1、第七章第七章 万有引力与宇宙飞行万有引力与宇宙飞行 7-3万有引力理论的成就万有引力理论的成就 7-4宇宙航行宇宙航行7.3 万有引力理论的成就1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用；2.会用万有引力定律计算天体质量；3.理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。学习目标复习回顾 1.物体物体做圆周运动的向心力公式是什么？分别写出向心力与线速做圆周运动的向心力公式是什么？分别写出向心力与线速度、角速度以及周期的关系式度、角速度以及周期的关系式。2rMmGF 2mvFr2Fmr22()FmrT2.万有引力定律的内容是什么？如何用公式表示？万有引力定律的内容是什么？如何用公式表示？重力重力
2、是万有引力的一个分力，当忽略是万有引力的一个分力，当忽略了地球的自转时了地球的自转时,可认为可认为重力重力在数值上在数值上就就等于等于万有引力大小万有引力大小。3.重力重力和万有引力的关系？和万有引力的关系？FnRMGmwrF引引物体物体m m在纬度为在纬度为的位置，的位置，万有引力万有引力指向地心，分解为两个分力：指向地心，分解为两个分力：m m随地随地球自转围绕地轴运动的球自转围绕地轴运动的向心力向心力和和重力重力。2RmMGmg“给我一个支点，给我一个支点，我可以撬动球。我可以撬动球。”新课导入新课导入 那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢?称量地球的
3、质量 1.1.思路：思路：地球地球的质量不可能用天平称量的质量不可能用天平称量.万有引力定律万有引力定律是否能给予是否能给予我们帮助我们帮助呢呢?重力重力是万有引力的一个分力，当忽略了地球是万有引力的一个分力，当忽略了地球的自转时的自转时,可认为可认为重力重力在数值上就在数值上就等于等于万有引万有引力大小力大小。2mMmgGR 称量地球的质量 1.1.分析：分析：若若不考虑地球自转的影响，地面上物不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球对它的引力。体的重力等于地球对它的引力。2mMmgGRM2gRG 其中其中g g、R R在卡文迪许之前已经知道，而卡文迪许测出在卡文迪许之前已经知道，而卡
4、文迪许测出G G后，后，就意味着我们也测出了地球的质量。卡文迪许把他自己的实验说成就意味着我们也测出了地球的质量。卡文迪许把他自己的实验说成是是“称量地球的重量称量地球的重量”是不无道理的。是不无道理的。著名文学家马克著名文学家马克吐温满怀激情地说：吐温满怀激情地说：“科学真是迷人。根据科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！竟能赢得那么多收获！”称量地球的质量称量地球的质量 天体质量的计算 思考：思考：应用应用万有引力可算出地球的质量，能否算出太万有引力可算出地球的质量，能否算出太阳的质量呢阳的质量呢?1、地球公转实际轨道是什么形状？为了解决
5、问题的方便，、地球公转实际轨道是什么形状？为了解决问题的方便，我们通常可以认为地球在绕怎样的轨道做什么运动？我们通常可以认为地球在绕怎样的轨道做什么运动？近似近似天体质量的计算天体质量的计算 2、地球作圆周运动的向心力是由什么、地球作圆周运动的向心力是由什么力提供力提供的？的？rMmF天体质量的计算天体质量的计算 rMmFnFF引2rMmGF 引rmFn2rmRMmG22GrM32地球公转地球公转角速度角速度 不能不能直接测出直接测出,但我们但我们知道地球公转的周期知道地球公转的周期 T T2324rGT（M与与m无关）无关）天体质量的计算天体质量的计算 中心天体M环绕天体m求解思路：求解思路
6、：环行天体的向心力由中心天体对其万有引力环行天体的向心力由中心天体对其万有引力独家独家提供提供具体方法：具体方法：rTmrmMG22)2(2324GTrM注意：注意：待待求天体（求天体（M）的质量与的质量与环行环行天体天体（m）的质量无关的质量无关拓展：利用月球求地球质量拓展：利用月球求地球质量天体质量的计算天体质量的计算 月球绕地球运行的周期月球绕地球运行的周期T=27.3T=27.3天，天，月球与地球的平均距离月球与地球的平均距离r=3.84r=3.8410108 8m mrTmrMmG22)2(2324GTrMM地=5.981024kg天体天体密度密度的的计算计算 黄金替换黄金替换质量为
7、质量为m m的物体在地球的物体在地球(星体星体)表面受到的万有引力等于表面受到的万有引力等于其重力，即其重力，即G Gmgmg。可以得到：。可以得到：GMGMgRgR2 2由于由于G G和和M M(地球质量地球质量)这两个参数往往不易记住，而这两个参数往往不易记住，而g g和和R R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量这就避开了万有引力常量G G值和地球的质量值和地球的质量M M值值线速度线速度v v：v 角速度角速度：周期周期T T：向心加速度向心加速度a an n：发现未知天体发现未知天体-海王星海王星 在在17
8、811781年发现的第七个行星年发现的第七个行星天王星的运动轨道，总是天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离.当时有人预测，肯当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星定在其轨道外还有一颗未发现的新星,这就是后来发现的第八大这就是后来发现的第八大行星行星海王星海王星.海王星海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料各自独立地利用轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律计算出来的万有引力定律计算出来的.海王星发现之
9、后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶的方法预言另一颗新行星的存在 在预言提出之后，1930年，汤博发现了太阳系的后来曾被称为第九大行星的冥王星常考题型题组一计算天体质量和密度题12019广东佛山一中高一检测（1）开普勒第三定律指出：行星绕太阳运动椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即 =k，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式（已知引力常量为G，太阳的质量为M太）；（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.841
10、08m，月球绕地球运动的周期为2.36106 s，地球半径取6 400 km，试估算地球的质量M和密度。（G=6.6710-11 Nm2/kg2，计算结果均保留一位有效数字）32aT【解】（1）根据牛顿第二定律：=ma ，又根据开普勒第三定律：k=，由上两式得：k=（2）对地月系统：=，得：M地=61024 kg。地球的密度=5103 kg/m3。【点评】开普勒第三定律 中的k是一个与中心天体质量有关的常量。2M mGa太224 T32aT24 GM太2M mGr月地224 mrT月2324 rGTMV地34 3MR地32akT计算天体质量的两个基本思路计算天体质量的两个基本思路思路一（环绕法
11、）：将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的。有如下关系：G =m =mr 。思路二（重力加速度法）：中心天体表面上物体的重力与所受万有引力相等，mg=。天体天体密度的计算方法密度的计算方法（1）利用中心天体表面的重力加速度求密度 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。（2）利用中心天体的卫星求密度 其中R为待求天体半径，r为卫星的轨道半径。2Mmr22vmrr224 T2MmGR23344 3GMmmggRGRMR23222334 3 4 3MmGmrrrTGT RMR题2 某星球的半径为R，表面的重力加速度为g，引力常量为G，则该星球的平均密
12、度为（）A.B.C.D.【解析】根据重力近似等于星球的万有引力 ，有 解得M=。把该星球看做均匀球体，则星球体积为V=，则其密度为 。【答案】B234 gR G34 gRGgRG2gR G2MmGmgR2gRG34 3RMV34 gGR“黄金代换法黄金代换法”的应用技巧的应用技巧在不考虑地球自转的影响时，在地球附近有mg=，化简得gR2=GM。此式通常叫做黄金代换式，适用于任何天体，主要用于天体的质量M未知的情况下，用该天体的半径R和表面的“重力加速度”g代换M。2MmGR题3 2019广东仲元中学高一检测人造卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，轨道半径为r，已知引力常量为G，根据万有引
13、力定律，可算出地球的质量为（）A.B.C.D.2v rG22v rG2vrGvrGA【特别提醒特别提醒】求中心天体的质量时，需要知道的半径是以该天体为圆心做圆周运动的轨道半径，不是中心天体的半径，也不是做圆周运动的天体的半径。题4 有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，则该星球的质量将是地球质量的（）A.B.8倍 C.16倍 D.64倍 14B题5 2019石家庄一中高一检测“嫦娥四号”探测器已于2019年1月3日在月球背面安全着陆，开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。已知月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0，地球和月球的半径之比为 ，表面重
14、力加速度之比为 ，则地球和月球的密度之比 为（）A.B.C.4 D.6 04RR06gg2332B题6 2019辽宁大连高三一模如图 所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为弧度，已知引力常量为G，则月球的质量是（）A.B.C.D.33lGt32Gl t32lG t23tG lC题7 2019安徽宿州高一期末地球表面的重力加速度为g，则离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度为（）A.0.25g B.0.5g C.2gD.4g【解析】地面上方高h处：mg=G ，地面上mg=G ，联立解得g=0.25
15、g。【答案】A 题组二天体表面及离天体某高度处的重力加速度2MmRh2MmR题8 2015重庆卷航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（）A.0B.C.D.2()GMRh2()GMmRh2GMhB题9 假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火M地=p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火g地等于（）A.pq2 B.C.pq D.pq2pqD题10
16、已知地题球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月s地约为（）A.94 B.61 C.32D.11【解析】对于处在星球表面的物体，其所受的重力近似等于万有引力，由公式 =mg，代入数据可解得 =；又由平抛运动的规律可知s=vt，t=，整理得s=，则s月s地=94。【答案】A 题组三万有引力定律与抛体运动知识的综合应用2MmGRgg月地16812hg2hvg题11 某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度、以同样的初速度平抛同一物体，射程应为（）A.10 m B.15 m C.90 mD.360 mA内容小结1.1.万有引力定律在天文学中的应用，一般有两条思万有引力定律在天文学中的应用，一般有两条思路：路：(1)(1)地面地面（或某星球表面）的物体的（或某星球表面）的物体的重力重力近似近似等于等于万有引力万有引力2RmMGmg(2)(2)环绕天体所需的环绕天体所需的向心力向心力由中心天体对环绕天体的由中心天体对环绕天体的万万有引力有引力提供提供nFF引rTmrmrMmG222)2(2.2.了解了万有引力定律在天文学中具有的重要意义了解了万有引力定律在天文学中具有的重要意义.7.4 宇宙航行
