1、本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和和 Stokes theorem，以及二阶微分运，以及二阶微分运算和算符算和算符 运算的重要公式。运算的重要公式。0-1 矢量运算矢量运算1、两矢量标量积与矢量积、两矢量标量积与矢量积xxyyzza ba ba ba b()()()yzzyzxxzxyyxxyzxyzaba ba b ia ba bja ba b kijkaaabbb2、
2、混合积、混合积()()()xyzxyzxyzaaaabcbcacabbbbccc3、三重矢积、三重矢积满足旋转定律满足旋转定律abc()()()abca c ba b c()()abcbca不满足交换定律不满足交换定律4、矢量求导法则、矢量求导法则()(1)d f ad ad ffad td td t()(2)d ad bd a bbad td td t若若2()()22d ad ad a bd aabaad td td td t则有则有()(3)d ad bd abbad td td t0-2 场论分析场论分析一、标量场的梯度，一、标量场的梯度，算符算符1、场的概念场的概念 场是用空间位置函
3、数来表征的。在物理学中，经常场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否
4、场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。则，称为不稳定场。2、方向导数方向导数 方向导数是标量函数方向导数是标量函数 在一点在一点P P处沿任意方向处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取的方向对距离的变化率，它的数值与所取的方向 有关，有关，一般来说，在不同的方向上一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，为场中的任意方向，P P1 1是这个方向线上给定的一点，是这个方向线上给定的一点，P P2 2为同一线上邻近的一为同一线上邻近的一点。点。)(xlPllP1P2l 为为p p2
5、2和和p p1 1之间的距离，从之间的距离，从p p1 1沿沿 到到p p2 2标量函数标量函数 的增量为的增量为若下列极限若下列极限存在，则该极限值记作存在，则该极限值记作 ，称之为标量场，称之为标量场 在在p p1 1处沿处沿 的方向导数。的方向导数。3 3、梯度、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过该点沿某一确定方向取得该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，在该点的最大方向导数，ll)()(12pplpplll)()(limlim1200)(xlPl
6、 l)(x)(x)(x则可引进梯度概念。记作则可引进梯度概念。记作称之为称之为 在该点的梯度（在该点的梯度（grad 是是gradient 缩写），缩写），它是一个矢量，其大小它是一个矢量，其大小 ，其方，其方向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即即方向。方向。nngrad)(xmax|grad|()lnn4.4.方向导数与梯度的关系：方向导数与梯度的关系：p1p0p2nl等值面 等值面1c2c 是等值面是等值面 上上p p1 1点法线点法线方向单位矢量。它指向方向单位矢量。它指向 增加增加的方向。的方向。表示过表示过p p1 1点的任一点的任一方
7、向。方向。n1cl显见，显见，.cos,0 ,001210121pppppppp时当所以所以101101121012010100()()lim()()coslimcoslimcosp pPp ppnppplp pppp pnn 即即nlcosp1p0p2nl等值面 等值面1c2c该式表明：该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。5、算符（哈密顿算符）算符（哈密顿算符）算符既具有微分
8、性质又具有矢量性质。在任意方算符既具有微分性质又具有矢量性质。在任意方向向 上移动线元距离上移动线元距离dl，的增量的增量 称为方向微分，即称为方向微分，即llnnnlgradcos)(xldddxdydzdldlxyzl 读作读作“del”，或，或“nabla”在直角坐标系中的表示在直角坐标系中的表示zkyjxi二二 矢量场的散度矢量场的散度 高斯定理高斯定理1、通量通量一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过方向通过 的流量是的流量是dN，而，而dN是以是以ds为底，以为底，以v cos为高的斜柱体的体为高的斜柱体的体积，即积，即vsd
9、sdvdsvdNcos()()()()()ijkdxidyjdzkxyzijkdxidyjdzkdxidyjdzkxyz 称为矢量称为矢量 通过面元通过面元 的通量。的通量。对于有向曲面对于有向曲面s，总可以将，总可以将s分成许多足分成许多足够小的面元够小的面元 ，于是通过曲面，于是通过曲面s的通量的通量N为为vsdsddsvn每一面元通量之和每一面元通量之和ssdvN对于闭合曲面对于闭合曲面s，通量，通量N为为ssdvN2、散度散度设封闭曲面设封闭曲面s s 所包围的体积为所包围的体积为 ，则，则 sVsdA/V就是矢量场就是矢量场 在在 中单位体积的平均通量，或者平均发中单位体积的平均通量
10、，或者平均发散量。当闭合曲面散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积及其所包围的体积 向其内某点向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作)(xAVV)(xMVsdAAAsV0limdiv称为矢量场称为矢量场 在该点的散度在该点的散度(div是是divergence的缩写的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源；，表示该点有散发通量的正源；当当div ，表示该点有吸收通量的负源；当，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为
11、无源场。表示该点为无源场。)(xA0A0A0A3、高斯定理高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。积分，反之亦然。VsdVAsdA4、散度的运算法则、散度的运算法则：baba)(aaa)(dFdF)(例例1：求：求 。其中。其中 ，为常矢量为常矢量解：解：)(cr222zyxrkcjcicc321123312123()()()()()()1rcijkrc irc jrc kxyzrcrcrcxyzcccc rxyzrrrr 例例2：证明：证明 ara)(其中其中 kzj yi xrzayaxaa 321ak
12、ajaiazrayraxrara 321321)(rcrcrcrcrcr)(或：三、三、矢量场的旋度矢量场的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理1、矢量场矢量场 的环流的环流 在数学上，将矢量场在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线沿一条有向闭合曲线L L（即取（即取定了正方向的闭合曲线）的线积分定了正方向的闭合曲线）的线积分)(xALl dAc称为称为 沿该曲线沿该曲线L L的循环量或的循环量或环环流。流。A2 2、旋度旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线以闭合曲线L为界的面积为界的面积 逐渐缩小，逐渐缩小，也将逐渐减小，也将逐渐减小，一
13、般说来，这两者的比值有一极限值，记作一般说来，这两者的比值有一极限值，记作SLl dAsldALs0lim即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常，且通常L的正方向与的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义规定要构成右手螺旋法则，为此定义nn0limLsA dlrot AAns 称为矢量场称为矢量场 的旋度（的旋度（rot是是rotation缩写）。缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附
14、近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处向上环流强弱的程度，如果场中处处 rot 称为无旋场。称为无旋场。)(xA0A在直角坐标系中表示为在直角坐标系中表示为：kyaxajxazaizayaaaazyxkjia)()()(1231233213、斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为对该闭它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为对该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。()LSA dlAds4 4、旋度的运算法则、旋度的运算法则 baba )()1(aaa )()2(baababbaba)()()()
15、()()3(物理意义：所有面积元边线上的环流之和等于整个曲面的边线物理意义：所有面积元边线上的环流之和等于整个曲面的边线 L上的环流。上的环流。dFdF )()4(例 1：)(c求,c为常矢量。),(zyx其中()cccc 解：321ccczyxkjic或kycxcjxczcizcyc)()()()()()(123123kcycxjcxcziczcy)()()(123123cccczyxkji3210-3 0-3 正交曲线坐标系及正交曲线坐标系及 运算的表达式运算的表达式一、柱坐标一、柱坐标()zr,基本单位矢量为基本单位矢量为 zreee,只有只有 不随位置变化，不随位置变化，随位置都要发生
16、变化随位置都要发生变化zeeer,1.梯度梯度 在在 方向上的方向导数为方向上的方向导数为 ;在在 方向上的方向上的方向导数为方向导数为 ;在在 方向上的方向导数为方向上的方向导数为zrzereerzdrdle dre dze rdrdddzzdrrd而而)1(1zeerreezererzrzr(,)rz即柱坐标系中算符的表达式为：即柱坐标系中算符的表达式为：zererezr12.散度散度：zaarrarrazr1)(13.单位矢量的微商单位矢量的微商 0rer0re0rez0zer0ze0zezeerree0zezxyz为常数平面r为常数平面 为常数平面zerere4.旋度：旋度：1rzrz
17、eeearrzaaa5.二阶微分二阶微分 2222221)(1)(zrrrrr在在 4，5 中都应用到了单位矢量的微商结果中都应用到了单位矢量的微商结果二、球坐标二、球坐标),(r),(r1.梯度梯度 sinrdrdle dre rde rd rdddrrdrr1r)sin11(sin11rerereerererrrsin11rererer2.单位矢量的微商单位矢量的微商 0rererereer0ereesineercossineeercosee22111()(sin)sinsinraar aarrrr4.二阶微分运算二阶微分运算 3.散度散度 22222222sin1)(sinsin1)(1
18、rrrrrr5.旋度旋度 2sin1sinsinrrererearrar ara0-4 0-4 二阶微分算符二阶微分算符 格林定理格林定理1、一阶微分运算一阶微分运算将算符将算符 直接作用于标量场和矢量场，则分别得到梯度、散直接作用于标量场和矢量场，则分别得到梯度、散度和旋度，即度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算这些都叫一阶微分运算。,AA举例：a)a)设设 为源点为源点 与场点与场点 之间的距离，之间的距离，r 的方向规定为由源点指向场点，试分别对的方向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求场点和源点求r 的梯度。的梯度。222()()()rxxyyzzxx第一步：源点固定，第一步：源点
19、固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有表示，则有zreyrexrerzyx场点（观察点）场点（观察点）源点源点坐标原点坐标原点oxxrrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222而而同理可得同理可得：(),()ryyyrrzzzr故得到：故得到：rzyxzyxzyxerrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrer)()()(1)()()(第二步：场点固定，第二步：场点固定，r 是源点的函数，对源点求梯度用是源点的函数，对源点求梯度用 表表示。示。而rzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()1()
20、(2)()()(2121222rzzzrryyyr)(,)(同理可得同理可得：所以得到：所以得到：rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyx)()()(b)设设u是空间坐标是空间坐标 x,y,z 的函数，证明的函数，证明ududfuf)(证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有则，有证毕 )()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyxc)设设求求解：解：而而同理可得同理可得xxzz
21、eyyexxerzyx)()()(rr和()()xyzx xy yz zyxzreeee re re rxyzrrrxyz1)(xxxxrx故有 .1zryrzy那么那么这里这里同理可得同理可得故有故有 .3111zryrxrrzyx zryrxrrzyx1)(xxxxrx .1zryrzy .3111zryrxrrzyx由此可见：由此可见：d)设设u是空间坐标是空间坐标 x,y,z 的函数，证明的函数，证明证：证：rrduAduuA)(.)()()()()()()()()(证毕duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyx e)设设u是空
22、间坐标是空间坐标 x,y,z 的函数，证明的函数，证明证：证：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()()()(2、二阶微分运算二阶微分运算 将算符将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设微分运算，设 为标量场，为标量场，为矢量场。为矢量场。.)()()()()()(证毕duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x,)(xg)
23、(xf并假设并假设 的分量具有所需要阶的连续微商，的分量具有所需要阶的连续微商，则不难得到：则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示成一个标量场的梯度）无旋场可表示成一个标量场的梯度 （4）无散场可表示成一个矢量场的旋度）无散场可表示成一个矢量场的旋度fg ,和0)(0)(ggg则若 ,0fgg则若 ,0（5）标量场的梯度的散度为）标量场的梯度的散度为（6）矢量场的旋度的旋度为）矢量场的旋度的旋度为3、运算乘积运算乘积 （1）)()()()(2222222zyxzzyyxxggg2)()(0)()
24、xyzeeexyzxyz 2222220 xyzeeey zz yz xx zx yy x （2）0)(g0)(222222yzgxzgxzgzygzxgyxgygxgzxgzgyzgygxgggzyxeeezeyexegxyzxyzxyzxyzzyxzyxzyx（3）)()()()()()()()()()(zeyexezeyexezzeyyexxezeyexezyxzyxzyxzyx（4）（5）ggg)()()()()()ggggggggggg ggg)()()()()()ggggggggggg (6)根据常矢运算法则根据常矢运算法则则有：则有：)()()(fggffg)()()()()(f
25、gfgfgfgfgfg)()()(bacacbcba)()()()()()()(fgfggffggfgffgfffgg故有：故有：(7)根据常矢运算法则：根据常矢运算法则：则有则有fgfggfgffg)()()()()()()()(fggffg)()()()()(fgfgfgfgfgfg()()()abca c ba b c fggfgffgfggfgffgfggffgffggfg)()()()()()()()()()()(（8）因为因为故有故有从而得到：从而得到：fgfggfgffg)()()()()(fgfgfgfggfgfgfgffffggg)()()()()()()()()()()()
26、(gfgffggfgffgfgfggfgffgfggfgfgffg)()()()()()()()()(4、格林定理、格林定理(Greens theorem)由由Gausss theorem得到得到:将上式将上式 交换位置，交换位置，得到得到以上两式相减，得到以上两式相减，得到svvdvdvsd)()(2与svdvsdI)()(2定理svdvsdII)()()(22定理A令：svdvAsdA)(A 令：1.1 电荷和电场 1.2 1.2 电流和磁场 1.3 1.3 麦克斯韦方程组 1.4 1.4 介质的电磁性质 1.5 1.5 电磁场边值关系 1.6 1.6 电磁场的能量和能流二、场论知识二、场
27、论知识数学准备知识复习数学准备知识复习一、矢量分析一、矢量分析332211babababa321321bbbaaakjiba321321321)()()(cccbbbaaabacacbcbaacbcbabcacba)()()()(ijkxyzzayaxaa321kyaxajxazaizayaaaazyxkjia)()()(123123321sdal daSL)(dvasdavs)(zererezr1zkyjxi11sinreeerrr arararrrarsin1)sin(sin1)(122zaarrarrazr1)(1zrzraraazreerera1sinsinsin12raraarree
28、rerarr0)(0)(g恒等式恒等式1.1电荷和电场电荷和电场 一、库仑定律设真空中有二静止点电荷设真空中有二静止点电荷Q、Q，库仑由实验发现，库仑由实验发现 Q 对于对于Q 有一作用力有一作用力F 为为:rF3041rQQ (1.1-1)其中其中 mF10854.8120是真空介电常数；是真空介电常数；r 为由为由Q到到Q的矢量。的矢量。rE3041rQ(1.1-2)它是一实验定律，但可以有两种截然不同的物理解释。一种认它是一实验定律，但可以有两种截然不同的物理解释。一种认为为Q超越空间距离作用于超越空间距离作用于Q，这种观点称为超距作用或远距作，这种观点称为超距作用或远距作用观点。另一观
29、点认为用观点。另一观点认为Q 在其周围空间产生或激发电场在其周围空间产生或激发电场:而而Q 在电场在电场E中所受的力中所受的力F为为:后一观点称为近距作用观点，认为静止电荷在其周围空间激发后一观点称为近距作用观点，认为静止电荷在其周围空间激发一电场一电场E，另一静止电荷，另一静止电荷Q受到该电场受到该电场E的作用，因此，电荷与的作用，因此，电荷与EFQ(1.1-3)电荷之间是通过电场作用的。电荷之间是通过电场作用的。实践证明通过场来传递相互作实践证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。用的观点是正确的。由实验知道，电场具有迭加性，由实验知道，电场具有迭加性，(1.1-4)设第设第 i 个电荷个
30、电荷 Qi 到到P点的距离为点的距离为ri，则，则P点上的总电场强度点上的总电场强度E为为若电荷连续分布于区域若电荷连续分布于区域V内，如图内，如图11所示，则所示，则P点上的电场点上的电场强度强度E为为 其中其中 是是dV所在点的电荷密度，所在点的电荷密度，r是由源点是由源点dV到场点到场点P的矢量。的矢量。ni21EEEEEiirQ304irE(1.1-5)30()()4xxdVrrE(1.1-6)二、高斯二、高斯(Gauss)定理和电场散度定理和电场散度设设S表示包围着电荷表示包围着电荷Q 的一个闭合曲面，的一个闭合曲面，dS为为S上的定向面元，上的定向面元，以外法线方向为正向，如图以外
31、法线方向为正向，如图1-2所示。通过闭合曲面所示。通过闭合曲面S的电场的电场E的通量定义为面积分的通量定义为面积分 A 高斯定理高斯定理 高斯定理：电场高斯定理：电场E通过任一闭合曲面通过任一闭合曲面S 的总通量等于的总通量等于S 内的总内的总电荷量除以电荷量除以 ，而与，而与S 外的电荷无关。用公式表示为外的电荷无关。用公式表示为 式中，式中，Q 为闭合曲面内的总电荷。为闭合曲面内的总电荷。SdES00SQdES(1.1-7)(1)若闭合曲面内有多个电荷若闭合曲面内有多个电荷Qi，则，则E对闭合曲面对闭合曲面S的通量为的通量为 （Qi 在在S内）内）(2)如果电荷连续分布于空间中，则如果电荷
32、连续分布于空间中，则E对闭合曲面对闭合曲面S的通量为的通量为 式中式中V为为S所包围的体积。上式右边是所包围的体积。上式右边是V内的总电荷量，与内的总电荷量，与V外外的电荷分布无关。根据矢量场的积分变换公式的电荷分布无关。根据矢量场的积分变换公式(高斯公式高斯公式)不难得到，不难得到，(1-8)式可以表示为微分形式式可以表示为微分形式 上式表明上式表明:(1)电荷是电场的源，电力线从正电荷发出而终止于负电荷。若电荷是电场的源，电力线从正电荷发出而终止于负电荷。若在某处在某处 ，则在该点处，则在该点处 ,表示在该处既没有电力表示在该处既没有电力线发出，也没有电力线终止，但是可以有电力线连续通过该
33、处。线发出，也没有电力线终止，但是可以有电力线连续通过该处。01iSidQES01SvddVES(1.1-8)SVddVESE0 E(1.1-9)0)(x0 E(2)(1-9)式称为高斯定理的微分形式。仅适用于电荷连续分式称为高斯定理的微分形式。仅适用于电荷连续分 布情况。布情况。(3)空间某点处电场的散度只和该点上的电荷密度有关，而空间某点处电场的散度只和该点上的电荷密度有关，而与其他点的电荷分布无关。与其他点的电荷分布无关。(4)在个别教材中（如北大教材），此定理又称为奥斯特洛在个别教材中（如北大教材），此定理又称为奥斯特洛拉德斯基拉德斯基高斯定理，简称奥高斯定理，简称奥高定理。高定理。B
34、 高斯定理高斯定理(1-8)式的证明式的证明*试作试作E对任意闭合曲面的积分，即求电通量对任意闭合曲面的积分，即求电通量 由由(1-6)式可知式可知 因因 只与源点的位置有关，只与源点的位置有关，dS只与场点的位置有关，而只与场点的位置有关，而r则和源点、场点的位置都有关系，上式可交换积分次序如则和源点、场点的位置都有关系，上式可交换积分次序如下：下：是是dS在矢径在矢径r方向的投影，方向的投影，刚好是刚好是dS对对 点所张的立体角点所张的立体角 如图如图1-2所示。所示。SdSE034ssvddVdr ESrSdV034svsdddVr rESSSrdr )(Srdr)(3dVd2dSdr
35、若若dV在闭曲面内，则积分在闭曲面内，则积分 因此因此 所以所以 若若dV在闭曲面外，则积分在闭曲面外，则积分 C 静电场的旋度静电场的旋度 根据电场强度的表示式（根据电场强度的表示式（1-6），静电场的旋度），静电场的旋度交换积分运算和微分运算的次序，并利用交换积分运算和微分运算的次序，并利用 求得求得 此式表明静电场是无旋的。但在一般情况下变化电场是有旋此式表明静电场是无旋的。但在一般情况下变化电场是有旋的。根据斯托克斯（的。根据斯托克斯（Stokes），可得电场），可得电场E对任一闭合回路对任一闭合回路L的环量的环量 即，静电场即，静电场E对任一回路的环量恒为零。对任一回路的环量恒为零。
36、34SdrrS01SVddVES0 EVdVr304rE03rr0E(1.1-10)0)(SLddSElE30SdrrS0E解：与带电球同心，作半径为解：与带电球同心，作半径为r 的球面，由电荷分布的球对的球面，由电荷分布的球对称性，球面上各点电场强度有相同的值，并且都沿径向。当称性，球面上各点电场强度有相同的值，并且都沿径向。当 时，球面所围的总电荷为时，球面所围的总电荷为 Q.而而 时，球内电荷总时，球内电荷总量是量是由高斯定理得由高斯定理得 因此得因此得 ar ar 33333343434aQraQrr02330()4()SQradr EQrraaES3030()4()4QrarQraa
37、rEr例一例一:电荷电荷Q 均匀分布在半径为均匀分布在半径为a 的球内，求空间各点的电的球内，求空间各点的电场强度，并由此得到的电场强度计算电场的散度和旋度。场强度，并由此得到的电场强度计算电场的散度和旋度。现在计算电场的散度和旋度现在计算电场的散度和旋度 1.2电流和磁场电流和磁场 一、电荷守恒定律一、电荷守恒定律 A、电流密度、电流密度 电流是由电荷的定向运动形成的。当电荷在细导线中运动电流是由电荷的定向运动形成的。当电荷在细导线中运动时，电流的方向即是导线的取向。电流的大小用电流强度时，电流的方向即是导线的取向。电流的大小用电流强度I描描述，它等于单位时间内通过导线横截面的电量：述，它等
38、于单位时间内通过导线横截面的电量：如图如图14，设，设dS为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流方向有夹角方向有夹角。定义电流密度。定义电流密度J，它的方向沿着该点上的电流，它的方向沿着该点上的电流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，即方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，即 tqI(1.2-1)图14dSdIJ或 SJnJddSJdSdI通过任一曲面通过任一曲面S的总电流强度的总电流强度I为为 SIdJS(1.2-2)如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为，平
39、均速度为，平均速度为v，则电流密度为，则电流密度为如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为i，平均速度为，平均速度为vi，有有 电荷流动形成电流，但电荷有正、负两种，正、负电荷的速度电荷流动形成电流，但电荷有正、负两种，正、负电荷的速度可以不同，因此电荷密度和电流密度可表为可以不同，因此电荷密度和电流密度可表为 可见，有可见，有 ,而而 的情况。导线中的电流就是这样。宏的情况。导线中的电流就是这样。宏观地说，导线内部原子核的正电荷与电子的负电荷处处抵消，观地说，导线内部原子核的正电荷与电子的负电荷处处抵消，但自由电子的集体运动可形成电流。但自由电子的集体运动可形
40、成电流。Jv(1.2-3)iiivJ(1.2-4)vvJ00JB、电流密度与电荷密度的关系、电流密度与电荷密度的关系电荷守恒定律是自然界的一条基本定律，是从大量实践中总电荷守恒定律是自然界的一条基本定律，是从大量实践中总结出来的。它可以表述为：电荷既不能创生，也不能消灭，结出来的。它可以表述为：电荷既不能创生，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从这一部分空间转只能从一个物体转移到另一个物体，或者从这一部分空间转移到另一部分空间。也可以表述为：在孤立系统内发生的任移到另一部分空间。也可以表述为：在孤立系统内发生的任何过程中，正负电荷的代数和保持恒定。考虑空间中一确定何过程中，正负电
41、荷的代数和保持恒定。考虑空间中一确定区域区域V，其边界为闭合曲面，其边界为闭合曲面S。当物质运动时，可能有电荷进。当物质运动时，可能有电荷进入或流出该区域。但是由于电荷不可能产生或消灭，如果有入或流出该区域。但是由于电荷不可能产生或消灭，如果有电荷从该区域流出的话，区域电荷从该区域流出的话，区域V内的电荷必然减小。因此，通内的电荷必然减小。因此，通过界面流出的总电流应该等于过界面流出的总电流应该等于V内的电荷减小率内的电荷减小率这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理把面积分变为这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理把面积分变为体积分体积分 即得微分形式即得微分形式 上式称为电流连续性方程，
42、它是电荷守恒定律的微分形式。上式称为电流连续性方程，它是电荷守恒定律的微分形式。VSdVtdSJ(1.2-5)dVdVSJSJ0tJ(1.2-6)C、电荷守恒定律、电荷守恒定律以上公式是对任意变化电流成立的。在恒定电流情况下，一以上公式是对任意变化电流成立的。在恒定电流情况下，一切物理量不随时间而变，因而切物理量不随时间而变，因而 ,因此由因此由(1.2-6)式得式得 上式表明，稳恒电流分布是无源的，其流线必为闭上式表明，稳恒电流分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点。合曲线，没有发源点和终止点。导电物质中欧姆定律可以表示为导电物质中欧姆定律可以表示为 式中式中 为电导率。为电导
43、率。二、毕奥萨伐尔（二、毕奥萨伐尔（Biot-Savart）定律）定律 A、电流间相互作用的安培定律、电流间相互作用的安培定律 实验证明两个电流之间存在着作用力。安培（实验证明两个电流之间存在着作用力。安培（Ampere）分）分析了大量的实验资料以后，总结出了真空中两个稳恒电流元析了大量的实验资料以后，总结出了真空中两个稳恒电流元之间作用力的公式。设真空中有二回路，其中各有稳定电流之间作用力的公式。设真空中有二回路，其中各有稳定电流I1，I2 流过。安培等人由大量实验分析证明：回路流过。安培等人由大量实验分析证明：回路1中的线元中的线元dl1对回路对回路2中的线元中的线元dl2有作用力有作用力
44、 式中，式中，r是由线电流元是由线电流元I1dl1到到I2dl2的矢量。的矢量。0t0 JEJ)(4123210rllFddrIId(1.2-8)mHmH/1056637.12/104770B、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律线电流元线电流元I1dl1激发一磁场，这磁场在激发一磁场，这磁场在I2dl2点的值为点的值为而线电流元而线电流元I2dl2受该点磁场的作用力为受该点磁场的作用力为 上式表示磁场对电流元的作用力，也可以看作磁场的定义。上式表示磁场对电流元的作用力，也可以看作磁场的定义。B为磁感应强度。如果考虑整个回路为磁感应强度。如果考虑整个回路1所激发的磁场，则磁感所激发的磁场，则磁感应强度
45、表示为应强度表示为式中，式中，r 是由是由dl 所在点所在点(源点源点)到观察点到观察点(场点场点)的矢量。一般来的矢量。一般来说，电流可在空间作图说，电流可在空间作图1-5连续分布，存在电流密度连续分布，存在电流密度J。在电。在电流场中沿电流线作一小柱形，如图流场中沿电流线作一小柱形，如图1-5，这一小柱形可看为，这一小柱形可看为一个线电流元。设柱形的长为一个线电流元。设柱形的长为dl，截面积为，截面积为dS ,则则 (1.2-9)0 10 1113244IIdddrrlrlrBBlFddId22(1.2-10)304rdIrlB(1.2-11)IdJdS ddS dldVllJJ图15其中
46、，其中，dV 为小柱形的体积。于是，为小柱形的体积。于是，(1.2-11)式可以推广成式可以推广成式中，式中，J(x)为为 x点上的电流密度，点上的电流密度，r 为由源点为由源点 x 到观察点到观察点 x的距离。毕奥萨伐尔定律给出的是稳恒电流激发磁场的的距离。毕奥萨伐尔定律给出的是稳恒电流激发磁场的规律。规律。三、磁场的散度三、磁场的散度 因因 由毕奥萨伐尔定律由毕奥萨伐尔定律(1.2-12)式得式得 注意：算符注意：算符 是对是对x 的微分算符，与的微分算符，与x 无关。无关。并注意到并注意到 只依赖于源点坐标只依赖于源点坐标(x)，于是于是 (1.2-12)(1.2-13)Vdr30)(4
47、)(rxJxB3/)1(rrrVdrVdr1)(4)(4)(030 xJrxJxBVd111()()()rrr J xJ xJ xAxJBVdr)(40()0J x式中令式中令A称为磁场的矢势。由称为磁场的矢势。由(1.2-3)式以及矢量分析二阶微分得式以及矢量分析二阶微分得 根据矢量积分公式根据矢量积分公式 可得可得 此式是稳恒磁场此式是稳恒磁场B无源性的积分形式，它表明无源性的积分形式，它表明B对任何闭合曲对任何闭合曲面的总通量为零。面的总通量为零。四、磁场的环量和旋度四、磁场的环量和旋度 在电磁学中我们知道，磁场沿闭合曲线的环量与通过闭在电磁学中我们知道，磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲
48、线所围曲面的电流合曲线所围曲面的电流 I 成正比成正比 式中式中L为任一闭合曲线，为任一闭合曲线，I为通过为通过L所围曲面的总电流，不通所围曲面的总电流，不通过过L所围曲面的电流对环量没有贡献。此式又称为安培环路所围曲面的电流对环量没有贡献。此式又称为安培环路定律。定律。04dVArJ x()(1.2-14)0 BSVddVASA0SdBS(1.2-15)0LB dlI(1.2-16)0A对于连续电流分布对于连续电流分布J，在计算磁场沿回路，在计算磁场沿回路L的环量时，只需的环量时，只需考虑通过以考虑通过以L为边界的曲面为边界的曲面S的电流，在的电流，在S以外流过的电流没以外流过的电流没有贡献
49、。因此，安培环路定律又可表示为有贡献。因此，安培环路定律又可表示为 根据斯脱克斯公式可知根据斯脱克斯公式可知 由于由于dS的任意性得的任意性得 上式是稳恒磁场的一个基本微分方程。利用毕奥萨伐尔上式是稳恒磁场的一个基本微分方程。利用毕奥萨伐尔定律也可以推导出此式。由关系式，定律也可以推导出此式。由关系式，以及以及 先计算先计算这里算符是对这里算符是对x的微分算符，不作用于的微分算符，不作用于 上。上。0LSB dlJ dS(1.2-17)()LSB dlBdS0BJ(1.2-18)BA0()4VJ x dVAr(1.2-19)A0011()()44VVAJ xdVJ xdVrr()J x由于由于
50、 对对r 的函数而言，的函数而言，有有 因此上式可写为因此上式可写为 应用公式应用公式 可得可得由于积分区域由于积分区域V 含有含有 的全部区域，在的全部区域，在V 的边界面的边界面S上上 因此因此 再计算再计算 利用关系式利用关系式 可得可得 222)()()(zzyyxxrxxrr11Vdr1)(40 xJA()11()()rrr J xJ xJ x0)(xJ00()()44VSdVdrr J xJ xAS0)(xJ0nJ0 A(1.2-20)2:AVdrA1)(4202xJ)(412xxr200()4()()4AdV J xxxJ x(1.2-21)将将(1.2-20)式和式和(1.2-
