1、3 泰勒级数 设函数 f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式,有1()()d,2Kff zizzzz-且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz-由于积分变量取在圆周 上 点 在 的内部所以101000101()d()()2()1()()d.2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzz-z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成()1000010()()()()!1()()()2
2、()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz-其中()000lim()0,()()()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能证明在 内成立 则在K内成立,即 f(z)可在K内用幂级数表达.000zzzzqzrz-令，q与积分变量z无关,且0q1.z0Kzrz K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数 M 使|f(z)|M.01221d|)(|21d)()()(21|)(|000010-NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRzzzzz因此,下面的公式在K内成立:()000()()()!nnnfzf z
3、zzn-称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为 f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则 f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|d 内成立.定理定理(泰勒展开定理)设 f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,00()0()(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzcfznn-成立 其中 注注：如果 f(z)在z0解析,则使 f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离,即R=|a
4、-z0|.yz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一唯一的.利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:),2,1,0()(!10)(nzfncnn把 f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求 ez 在 z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.)，故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:3521242sin(1)3!5!(21)!cos1(1)2!4!(2)!nnnnzzzzzznzzzzzn
5、-除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:003521011()()sin(ee)22!(1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn-解 由于函数有一奇点z-1,而在|z|1内处处解析,所以 可在|z|1内展开成z的幂级数.因为 211(1),|1.1nnzzzzz-例1 把函数 展开成z的幂级数.21 1z将上式两边求导得 21121123(1),|1.(1)nnzznzzz-例2 求对数函数的主值ln(
6、1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy01ln(1)(1),1nnnzzz-因为逐项积分得0001dd(1)d,1zzznnz-231ln(1)(1)|1.231nnzzzzzzn-即解析在函数0)(zzf的幂级数的某邻域内可展开为在00)(zzzzf-解析在区域函数Dzf)(0()f zDzz-在 内任一点处可展开为的幂级数推论推论1：注：解析的等价条件：在区域函数Dzf)(内可导；在区域函数Dzf)()1(条件，内可微，且满足在区域RCDvu-,)2(关；内连续且积分与
7、路径无在区域函数Dzf)()3(内可展开为幂级数在区域函数Dzf)()4(推论推论2：解析，在区域设函数Dzf)(),(,00DzdistRDz00()f zzzRz-则在内可展开为 的幂级数推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：)(02zfnznn1,z 在上绝对收敛),1(21)(1-znzzzfn但)(1zfz时：近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。即1z推论推论4：展开式：解析，且有在设函数Taylor)(0zzf00()(),nnnf zCzz-最近的一个奇点，的距是0)(zzfa为其收敛半径。则0zR-a例如：,61)(
8、02-nnnzCzzzf;2R则其收敛半径,)(61)(02-nnnizCzzzf5.R 则其收敛半径而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数211z1-z2+z4-它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式242211(1)1nnxxxx-的成立必须受|x|R1时,即|z|R,011()nnnnnncczzz-收敛。因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.z0R1R2例如级数
9、10110(),1,|,|.|.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab与 为复常数中的负幂项级数当即时收敛 而正幂项级数则当时收敛 所以当时,原级数在圆环域收敛;当时,原级数处处发散在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz-现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.21()01,(1)0|10|1|1.0|11111()1.(1)1,()0|1.nf
10、zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz-函数在及都不解析 但在圆环域及内都是解析的先研究的情形:由此可见在内是可以展开为z的幂级数其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:2121111()(1)11(1)11(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz-1Oxy定理定理 设 f(z)在圆环域 R1|z-z0|R2内解析,则010()()1()d.(0,1,2,)2()nnnnnCf zczzfcnizzzz-其中C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,
11、K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得211()1()()22KKfff zddizizzzzzzz-0220,1.zzKzKzzz-对第一个积分在上在内220100,1()1()()22()nnnKKffddzzizizzzzzzz-和泰勒展开式一样 可以推得111()d.,2KfKizzzzz-第二个积分由于 在上010,1.zzKzzz-点 在的外部0001111zzzzzzzz-因此10011100()1(),()()nnnnnnzzzzzzzz-R1R2zrK1zRK2zz011101101()1()dd()(),22()
12、NnNnnKKffzzRzizizzzzzzz-1100()()1()d.2()nNnn NKzfRzizzzzz-其中000,01|zrqqzzzzz-令则，因此有100001|()|()|d2|nNnKzfRzszzzzzz-111112.|()|.21Nnn NMM qqrMf zKrq-是在上的最大值lim0,lim()0.NNNNqRz因为所以00001()()()(),nnnnnnnnnf zczzczzczz-因此2110101()d,(0,1,2,);2()1()d,(1,2,).2()nnKnnKfcnizfcnizzzzzzz-如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线
13、C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:101()d,(0,1,2,)2()nnCfcnizzzz-Cz0R1R20101()()(),d,(0,1,2,)2()nnnnnCff zc zzcnizzzz-于是称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为 f(z)在此圆环域内的洛朗级数.一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.解：函数 f(z)在圆环
14、域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把 f(z)在 这些区域内展开成洛朗级数.1112f zzz-例 把在复平面上展开为z的幂级数。xyO1xyO12xyO2先把 f(z)用部分分式表示:11().12f zzz-2222111i)0|1()12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz-在内:ii)在1|z|2内：111111()1122112f zzzzzz-222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzz-iii)在2|z|+内:111111()121211f zzzzzzz-22234111124(1)(1)
15、137.zzzzzzzzz-例2 把函数.|0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz解 因有133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 注意:一个函数 f(z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.例如在 zi 和z-i处展开函数 为洛朗级数。12()()if
16、zz zi-在复平面内有两个奇点:z=0与z-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|zi|=1上.因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|zi|1中的洛朗展开式;2)在1|zi|+中的洛朗展开式。O-iii-0特别的，当洛朗级数的系数公式101()d.(0,1,2,)2()nnCfcnizzzz-1n -时，有-CdzzfiC)
17、(21112)(-CidzzfC（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析.例-rzzzzdzzze00301)(求积分内解析，在-03010)()(0zzzzezfzz-0Laurent1C系数其120.iC-解：例4 21ln 1.zdzz 求积分-zznznnn1)1(11ln1111-C2.i 解：例 5 求积分 1|2d1zzzezz-.解：函数1()1zzef zz-在 1|z|+内解析,|z|=2 在此圆环域 内,把它在圆环域内展开得 122211111()1112!1251.2zf zezzzzzzz-故c-1-2,124.ici-原式=
