1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五1高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五2第一节第一节 导数概念导数概念 第二章第二章 三、导数的几何意义三、导数的几何意义二、导数的定义二、导数的定义一、引一、引 例例四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、小结与思考题五、小结与思考题（The Concept of Derivative）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五3一、引一、引 例例（Introduction）1.变速直线运动的速
2、度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t0 limttv0()()f tf t0tt212sgtso)(0tf)(tft自由落体运动返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五4曲线)(:xfyC在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx 割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim0 limxxk0()()f xf x0 xx返回返回上页上页下
3、页下页目录目录2022年12月2日星期五5so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 两个问题的两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五6二、导数的定义二、导数的定义（Definition of Derivatives）1
4、.函数在一点的导数与导函数函数在一点的导数与导函数.定义定义1 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00()()f xf xxx0limxyx)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.0 xxy)(0 xf 0limxyx xxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000即返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五7若上述极限不存在,在点 不可导.0 x若0lim,xyx 也称)(xf在
5、0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五8由此可见，()sf tso0t)(0tf)(tft运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线:()C yf x在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(
6、0 xfxf0 xx 0()f t0()fx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五9Cxf)(C 为常数)的导数.解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2 求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx例例1 求函数2.求导数举例求导数举例.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五10对一般幂函数yx(为常数)1()xx 例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(4
7、3x4743x（以后将证明）说明：说明：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五11类似可证得类似可证得:(cos)sinxx 例例3解解:0sin()sin(sin)limhxhxxh 0sin2limcos()22hhhxhcos.x(sin)cos.xx44(sin)cosxxxx2.2即即返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五12例例4解解:haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax()ln.xxaaa即即第第1章第章第9节例节例6特别的，特别的，(e)e.xx 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五1
8、3例例5解：解：0log()loglimaahxhxyh 1(log).lnaxxa.1)(lnxx 0log(1)1limahhxhxx01limlog(1)xhahhxx1.lnxa即即返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五14在点0 x的某个右右 邻域内)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作0()fx(左)(左左)0(x)0(x)(0 xf0 x定义定义2 设函数有定义,存在,3.单侧导数单侧导数.在点0 x)(xfy 可导的充分必要条件充分必要条件注注1：函数,)()(00存在与xf
9、xf且)(0 xf.)(0 xf是注注2：若函数)(xf)(af)(bf与在开区间 内可导,),(ba且都存在,则称)(xf在闭区间 上可导.,ba返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五15xxf)(在 x=0 不可导.例例6 证明函数证证:0()fx0(0)(0)limxfxfx 0limxxx 1因此，函数xxf)(在 x=0 不可导.0()fx0(0)(0)limxfxfx 0limxxx 1 00()()fxfx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五16三、导数的几何意义三、导数的几何意义（Geometric Interpretation）xyo
10、)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为0tan()fx若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直.曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五173xy 哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线131xy平行?写出其切线方程.（由本
11、本例（由本本例8改编）改编）解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x故在原点(0,0)有垂直切线例例7 问曲线xyO令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(1,1)处与直线131xy1111平行的切线方程分别为),1(131xy)1(131xy即023 yx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五18四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系处可导在点xxf)(定理定理处连续在点xxf)(证证:设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在,故0limxy 即0limxyxx 00limlimxxyxx 0所以
12、函数)(xfy 在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x=0 处连续,但不可导.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五19例例81sin,0(),0,0 xxf xxx解：解：1sinx01lim sin0 xxx()f x0 x 1(0)sin00 xyxxx1sin.x0 x()f x0(0)lim()0 xff x在在 处的处的讨论函数讨论函数0 x 是有界函数是有界函数,0 x 在在 处连续性处连续性.但但在在处有处有当当yx时，时，在在1和和1之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在.在在 处不可导处不可
13、导.0 x 连续性与可导性连续性与可导性.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五20内容小结内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：本节通过两个引例抽象出导数的定义：0 xxy)(0 xf 000()()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五212.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：()C )(x)(sin x(cos)x (ln)x 0;1x;cosxsin;x1,x
14、()ln;xxaaa(e)e.xx 3.判断可导性判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：函数的可导性与连续性的关系：可导必连续,但连续不一定可导。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五22课后练习课后练习习习 题题 2-1 1；4；5（偶数题）；（偶数题）；10（2）；）；11思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 有什么区别与联系?与导函数区别:()fx是函数,0()fx是数值;联系:0()x xfx0()fx注意注意:
15、)()(00 xfxf？返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五23._)()(lim000hxfhxfh3.已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx0()fx0k)(0 xf 存在,则2.设4.设)(0 xf 存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解:原式0limhhhxf2)(00()f xhhxf2)(00()f x)(210 xf)(210 xf 0()fx)(2 )(0hhxf0()f x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五240,0,sin)(xxaxxxf,问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在,并求出
16、.)(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0(f此时)(xf 在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x=0 连续.5.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五25解解:因为)(xf 存在,且,12)1()1(lim0 xxffx求).1(f xxffx2)1()1(lim0所以.2)1(fxfxfx2)1()1(lim001(1()(1)lim2()xfxfx 1)1(21f6.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五26)(xf在 0 x处连续,且xxfx)(lim0存在，
17、证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在，则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.xfxfx)0()(lim0)0(f 故7.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五27第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 第二章第二章 三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则一、问题的提出一、问题的提出四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、小结与思考题五、小结与思考题（The Rule of Derivatio
18、n）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五28一、问题的提出一、问题的提出（Introduction）1.导数的定义导数的定义0 xxy)(0 xf 000()()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五292.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：(sin)cosxx（3）(cos)sinxx （4）()ln(0,1)xxaaaaa（5）(e)exx（6）1(log)(0,1)l
19、naxaaxa（7）1(ln)xx（8）()0C （1）()sinxx （2）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五30但是，但是，对于比较复杂的函数，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它直接根据定义求它们的导数往往很困难们的导数往往很困难.例如，例如，求下列函数的极限：为此，为此，我们有必要研究一下函数的求导法则函数的求导法则！返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五31二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x
20、 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五32此法则可推广到任意有限项的情形.设,则vuvu)()1()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.例如例如,证证:（1）()uvwuvw 返回返回上页上页
21、下页下页目录目录2022年12月2日星期五33vuvuvu)(证证:设,)()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu(C为常数)（2）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五34)()(lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2uu vuvvv证证:设)(xf则有hxfhxfxfh)
22、()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2CCvvv(C为常数)（3）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五3532cosxyxax的导数.例例1 求函数答案：答案：23ln2sinxyxaax tanyx和例例2 求函数的导数.cotyx2(tan)secxx 答案：答案：2(cot)cscxx secyx和例例3 求函数的导数.cscyx(sec)sec tanxxx 答案：答案：2(csc)csc c
23、otxx 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五36三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 )(xf定理定理2 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf11返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五37例例4 求反三角函数的导数。1解解:设,arcsin xy 则,sin yx)(arcsinx)(siny
24、ycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy,则返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五38四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则在点 x 可导,lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3)(xgu)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy()g x且d()()dyf u g xx在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有()()f u g xuy)(uf()
25、(0)yuuf uxxxx 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五39 说说 明：明：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五40例如例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.（3）此法则可推广到多个中间变量的情形.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五411 2exy的导数.例例5 求函数答案：答案：221xyx ln|,yx.y求例例6 设提示：提示：分情况讨论。答案：答案：1(ln|)xx由此可见，由此可见，即即|(n)l|f x)
26、ln(f x()()fxf x答案：答案：()()()()ln()().()v xv xyu xv xu xu xu x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五42,)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考:若)(uf 存在,如何求)cos(lnxef的导数?ddfx)cos(ln(xef)cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例例8 设练习练习（习题（习题22 10）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五43五、基本求导法则与导数公式五、基本求导法则与导数公式1.
27、常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxsin x)(tan xx2sec)(cot x2csc x)(secxxxtansec)(cscxcsc cotxx)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五442.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v
28、3.反函数的求导法则反函数的求导法则单调可导,)()(1的反函数为设yfxxfy1()fyy邻在 的某域1()0fy ，且则则 )(xf1)(1yf4.复合函数求导法则复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五45(0)aaxaxayxaaa，.y求例例9 设解解:1aaaxayaaaxln1aaxaaxalnlnxaa答案：答案：1sincos,0,()0,(1),0.xxxxfxxxx=不存在,返回返回上页上页下
29、页下页目录目录2022年12月2日星期五46内容小结内容小结1.掌握函数求导的法则掌握函数求导的法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意注意:1),)(vuuvvuvu2)搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.2.记住一些基本初等函数的导数公式记住一些基本初等函数的导数公式课后练习课后练习习习 题题 2-2 1（偶数题）；（偶数题）；5；6返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五47思考与练习思考与练习41143x1.xx1431x对吗对吗?1423 114xx.)2(,)1
30、(xbbayxay2.求下列函数的导数答案：答案：11bba byx （）2lnxbbyaa（）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五48,)()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时,下列做法是否正确?在求处连续,3.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五49),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解:方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2
31、)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx)99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f4.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五50考研真题考研真题1tan21111etanseccosxyxxxx （1990 III）设1tan1esinxyx答案：答案：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五51第三节第三节 高阶导数高阶导数 第二章第二章 三、一些常见函数的高阶导数公式三、一些常见函数的高阶导数公式二、高阶导数的定义二、高阶导数的定义一、基本求导法则与导数公式复习一、基本求导法则与导数公式复习四
32、、四、高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则（Derivative of Higher Order ）五、五、本章小结与思考题本章小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五52一、基本求导法则与导数公式复习一、基本求导法则与导数公式复习1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxsin x)(tan xx2sec)(cot x2csc x)(secxxxtansec)(cscxcsc cotxx)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccos
33、x211x)(arctan x211x)cot(arcx211x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五532.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.反函数的求导法则反函数的求导法则单调可导,)()(1的反函数为设yfxxfy1()fyy邻在 的某域1()0fy ，且则则 )(xf1)(1yf4.复合函数求导法则复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数返
34、回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五54求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2(x112xx例例1（习题（习题22 7（9）例例2设求,1111ln411arctan21222xxxy.y（补充题（补充题）（解（解答见下页）答见下页）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五55求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解:y22)1(1121x21xx)11ln()11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx例例2 设返回返回上页上页下页下页目
35、录目录2022年12月2日星期五56求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan)(2xy)(2sin xe2sinxe2cosx2x21x2121x2xx21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导例例3返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五57二、高阶导数的定义二、高阶导数的定义（Definition of Higher Derivatives）)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即()as 引例引例：变速直线运动返回返回上页上页下页下页目录目录202
36、2年12月2日星期五58若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即()yy 或22ddd()dddyyxxx类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称定义定义 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五59三、一些常见函数的高阶导数的求法三、一些常见函数的高阶导数的求法例例1 设设 求求 解：解：1.直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.,yaxb,0ya y
37、xye,xye 例例2 求求 的的n 阶导数阶导数.,xye().nxye解：解：.y返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五60解解11yx 21(1)yx 32!(1)yx(4)43!(1)yx()1(1)!(1)(1,0!1)(1)nnnnynx 2.数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数例例3 设设 求求ln(1),yx().ny返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五61,sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,()(sin)sin(
38、nxx类似可证:()(cos)cos(nxx2)n2)n例例4 设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五62例例5 设设 求求 (),yxR解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0().ny若若 为自然数为自然数 ，则，则 n返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五63bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数,),(ba().nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacos
39、sinxae22sin()abbx)arctan(ab22bay)sin(bxaexa()222()nnyabxaeba22)arctan(ab22sin(2)abbxsin()axebxn)cos(bxbexa例例6 设（补充题）（补充题）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五64都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(四、高阶导数的运算法则四、高阶导数的运算法则莱布尼
40、兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五65vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五66,22xexy 求.)20(y解解:设22,xuevx则xkkeu2)(2,2xv,2 v()0kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022x xe2192202x!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k例例7返回返回上页上页下页下页目录目录2022年
41、12月2日星期五67内容小结内容小结1.复习基本求导法则与导数公式复习基本求导法则与导数公式(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式2.高阶导数的求法高阶导数的求法()1nax1!(1)()nnnax()1nax1!()nnax如,(4)利用莱布尼兹公式返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五68课后练习课后练习习习 题题 2-3 1（2）（）（6）；）；3；6（4）思考与练习思考与练习1.如何求下列函数的 n 阶导数?xy121()1!2(1)(1)nnnnyxxxy11)1(解解:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五692
42、312xxy（2）提示提示:1121yxx()1111(1)!(2)(1)nnnnynxx xxxy1112()1!,3(1)nnnynx3(3)1xyx解解:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五70,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x()fx212,x26,x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0()fx但是,12)0(f,24)0(f(0)f 不存在._n2又0 x24,x0 x12,x阶数2.设返回返回上页上页下页
43、下页目录目录2022年12月2日星期五711!()nnf x,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf)(xf16cos)1(2xxn)()(xfn16cos)1(2xxn提示提示:各项均含因子(x 2)(2)nx!n22!n(2)已知)(xf任意阶可导,且2n时)()(xfn提示提示:2()(),fxf x则当)(xf)()(2xfxf3)(!2xf )(xf)()(3!22xfxf4)(!3xf3.（填空题）（1）设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五72yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd221yxddyxdd2)(
44、yy y13)(yy 同样可求33ddxy4.试从（习题（习题23 4）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五73考研真题考研真题（2000.II）求函数2()ln(1)f xxx在x0处的n阶导数()(0)(3).nfn 提示：提示：利用莱布尼兹公式1()3(1)!(0)(1)(1)(3)!2nnnnfn nnn 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五74第四节第四节 隐函数隐函数及及由参数方程由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数 第二章第二章 三、相关变化率三、相关变化率二、二、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、
45、隐函数的导数一、隐函数的导数四、小结与思考题四、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五75一、隐函数的导数一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）31xy若由方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,由由)(xfy 表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化.函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddy
46、xFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五7603275xxyy)(xyy 在在 x=0 处的导数处的导数.0ddxxy解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x=0 时时 y=0,故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数例例1 求由方程求由方程返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五77191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导
47、求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2(x即即03843 yx例例2 求椭圆求椭圆返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五78)0(sinxxyx的导数的导数.解解:两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对两边对 x 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx例例3 求求返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五79 1)对幂指函数对幂指函数vuy 可用可用对数求导法对数求导法求导求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuu
48、vuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五80例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五81)4)(3()2)(1(xxxxy(ln)uuu 21lny对对 x 求导求导21yy
49、)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x又如又如,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五82二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(,)(tt可导可导,且且,0)()(22tt则则()0t时时,有有ddyxxttyddddtxtydd1dd()(
50、)tt关系关系,()()tt()0t时时,有有ddxyyttxddddtytxdd1dd(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数)返回返回上页上页下页下页目录目录2022年12月2日星期五83)(,)(tt二阶可导二阶可导,22ddyx)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt()t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxytddxt)()(ddttxy)(tx且且,0)(t则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数.利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得若上述参数方程中若上述参数方程中返回返回上页上页下页下页目录目录2022年
