪念祖冲之的贡献，20世纪的日
15、本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之的名字命名。|从东汉以来，有关球体积的计算公式，经过张衡、刘徽等人的努力，最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成，成为中国数学史上的一件大事。祖氏父子的这一成就，祖氏父子利用“两等高几何体，若在任意同一高度上的截面积均相等，则它们的体积相等”这一原理，求得牟合方盖的体积，然后利用刘徽的结果，得到了球体积公式。|祖暅还明确总结出了“幂势既同，则积不容异”这样一条求积原理。该原理现被称为“祖暅原理”。事实上，刘徽也使用过这一原理，只是未能将其概括为一般形式。这一原理在西方被称为卡瓦列里原理，但他17世纪前叶才提出，比祖暅迟了1100多年。|出于官方数学教育的需要，唐高
16、宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元656年由李淳风负责编定了算经十书：周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、张邱建算经、夏候阳算经、缉古算经、海岛算经、五经算术和缀术，后因缀术失传，而以数术记遗替代。|鸡兔同笼鸡兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。|物不知数物不知数今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。|明代数学家程大位的算法统宗中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半
17、月，除百零五便得知。”|这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩余定理”。“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”孙子问题相当于求解一次同余式组 其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。.计算过程为：N=702+213+1522105.这里的70、21、15是求解的关键。其求法：由题设，用3、5、7分别除以N所得的余数为2、3、2，故用2、3、2分别去乘70、21和15，再相加即得2332（mod 3）3（mod 5）2（mod 7）|宋元时期（960-1368）的杰出数
18、学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元四大家”。|宋元时期的数学代表著作有数书九章（秦九韶）、详解九章算法（杨辉）、益古演段（李冶）和四元玉鉴（朱世杰）等|秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。|四元玉鉴是中国古代数学的绝唱，明代以后中国数学逐渐衰弱。而
19、当16、17世纪，近代数学在欧洲蓬勃兴起的时候，中国数学就更加明显地落后了。|西方数学的传入从明朝开始。1602年（明万历34年），利玛窦与徐光启合译了几何原本前6卷，几何、三角、对数等传入国内。徐光启对几何原本的评价极高：“此书为益，能令学理者祛其浮气、练其精心，学事者资定其法、发其巧思，故举世无一人不当学。”“此书有四不必，不必疑、不必揣、不必试、不必改。”杨辉三角与增乘开方法杨辉三角与增乘开方法 杨辉（约13世纪后期）在详解九章算法中记载了北宋人贾宪的一张“开方作法本源图”（1050）现今称为杨辉三角的“贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角1655年）左边第二斜行为1，2，3，4，5，
20、6，7，8，是公差为1一阶等差数列，它的前n项和（“茭草垛”公式）左边第三斜行为1，3，6，10，15，21，28，是二阶等差数列，它的前n项和为（“三角垛”公式）左边第四斜行为1，4，10，20，34，56，是三阶等差数列，它的前n项和为（“撤星形垛”公式）朱世杰得到了p阶等差数列求和的一般公式，=)1).(1(!11prrrpnr).()1()!1(1pnnnp 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 “设日数为n，每日招兵数为(n+2)3,问第15日招兵多少？”解答中用到了四次内插公式：其中f(n)表示第n日总共的招兵数，且其“四次差”分别为1=27，2=37，3=24，4=6。恰好是
21、“古法七乘方图”中的各级数之和。朱世杰的发现表明，借助于高阶等差级数的研究结果，完全可以写出任意高次的招差公式。在欧洲，1670年英国天文学家格烈高里最先对招差法作了说明，牛顿在16761678年的著作中才出现了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。n!21!31!41|元代中期数学高峰过后，由于社会制度等种种原因，数学发展速度减慢，有的数学领域（如天元术）甚至出现中断、失传现象。虽然西方初等数学传入，但发展速度却大大落后于同时代突飞猛进的欧洲各国。而西方现代数学的传入则是从清朝才开始的。对此作出重要贡献的是李善兰和华衡芳等人。|李善兰（18111882），浙江海宁人，是中国近
22、代著名数学家。|李善兰的著作有方圆阐幽、古昔斋算学、考数根法、垛积比类等；译作有代微积拾级、代数学、几何原本后9卷，圆锥曲线说等。李善兰发明的“尖锥术”、“垛积术”具有独创性。|1859年李善兰与英国传教士伟烈亚力（Wylie）合译几何原本后9卷，及代微积拾级，创立的一些中文数学名词影响深远，如：代数学、微分、积分、曲率、极大、无穷、级数、方程、根等。|清政府于1862年创办京师同文馆。这是中国历史上的第一所新学堂，开始只学外语和汉语，1867年设天文算学馆，1868年聘李善兰为算学总教习。学习内容包括：代数学、几何原本、三角学、微积分等。算法化特征算法化特征 “算术”与算法化成果 算筹为中国
23、数学发展提供了了技术工具，使中国在世界上最早采用了十进位值制记数法；使计算程序化和自动化 长期坚持走算法化的发展道路，限制了数学方法的流传和改进。影响了逻辑体系的发展，很难达到现代数学的发展水平 实用性思想实用性思想 数学著作都以社会生产和生活实践中的问题为纲，这些问题基本按社会、生活领域进行分类，过分重实用，不利于抽象概念和命题的形成 较早的形成国家数学教育体制 明代封建统治者的政策不利于数学发展连续性特征连续性特征主要表现在以下几个方面：历代数学典籍体例的一致性,数学的各分支发展的继承性,计算工具使用的一贯性.不受外来数学文化的影响 英国现代著名学者李约瑟这样评述外域文化对中国的影响：“中国和它的西方邻国以及南方邻国之间的交往和反映，要比一向所认为的多得多，尽管如此，中国思想和文化模式的基本格调，却保持着明显的、从未间断的自发性。这是中国与世隔绝的真正涵义。过去，中国和外界是有接触的，但是，这种接触从来没有多到足以影响它所特有文化以及科学的格调。”
