1、2.3.1 概述概述2.3.2 圆平板对称弯曲微分方程圆平板对称弯曲微分方程2.3.3 圆平板中的应力圆平板中的应力2.3.4 承受对称载荷时环板中的应力承受对称载荷时环板中的应力2.3 平板应力分析11、应用：、应用：平封头：常压容器、平封头：常压容器、高压容器；高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。反应器触媒床支承板等。2.3 平板应力分析22、平板的几何特征及平板分类、平板的几何特征及平板分类几何特征几何特征中面
2、是一平面中面是一平面厚度小于其它厚度小于其它方向的尺寸方向的尺寸2.3 平板应力分析分类分类厚板与薄板厚板与薄板大挠度板和小挠度板大挠度板和小挠度板t/b1/5时，时，w/t1/5时，时，按小挠度薄板计算按小挠度薄板计算ozyx图图2-28 薄板薄板33、载荷与内力、载荷与内力载荷载荷平面载荷平面载荷横向载荷横向载荷复合载荷复合载荷（作用于板中面内的载荷）（作用于板中面内的载荷）（垂直于板中面的载荷）（垂直于板中面的载荷）内力内力薄薄 膜膜 力力弯曲内力弯曲内力中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形弯矩、扭矩和横向剪力，弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形且产生弯扭变形2.3 平板应力分析
3、平板应力分析4当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多分析复杂的多本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论2.3 平板应力分析5弹性薄板的小挠度理论建立基本假设弹性薄板的小挠度理论建立基本假设-克希霍夫克希霍夫KirchhoffKirchhoff变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。一法线上，且法线上各点间的距离不
4、变。类同于梁的平面假设类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。力较小，可忽略不计。板弯曲时其中面保持中性，即板弯曲时其中面保持中性，即板中面内板中面内各点无伸缩和剪切各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线变形，只有沿中面法线 的挠度的挠度。w只有横向力载荷只有横向力载荷2.3 平板应力分析6t/2t/2zr+drd dzQrdrtrQr+PMM
5、rMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr2.3 平板应力分析7分析模型分析模型半径半径R，厚度，厚度t的圆平板的圆平板受轴对称载荷受轴对称载荷Pz内力：内力：Mr、M、Q Qr r 三个内力分量三个内力分量在在r、z圆柱坐标系中圆柱坐标系中轴对称性轴对称性几何对称，载荷对称，约束对称，几何对称，载荷对称，约束对称，在在r、z圆柱坐标系中圆柱坐标系中挠度挠度 只是只是 r r 的函数，而与的函数，而与无关。无关。w2.3 平板应力分析8挠度微分方程的建立：挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程基于平衡
6、、几何和物理方程微元体：微元体：用半径为用半径为r和和r+dr的的圆柱面和夹角为圆柱面和夹角为d的的两个径向截面截取板上两个径向截面截取板上一微元体一微元体t/2t/2zr+drd dzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr2.3 平板应力分析9挠度微分方程的建立：挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程基于平衡、几何和物理方程微元体内力微元体内力 t/2t/2zr+drd dzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+
7、dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：M、M横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr微元体外力微元体外力 上表面P=prddr 2.3 平板应力分析10微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即MT=0022sin2drdrrdpdrrdQddrMrdMddrrdrdrdMMzrrrr0rQMrdrdMMrrr（2-54）t/2t/2zr+drd dzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr圆平板在轴对称载荷下的
8、平衡方程2.3 平板应力分析11drdrrn1nzABmm1+ddnn1ABzzm1mza.b.rww取取 径向截面上与径向截面上与中面相距为中面相距为z，半径为半径为 r 与与 两点两点A与与B构成的微段构成的微段drr drAB 2.3 平板应力分析W12板变形后：板变形后：微段的径向应变为微段的径向应变为drdzdrzdzr（第（第2假设）假设）过过A点的周向应变为点的周向应变为rzrrzr222（第（第1假设）假设）drdw作为小挠度作为小挠度，带入以上两式，带入以上两式，应变与挠度关系应变与挠度关系的的几何方程几何方程drdwrzdrwdzr22（2-55）2.3 平板应力分析13根
9、据第根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程物理方程为为rrrEE2211（2-56）2.3 平板应力分析142-55代入2-56式：222222111drwddrdwrEzdrdwrdrwdEzr（2-57）2.3 平板应力分析15通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和和 表示成表示成 的形式。由式（的形式。由式（2-572-57）可见，）可见，和和 沿着厚度（即沿着厚度（即z z方方向）向）均为线性分布，均为线性分布，图图
10、2-312-31中所示为径向应力的分布图。中所示为径向应力的分布图。rMMwr图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系MrMrzzoorrt/2t/2ldzz2.3 平板应力分析16 、的线性分布力系便组成弯矩的线性分布力系便组成弯矩 、。单位长度上的径向弯矩为：单位长度上的径向弯矩为：rrMMzdzMttrr222222221ttdzzdrdwrdrwdEdrdwrdrwdDMr22221drwddrdwrDM（2-58a）（2-58b）23112EtD“抗弯刚度抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关与圆板的几何尺寸及材料性能有关同理2.3 平板应力分析参照38页壳体的抗弯刚度172-5
11、8代入代入2-57，得弯矩和应力的关系式为：得弯矩和应力的关系式为：ztMztMrr331212（2-59）2-58代入平衡方程2-54，得：DQdrdwrdrwdrdrwdr2223311即：受轴对称即：受轴对称 横向载荷横向载荷 圆形薄板小挠度圆形薄板小挠度弯曲微分方程：弯曲微分方程：DQdrdrdrdrdrdr1（2-60）Qr值可依不同载荷情况用静力法求得值可依不同载荷情况用静力法求得2.3 平板应力分析18（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）2.3 平板应力分析19图图2-32 2-32 均布载荷作用时圆板内均布载荷作用时圆板内Q Qr
12、 r的确定的确定rMrQrQrMrOr据图据图2-32，可确定作用在半径为，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：的圆柱截面上的剪力，即：222prrprQr代入代入2-60式中式中均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为Dprdrdwrdrdrdrd21对对r连续两次积连续两次积分分得到挠曲面在半径方向的斜率得到挠曲面在半径方向的斜率rCrCDprdrdw213216（2-61）对对r连续三次积分连续三次积分（得到中面在弯曲后的挠度）（得到中面在弯曲后的挠度）32214ln464CrCrCDprw（2-62）2.3 平板应力分析20C1、C2、C3均为积分常
13、数。均为积分常数。对于圆平板在板中心处（对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数有限值，因而要求积分常数C2 0，于是上述方程改写为：，于是上述方程改写为：321413464216CrCDprwrCDprdrdw（2-63）式中式中C1、C3由边界条件确定。由边界条件确定。2.3 平板应力分析21下面讨论两种典型支承情况下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）两种边界条件）Rpa.b.RzrrRRzp图图2-33 承受均布横向载荷的圆板承受均布横向载荷的圆板 周边固支圆平板周边固支圆平板 周边简支圆平板周边简支圆平板周边周边固支固支圆
14、平板圆平板周边周边简支简支圆平板圆平板2.3 平板应力分析22Rpa.b.RzrrRRzp周边固支圆平板周边固支圆平板在支承处不允许有在支承处不允许有挠度挠度和和转角转角,Rr 0drdw,Rr 0w将上述边界条件代入式（将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：），解得积分常数：,821DpRCDpRC6443222226416rRDpwrRDprdrdw得周边固支平板的斜率和挠度方程代入式（2-63）（2-64）2.3 平板应力分析23 将挠度将挠度w对对r的的一阶导数和二阶导数一阶导数和二阶导数代入式（代入式（2-58），便得固支条），便得固支条件下的周边固支圆平板件下的周边固支圆
15、平板弯矩表达式弯矩表达式：3111631162222rRpMrRpMr（2-65）由此（代入由此（代入2-59）弯曲应力弯曲应力计算试，可得计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：处上、下板面的应力表达式：318322262rRtpMtrr3118322262rRtpMt（2-66）2.3 平板应力分析平板应力分析24周边固支圆平板下表面的应力分布，如图周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)2-34(a)所示。所示。最大应力在板边缘上下表面，即最大应力在板边缘上下表面，即Or+-0.50.6281.00.827rpRt22(1+)384 t23 pR2-32pRt42rRrR0.5
16、1.0rrt823(3+)pR2OpR3(1-)42t2b.a.图图2-34 2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面）圆板的弯曲应力分布（板下表面）22max43tpRr2.3 平板应力分析平板应力分析25将上述边界条件代入式（将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数），解得积分常数C1、C3：得周边简支平得周边简支平板的挠度方程板的挠度方程代入式（代入式（2-63）（2-67）周边简支圆平板周边简支圆平板Rpa.b.RzrrRRzp,Rr,Rr 0w0rM1464222222rRRrRDpw2.3 平板应力分析26弯矩表达式：弯矩表达式：313163162222rRpMrRpMr（2-
17、68）应力表达式应力表达式：31383383222222rRtprRtpr（2-69）2.3 平板应力分析27不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 ，3162maxmaxpRMMr22maxmax833tpRr0r周边简支板下表面的应力分布曲线见图周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。Or+-0.50.6281.00.827rpRt22(1+)384 t23pR2-32pRt42rRrR0.51.0rrt823(3+)pR2OpR3(1-)42t2b.a.图图2-34 2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面）圆板的弯曲应力分布
18、（板下表面）2.3 平板应力分析28a.挠度挠度周边周边固支固支时，最大挠度在板中心时，最大挠度在板中心DpRwf644max周边周边简支简支时，最大挠度在板中心时，最大挠度在板中心DpRws64154max（2-70）（2-71）3.008.43.013.05maxmaxfsww2.3 平板应力分析slidefix29周边周边固支固支圆平板中的圆平板中的最大正应力为支承处最大正应力为支承处的径向应力，其值为的径向应力，其值为22max43tpRfr（2-72）周边周边简支简支圆平板中的圆平板中的最大正应力为板中心处最大正应力为板中心处的径向应力，其值为的径向应力，其值为22max833tpR
19、sr（2-73）3.065.123.3maxmaxfrsr这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。2.3 平板应力分析30挠度反映板的刚度，应力则反映强度挠度反映板的刚度，应力则反映强度周边周边固支固支的圆平板在刚度和强度的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边两方面均优于周边简支简支圆平板圆平板2.3 平板应力分析31tpRtQr43123maxmax最大正应力与最大正应力与 同一量级；同一量级；最大切应力则与最大切应力则与 同一量级。同一量级。因而对于薄板因而对于薄板Rt，板内的正应力远比切应力大。，板内的正应力远比切应力大。2tRt
20、R在均布载荷在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力作用下，圆板柱面上的最大剪力 ，（处）处）近似采用矩形截面梁中最大切应力公式近似采用矩形截面梁中最大切应力公式2maxpRQrRr bhQ23max得到得到2.3 平板应力分析32max和和Wmax与圆平板的材料（与圆平板的材料（E、）、半径、厚度有关）、半径、厚度有关若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都 可减小挠度和降低最大正应力可减小挠度和降低最大正应力工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于 固支条件固支条件增加圆
21、平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法 来提高平板的强度与刚度来提高平板的强度与刚度2.3 平板应力分析33板内为二向应力板内为二向应力 、。平行于中面各层相互之间的正。平行于中面各层相互之间的正 应力应力 及剪力及剪力 引起的切应力引起的切应力 均可予以忽略。均可予以忽略。rzrQ正应力正应力 、沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是纯弯曲应力。大值，是纯弯曲应力。r应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板 周边支承是介于两者之间
22、的形式。周边支承是介于两者之间的形式。薄板结构的最大弯曲应力薄板结构的最大弯曲应力 与与 成正比，而薄壳的最大成正比，而薄壳的最大 拉拉 （压）应力压）应力 与与 成正比，故在相同成正比，故在相同 条件下，条件下，薄板所需厚度比薄壳大。薄板所需厚度比薄壳大。max2tRmaxtRtR2.3 平板应力分析34rMrQrQrMrF图图2-35 圆板中心承受集中载圆板中心承受集中载荷时板中的剪力荷时板中的剪力QrrFQr2挠度微分方程式（挠度微分方程式（2-60）中，剪力）中，剪力rQ可由图可由图2-35中的平衡条件确定：中的平衡条件确定：采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边采用与求解
23、均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值2.3 平板应力分析35M1M1a.R1RFb.ff图2-36 外周边简支内周边承受 均布载荷的圆环板通常的环板仍主要受弯曲，通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。个边界条件。当环板内半径和外半径比较当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）圆环在沿其中心线（
24、通过形心）均布力矩均布力矩M M作用下，矩形截面只作用下，矩形截面只产生微小的转角产生微小的转角 而无其它变而无其它变形，从而在圆环上产生周向应形，从而在圆环上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问力。这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。基本方程求解。2.3 平板应力分析36设圆环的内半径为设圆环的内半径为 、外半径为、外半径为 、形心处的半径为、形心处的半径为 、厚度、厚度t t，沿其中心，沿其中心线（通过形心）均布力矩线（通过形心）均布力矩M M的作用，如图的作用，如图2-372-37所示。文献所示。文献4040给出了导出圆环绕其给出了导出圆环绕其形心的转角形心的转角 和最大应力和最大应力 （在圆环内侧两表面）（在圆环内侧两表面）iRoRxRmaxioxRREtMRln123（2-742-74）ioixRRRtMRln62maxMRiRrtRo图图2-37 圆环转角和应力分析圆环转角和应力分析2.3 平板应力分析37 10、11、1238
