1、多准则决策及其在多准则决策及其在数学建模中的应用数学建模中的应用 清华大学清华大学 姜启源姜启源rxdtdx 多准则决策概述多准则决策概述 多属性决策的一般步骤多属性决策的一般步骤 多属性决策应用过程中几种多属性决策应用过程中几种主要方法的比较主要方法的比较 层次分析法与层次分析法与多属性决策多属性决策和和多属性效用理论多属性效用理论的关系的关系提要提要 多属性决策（多属性决策（MADM,Multiple Attribute Decision Making）多准则决策（多准则决策（MCDM,Multiple Criteria Decision Making）多目标决策（多目标决策（MODM,M
2、ultiple Objective Decision Making）【多属性效用理论（多属性效用理论（MAUT,Multi-Attribute Utility Theory）】MADM：为了一个特定的目的在若干备选方案中为了一个特定的目的在若干备选方案中确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排序，或者给出优劣程度的数量结果序，或者给出优劣程度的数量结果,而方案的优劣而方案的优劣由若干属性给以定量或定性的表述。由若干属性给以定量或定性的表述。MODM：为了若干特定的（一般是相互矛盾的）为了若干特定的（一般是相互矛盾的）目标在若干备选方案中确定一个一
3、定意义下最优的，目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的，而备选方案集合由一些约束条件给定。而备选方案集合由一些约束条件给定。MODM又称多目标优化或目标规划又称多目标优化或目标规划 多属性决策多属性决策(MADM)与多目标决策与多目标决策(MODM)概述概述多属性决策（多属性决策（MADM）与多目标决策）与多目标决策（MODM）应用领域非常广泛）应用领域非常广泛 MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘客和航空公司双方利益的航班安排、客和航空公司双方利益的航班安排、2011B题交警平题交警平台设置要考虑出警时间和工作量均衡、台设置要考虑出警时间和
4、工作量均衡、2009B题病床安题病床安排方案要考虑公平和效率两方面排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备题会议筹备要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等 MADM：国家综合实力评价、大学排名榜、公司国家综合实力评价、大学排名榜、公司新厂址选择、教师绩效考核新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台题各区交警平台设置的合理性评价设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评题学生宿舍设计方案的评价价、2009B题病床安排的合理性指标题病床安排的合理性指标 多属性决策多属性决策(MADM)的一般步骤的一般步骤 要素：要素：备选
5、方案组备选方案组与与属性集合属性集合、决策矩阵决策矩阵、属性属性权重、综合方法权重、综合方法.备选方案组备选方案组：由实际问题决定：由实际问题决定.1.1.备选方案组与属性集合备选方案组与属性集合确定确定属性集合属性集合的原则：的原则：全面考虑，选取影响力（或重要性）强的全面考虑，选取影响力（或重要性）强的.属性间尽量独立（至少相关性不太强）属性间尽量独立（至少相关性不太强）.不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.若数量太多（如大于若数量太多（如大于7个），应将它们分层个），应将它们分层.尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次尽量选可量化的，定性的
6、也要能明确区分档次.2决策矩阵决策矩阵备选方案对每一属性的属性值备选方案对每一属性的属性值例例 选择战斗机选择战斗机(4种型号种型号)备选备选方案方案属性属性X1X2X3X4X5X6A1A2A3A4X1最高速度最高速度(马赫马赫),X2航程航程(千海里千海里),X3最大载荷最大载荷(千磅千磅)X4价格价格(百万美元百万美元),X5可靠性可靠性,X6 机动性机动性.各方案对属性的定量取值或定性表述各方案对属性的定量取值或定性表述 2.02.51.82.21.5205.52.7186.52.0214.51.8205.0中中很高很高低低中中高高高高中中中中550.5208.12.2775.4210.
7、28.1535.6187.25.2955.5205.10.2D对对X5,X6表述的量化：表述的量化：“很高很高”、“高高”、“中中”、“低低”、“很低很低”记分记分9,7,5,3,1，设有设有m个备选方案个备选方案A1,A2,Am,n个属性个属性X1,X2,Xn 0,)(ijnmijddD决策矩阵决策矩阵例例 选择战斗机选择战斗机Ai对对Xj的取值的取值 dij 属性值属性值决策矩阵（属性值）的获取决策矩阵（属性值）的获取 调查、度量各方案对属性的取值调查、度量各方案对属性的取值(偏于客观偏于客观)通过通过成对比较，从正互反阵解出特征向量成对比较，从正互反阵解出特征向量(偏于主观偏于主观)层次
8、分析法层次分析法dij作作比例比例尺度变换尺度变换 ijmiijijddr,2,1maxmiijijijddr1miijijijddr1210ijr决策矩阵标准化决策矩阵标准化 R的列最大值的列最大值为为1最大化最大化R的列和为的列和为1归一化归一化R的列模为的列模为1模一化模一化ijmiijmiijmiijijddddr,2,1,2,1,2,1minmaxmindij作作区间区间尺度变换尺度变换 R的列的列最小值为最小值为0（最大值为（最大值为1）属性值的物理意义属性值的物理意义(包括量纲包括量纲)各不相同各不相同 mnmjmnjddddddD11111mnmjmnjrrrrrrR11111
9、效益型属性值单调增效益型属性值单调增 决策矩阵标准化时先对费用型属性值作决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换倒数变换:属性值属性值(对决策优劣对决策优劣)的性质的性质 单调性单调性 线性性线性性对于明显呈非线性的属性值（如边际效益对于明显呈非线性的属性值（如边际效益递减），需先拟合合适的函数作变换递减），需先拟合合适的函数作变换.miijijijddr111归一化归一化ijiijijddr1max1最大化最大化费用型属性值单调减费用型属性值单调减 注意非单调性属性的标准化处理注意非单调性属性的标准化处理ijijiddmin3属性权重属性权重X1,X2,Xn的权重的权重Tnwwww),(2
10、1，njjw11属性权重的获取属性权重的获取 层次分析法：用层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量成对比较矩阵解出特征向量偏于主观偏于主观 根据决策目标通过经验、调查等先验地给出根据决策目标通过经验、调查等先验地给出 信息熵法信息熵法(借用信息论中熵的概念借用信息论中熵的概念)偏于客观偏于客观熵熵 信息论中衡量信息论中衡量不确定性不确定性的指标，的指标，信息量信息量的的(概率概率)分布分布越趋于一致，不确定性越大越趋于一致，不确定性越大.将归一化决策矩阵将归一化决策矩阵R列向量列向量 A1,Am对对Xj的的属性值属性值)1(,121miijmjjjrrrr视为信息量的分布视为信息量的分布mkr
11、rkEmiijijjln1,ln1A1,Am对属性对属性Xj的熵为的熵为 rij越一致越一致,Ej越接近越接近1jjEF1定义定义Xj对于方案的对于方案的区分度区分度 10jEnjjjjFFw1可用可用rij的均方差或极差代替的均方差或极差代替Fj 属性权重属性权重 信息熵法信息熵法25.020.005.025.020.015.025.030.030.025.030.050.0R1986.0824.0 E0014.0176.0 F例例1)/1,/1(),(1jmjjEmmrr时0),0,1,0,0(),(1jmjjErr时不易区分不易区分方案优劣方案优劣 以上方法的综合以上方法的综合记偏于主观
12、与偏于客观的方法得到的权重分别为记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为,),()1()1(2)1(1)1(TnwwwwTnwwww),()2()2(2)2(1)2(,njjjjjjwwwww1)2()1()2()1()(njjjjjjwwwww1)2()1()2()1()(Tnwwww),(21综合权重综合权重,根据决策者对根据决策者对w(1),w(2)的偏好程度进行调节的偏好程度进行调节 或或各种方法的详细步骤参看：各种方法的详细步骤参看：Hwang C.L.and Yoon K.Multiple Attribute Decision MakingMethods and Applicat
13、ions.Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag,19814 4综合方法综合方法-由决策矩阵与属性权重得到最终决策由决策矩阵与属性权重得到最终决策徐玖平，吴巍编著徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法多属性决策的理论与方法.北京北京 清华大学出版社清华大学出版社 2006粗糙粗糙 模糊模糊确定确定随机随机4 4综合方法综合方法-由决策矩阵与属性权重得到最终决策由决策矩阵与属性权重得到最终决策按照决策者掌握的按照决策者掌握的属性信息量属性信息量的多少将方法分类的多少将方法分类 没有任何属性信息没有任何属性信息 占优法占优法最大最小法最大最小法 给定
14、各属性的最低水平给定各属性的最低水平 合取法合取法 析取法析取法 已知各属性权重的顺序已知各属性权重的顺序字典序法字典序法 排列法排列法 已知各属性权重的数值已知各属性权重的数值简单加权和法简单加权和法加权积法加权积法线性分配法线性分配法 接近理想解的排序法接近理想解的排序法删除选择法删除选择法1.简单加权和法（简单加权和法（SAW,Simple Additive Weighting）njjijnjijimiwrvv11,2,1,隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性.nm
15、ijrR)(Tnwwww),(21 方案方案Ai 对对n个属性的综合取值为个属性的综合取值为 对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、最大化），得到的结果会有差别最大化），得到的结果会有差别.TmvvvRwv),(,1或或2.加权积法（加权积法（WP,Weighted Product）njwijimidvj1,2,1,可以直接用方案对属性的原始值可以直接用方案对属性的原始值dij，不需要标准化不需要标准化 若效益型属性的权重取若效益型属性的权重取正正值，则费用型属性的权重值，则费用型属性的权重应取应取负负值值.将将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：的
16、算术加权平均改为几何加权平均：3.接近理想解的排序法（接近理想解的排序法（TOPSIS）n个属性、个属性、m个方案视为个方案视为n维空间中维空间中m个点的几何系统个点的几何系统 每个点的坐标由每个点的坐标由 确定确定 在空间中定义在空间中定义欧氏距离欧氏距离，决策矩阵，决策矩阵模一化模一化 正理想解正理想解由所有最优加权属性值构成由所有最优加权属性值构成 负理想解负理想解由所有最劣加权属性值构成由所有最劣加权属性值构成 定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标 相对接近度相对接近度 备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定
17、 mivvvinii,1),(214.删除选择法（删除选择法（ELECTRE）比较每一对方案比较每一对方案 Ai,Ak的加权属性值的加权属性值vij和和 vkj,按照按照vijvkj和和vijvkj 将属性集分将属性集分为一致集为一致集和和矛盾集矛盾集.利用属性值和权重定义利用属性值和权重定义一致性指标一致性指标cik和矛盾性指标和矛盾性指标dik,cik越大越大,dik越小越小,Ai越优于越优于Ak.将欧氏距离改为将欧氏距离改为街区距离街区距离,且决策矩阵且决策矩阵归一化归一化或或最大化最大化TOPSIS方法等价于方法等价于简单加权和法简单加权和法的情况的情况:dc,确定度量确定度量cik,
18、dik的阈值的阈值 ,时时Ai 优于优于Ak,由此决定删除和选择的方案由此决定删除和选择的方案.dc,ddccikik,应用过程中几种主要方法的比较应用过程中几种主要方法的比较 方法方法方案方案SAWWPTOPSISELECTREA12211A24443A31121A43333例例 选择战斗机选择战斗机方案排序基本一致：方案排序基本一致：A3，A1优于优于A4，A2 4种方法对方案的优劣排序种方法对方案的优劣排序 方法方方法方案案SAW(R最大化最大化)SAW(R归一化归一化)WPTOPSISA10.2660.2690.2690.350A20.2260.2230.2190.146A30.272
19、0.2740.2760.334A40.2360.2340.2360.170用用SAW，WP，TOPSIS 计算的数值结果计算的数值结果 例例 选择战斗机选择战斗机A3与与A1（A4与与A2）差别不大，）差别不大，A3，A1明显优于明显优于A4，A2 用各种方法得到的结果没有显著差别用各种方法得到的结果没有显著差别 几种方法的集成几种方法的集成 “多属性决策多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个方法选择本身就是一个MADM问题问题”甄选甄选：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优的、不可接受的方案删除的、不可接受的方案删除.排序或计算排序或计算：分别利
20、用：分别利用SAW,WP,TOPSIS等对方等对方案按照优劣排序或计算数值结果案按照优劣排序或计算数值结果.集成集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.平均法平均法 Borda数法数法 加权和法加权和法 与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成.简单、方便的简单、方便的SAW适用于日常生活中大多数适用于日常生活中大多数多属性决策问题多属性决策问题.一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更全面的全面的TOPSIS,ELECTRE方法，或者将几种方法方法，或
21、者将几种方法加以集成加以集成.多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论.应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多.结论与建议结论与建议AHP的基本步骤的基本步骤1.建立层次分析结构模型建立层次分析结构模型2.构造成对比较阵构造成对比较阵3.计算权向量（主右计算权向量（主右特征向量特征向量）并作一致性检验）并作一致性检验4.由各层的权向
22、量计算组合权向量由各层的权向量计算组合权向量层次分析法层次分析法(AHP)与与多属性决策多属性决策(MADM)和和多属性效用理论多属性效用理论(MAUT)的关系的关系 AHP的的提出提出（20世纪世纪80年代）比年代）比MAUT稍晚稍晚.AHP的的应用应用领域与领域与MAUT相近相近.AHP可视为可视为MADM的方法之一，的方法之一，MADM的加权的加权和法是和法是AHP的的特例特例.AHP与与MAUT在学术上的在学术上的争论争论一直存在一直存在.AHP应用中的几个问题应用中的几个问题1.1.决策矩阵中属性值的获得决策矩阵中属性值的获得 相对度量相对度量对每一准则由各方案的对每一准则由各方案的
23、成对比较成对比较阵阵和特征向量得到和特征向量得到.绝对度量绝对度量按每一准则的特性划分为若干等级，按每一准则的特性划分为若干等级，各方案各方案“对号入座对号入座”博士博士硕士硕士学士学士高中高中初中初中教育教育经验经验品质品质职员晋升职员晋升杰出杰出丰富丰富中等中等较少较少无无优秀优秀良好良好中等中等偏下偏下差差按每位职员的教育、按每位职员的教育、经验、品质、经验、品质、情情况划入相应的等级况划入相应的等级适用于了解不够的新问题适用于了解不够的新问题适用于了解适用于了解充分的老问充分的老问题题2.2.决策矩阵中属性值的标准化决策矩阵中属性值的标准化 分配模式分配模式(Distributive
24、Mode),即即归一化归一化当某一方案的属性值改变时，其他方案的属性值随之改变当某一方案的属性值改变时，其他方案的属性值随之改变 理想模式理想模式(Ideal Mode),即即最大化最大化任一方案的属性值独立于标准方案外的其他方案任一方案的属性值独立于标准方案外的其他方案决策者关心每个方案支配（占优）其他方案的程度决策者关心每个方案支配（占优）其他方案的程度决策者关心每个方案相对标准方案的优劣决策者关心每个方案相对标准方案的优劣getting a well performing cargetting a car that stands out among the alternativespur
25、chased by co-workers当新方案加入（或旧方案退出）时原方案的优劣排序当新方案加入（或旧方案退出）时原方案的优劣排序是保持还是会逆转？是保持还是会逆转？3.3.方案排序的保持或逆转（准则权重不变）方案排序的保持或逆转（准则权重不变）模拟实验（模拟实验（29个准则、个准则、29个方案加入一新方案，个方案加入一新方案，每种情况模拟每种情况模拟1000次）表明：次）表明：对对分配模式分配模式(DM)原方案属性值改变，原方案属性值改变，排序可能改变排序可能改变.对对理想模式理想模式(IM)原方案原方案排序不变排序不变，但当新方案属性值，但当新方案属性值高于原方案时，原方案排序高于原方案
26、时，原方案排序可能改变可能改变.原方案优劣排序不变的占原方案优劣排序不变的占80%以上以上.用绝对量测，新方案加入时原方案优劣排序不变用绝对量测，新方案加入时原方案优劣排序不变.排序保持或逆转的算例排序保持或逆转的算例 准则准则方案方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B154333.05667.04.06.08333.01667.01667.08333.052.068.04.06.00.12.02.00.1BABA 准则准则方案方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15C(=A)51DMIMDMIM3299.03402.03299.04.06.01667.08333.08333.0
27、1667.01667.08333.068.052.068.04.06.02.00.10.12.02.00.1AB BA 准则准则方案方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15C81680.0475.0455.04.06.02.0000.10.1125.02.0625.004.152.068.04.06.02.06.10.12.02.00.1AB IM属性值可大于属性值可大于1逆转逆转保持保持逆转逆转BA保持保持4.4.分配模式分配模式(DM)与理想模式与理想模式(IM)的选用的选用 分配模式分配模式(DM)用于资源固定的用于资源固定的封闭系统封闭系统，新用户，新用户（方案）的加入会稀释资
28、源，需重新分配（方案）的加入会稀释资源，需重新分配.理想模式理想模式(IM)用于资源不定的用于资源不定的开放系统开放系统，新用户的，新用户的加入一般不会稀释资源，原用户不需重新分配加入一般不会稀释资源，原用户不需重新分配.对固定方案集合的对固定方案集合的选优选优(只选一个只选一个)、定性评价定性评价(只考只考虑优劣顺序虑优劣顺序)等问题，两种模式均可但多用等问题，两种模式均可但多用IM.对固定方案集合的对固定方案集合的资源分配资源分配、定量评价定量评价(考虑数值考虑数值大小大小)等问题，易用等问题，易用DM.ijiijiijiijijddddrminmaxmin注注 区间尺度变换区间尺度变换
29、在排序保持比例上在排序保持比例上少于少于IM和和DM(模拟模拟)，尤其，尤其不适用于资源分配不适用于资源分配问题问题.资源分配问题的算例资源分配问题的算例绩效奖金分配绩效奖金分配教学教学w=0.5科研科研w=0.5AB目标目标准则准则教师教师教师教师A教师教师B教学分教学分科研分科研分51 149 99问：问：1万元奖金如何分配？万元奖金如何分配？74.026.05.05.099.049.001.051.0DMIM98.0505.05.05.0196.001.01经验：教学经验：教学5千元平分，科研千元平分，科研5千元给千元给B67.033.0与经验一致与经验一致与经验有别与经验有别5.05.
30、05.05.0100110019949151区间区间尺度尺度严重不妥严重不妥!5.AHP与与MAUT的争论的争论二者的公理化系统有区别二者的公理化系统有区别 AHP允许排序逆转而允许排序逆转而MAUT不允许不允许.Saaty:From its axioms to its procedures,the AHP has turned out to be historically and theoretically a different and independent theory of decision making from utility theory.MAUT需要偏好排序的传递性而需要偏好
31、排序的传递性而AHP不需要不需要.Because the AHP is not an extension of MAUT,why is it criticized for not adhering to axioms of MAUT?Must all procedures for resolving multiattribute problems follow the rules of MAUT?Are the axioms of MAUT sacrosanct?S.I.Gass,Model World:The Great Debate?MAUT Versus AHP,Interfaces V
32、ol.35,No.4,2005,p308 AHP 新的参考文献新的参考文献T.L.Saaty,L.G.Vargas,Models,Methods,Concepts&Applications of the Analytic Hierarchy Process(Second Edition),Springer Science+Business Media New York,2012T.L.Saaty,Rank from comparisons and from ratingsin the analytic hierarchy/network processes,European Journal of Operational Research 168(2006)557570E.H.Forman,S.I.Gass,The Analytic Hierarchy Process:An Exposition,Operations Research,Vol.49,No.4(2001),469-486谢谢大家！谢谢大家！
