1、第六章第六章 数学教育的核心内容数学教育的核心内容第六章第六章 数学教育的核心内容数学教育的核心内容v数学教育目标的确定v数学教学数学教学原则原则v数学教学方法v数学知识的教学6.1 数学教育目标的确定一、数学教育的基本功能一、数学教育的基本功能:实用性，思维训练，选拔性二、我国20世纪数学教育目标的变迁v1923年北京初级中学算学课程纲要：数理关系；自然工具；生活需要；论理能力.v1951年数学教学大纲规定之目的：形数知识；科学习惯；辨证思想；应用技能.v1963年中学数学教学大纲的提法使中国数学教育目标的重点有变化掌握“双基”，突出“三大能力”，“适应未来需要”(实用功能减弱，强化思维素质
2、培养).v20世纪80年代，拨乱反正，回到63年目标提法.v20世纪90年代：素质教育与能力发展.2001年九年义务数学课程目标v（1）必需的“双基”.（知识、技能；新近又+基本活动经验、思想方法“四基”）v（2）数学地思考方式，数学应用意识.v（3）体会数学与自然、与社会的关系，数学价值，增进理解，树立信心.v（4）具有初步的创新精神和实践能力.这一总体目标体现在实用功能，思维培养，数学价值，情感态度，实践能力等方面都有新的提法.2003年普通高中数学课程标准总体目标总体目标：（在义务的基础上）进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。v三维目标框架：知识与技能
3、 （知识目标）过程与方法 （能力目标）情感、态度与价值观（德育目标）这三者之间不可分割、互相联系，体现了过程与结果的整体的有机结合.具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力基本能力。3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力能力，数学表达和交流的能能力力，发展独立获取数学知识的能力能力.4.发展数
4、学应用意识和创新意识应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。5.提高学习数学的兴趣兴趣，树立学好数学的信信心心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度钻研精神和科学态度。6.具有一定的数学视野数学视野，逐步认识数学的应应用价值、科学价值和文化价值用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯思维习惯，崇尚数学的理性精神理性精神，体会数学的美美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观世界观。三、三、确定中学数学教学目的的主要依据确定中学数学教学目的的主要依据 国家教育方针;社会需求;数学学科特点;教师状况;学生年龄特征.四、认识新数学课程的目标 打好基
5、础 强调五个基本能力 主动学习和创新能力 情感、态度、价值观与数学课程的结合打好基础v整体地把握数学课程 知识框架 抓住主线（函数，几何，运算，算法，统计概率，应用）v理解数学本质（基础，语言，工具，思维体操，技术，文化，育人）强调五个基本能力：v计算能力v逻辑推理能力v空间想象能力v +抽象概括能力v +数据处理能力 抽象概括能力v学生不仅仅掌握数学知识和技能本身，还应该帮助他们了解知识、技能、结论产生、形成的过程，能够从一些现象中，通过类比、归纳、猜想的合情推理，总结数学规律，发现数学规律。v许多数学家反复建议，我们不仅要重视培养学生们的演绎推理能力，同样，也要重视培养他们的抽象概括能力。
6、这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个环节中。数据处理的能力v生活中的很多数据都是“杂乱”的，但并非“无章”，如何发现其中的规律，如何利用这些规律提高生活质量。v随着社会发展，处理数据，已经成为百姓生活不可回避的问题。数据处理能力成为现代人的基本能力。v在高中学习中，有必要掌握基本数据处理能力：收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，利用信息说明问题等。主动学习和创新能力v接受、记忆、模仿和练习是重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。v自主探索、合作交流的学习方式有助于发挥学习的主动性，使体验数学发现和创造
7、的历程。v 创新的最好体现应反映在：培养学生的问题意识。鼓励学生提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；课程应具有一定的开放性，给学生思考的空间；为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围，等。关于情感、态度和价值观与数学课程的结合 兴趣 视野 学习习惯兴 趣v“兴趣”的培养在某种程度上被忽视了。v对于学生而言，能够引起他们兴趣的东西很多，数学是其中之一，数学是很有意思的，她有极大的魅力，引人入胜。v作为数学和数学教育工作者，我们应该尽力吸引更多的学生喜欢数学，使他们从数学中得到对将来发展有用的东西，并能把这些东西用到他们的工作中。v培养学生对数学的兴趣，是数学教育面临的一个巨大的挑战，在
8、很多国家，不喜欢数学，甚至讨厌数学的比例在增加，这应该引起高度重视。视 野v标准要求学生形成“具有一定的数学视野”。v“知识”是重要的，“见识”更为重要。v选修系列3、4课程目的之一，就是为学生奠定基础、开阔视野，这只是开始，数学和数学教育工作者应该不断开发更多新的选修课程。学 习 习 惯v不同学生有不同的学习习惯。养成适合自身、好的学习习惯，会提高效率。v数学学习有自身的特点.例如：有人喜欢用直观的图像来表述抽象的概念，有人总喜欢用具体的事例来理解一般的事物；这些都是非常好的“习惯”。v好习惯的形成需要长时间的积累。6.2 数学教学原则v什么是数学教学原则？v传统的数学教学原则v张奠宙概括的
9、数学教学原则回顾：一般的教学原则v当前，一个权威的提法是以下八条：（王策三教学论稿)一般的教学原则：一般的教学原则：一般的教学原则适用于所有学科的教学一、数学教学原则概念一、数学教学原则概念传统的数学教学原则1 1、抽象与具体相结合原则、抽象与具体相结合原则数学的抽象性数学的抽象性v抽象是在思想中不考虑事物所有其它方面的特性，而把事物某一方面的特性分离出来。v数学，它以现实世界的空间形式和量的关系作为研究对象。v数学的抽象性还表现为它的高度概括性。v数学抽象性的又一个特点是大量使用抽象符号。中学生抽象思维的局限性及其对教学的影响 v对具体素材的依赖性v对抽象结论的理解和掌握往往有片面性、局限性
10、v抽象能力弱，以深入细致的观察为基础。v对抽象结论之间的关系不易掌握 以上说明了青少年对数学的抽象性需要一个适应过程。如何贯彻抽象与具体相结合原则v首先要着重培养学生的抽象思维能力 思维的基本形式：概念、判断、推理v其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力 直观教具的使用、数形结合的方法 2 2、严谨性与量力性相结合原则、严谨性与量力性相结合原则是数学科学理论的基本特点。它要求数学结论的表述必须精练、准确。而对结论的推理论证，要求步步有根据，处处符合逻辑理论的要求。在数学内容的安排上，要求有严格的系统性，要符合学科内在逻辑结构，既严格，又周密。是指学生的可接受性。中学数学教学严谨性要求的注意
11、点中学数学教学严谨性要求的注意点v数学理论的严谨性并不是一下子形成的。v对于数学的严谨性要求，中学生要有一个适应的过程。v必须保证内容的科学性。v必须充分估计学生的接受能力，要从发展的观点考虑学生的潜力，使中学数学的严谨性不断提高。（3 3）贯彻严谨性与量力性相结合原则）贯彻严谨性与量力性相结合原则v深入了解学生的心理特点与接受能力。（前提）深入了解学生的心理特点与接受能力。（前提）v教学过程中，严谨性的要求应是明确的、逐步提高教学过程中，严谨性的要求应是明确的、逐步提高的。（要求学生语言精确、思考缜密、的。（要求学生语言精确、思考缜密、言必有据、言必有据、思路清晰）思路清晰）v教师在教学过程
12、中应该身体力行。教师在教学过程中应该身体力行。教师的每一节课都应力争结构、层次和步骤都有条教师的每一节课都应力争结构、层次和步骤都有条不紊；在具体的解题过程中，应有个清楚的程序。不紊；在具体的解题过程中，应有个清楚的程序。3 3、理论与实际相结合原则、理论与实际相结合原则v理论与实际相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。v数学理论与数学实际的结合v教学理论与教学实际的结合v数学教学要充分考虑到学生的实际情况v这一原则是数学的特点所决定的v这一原则是培养学生的创新意识和实践能力所需要的。必须加强中学数学与实际的联系必须加强中学数学与实际的联系 （1）联系实际的教学内容要不
13、断更新）联系实际的教学内容要不断更新 微积分初步、概率统计初步、算法 （2）中学数学要与中学其它各学科协调配合）中学数学要与中学其它各学科协调配合 物理、化学、生物、（3）从实际问题中抽象出数学内容）从实际问题中抽象出数学内容 数学建模、数学实验 （4）现代数学内容、数学思想和数学方法也）现代数学内容、数学思想和数学方法也要注意联系实际要注意联系实际 集合、群、拓扑变换 大力提高中学数学教学的理论水平大力提高中学数学教学的理论水平v只有加深理解、提高中学数学的理论水平，才能牢固掌握有关的数学知识。v加强一般原理和一般方法的教学，v对原理本身的透彻理解、牢固掌握和灵活运用，关键在于透彻理解 4
14、4、巩固与发展相结合原则、巩固与发展相结合原则v1、所谓就是要求学生牢固地掌握已学基本知识、基本的数学思想、数学方法,使数学技能和技巧达到熟练,能够把知识、数学思想和数学方法保持于记忆中，而在需要时能够想起和应用这些知识。n 2、就是指 教学应当依靠学生那些已有的知识、数学思想、数学方法及将要成熟的心理过程，创造“最近发展区”，使思维得到了发展。v利用利用“记忆记忆”的规律，巩固学生所学的知识的规律，巩固学生所学的知识v发展学生的数学思维能力，发展思维又有利于理解发展学生的数学思维能力，发展思维又有利于理解和巩固知识和巩固知识v帮助学生建立合理的数学认知结构巩固与发展相结合原则的贯彻巩固与发展
15、相结合原则的贯彻张奠宙概括的数学教学原则v张奠宙在依据数学教学的实际过程，将数学教学原则概括为：v学习数学化原则；v适度形式化原则；v问题驱动原则；v渗透数学思想方法原则。学习数学化原则v数学化是世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔提出来的。v“与其说学习数学，不如说学习数学化”v“人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程就叫数学化。”:,气气温温的的对对照照表表数数与与当当天天的的杯杯茶茶热热天天卖卖出出随随机机统统计计并并制制作作了了某某系系销销售售量量与与气气温温之之间间的的关关某某小小卖卖部部为为了了了了解解热热茶
16、茶66450383424201410131826数数杯杯气气温温C0/?,的的杯杯数数吗吗测测这这天天小小卖卖部部卖卖出出热热茶茶你你能能根根据据这这些些数数据据预预如如果果某某天天的的气气温温是是C056450383424201410131826数数杯杯气气温温C0/tscatterployx这样的图为我们称得到左图系内标出标在坐的点示对所表个数中数据构成的将表建立直角坐标系销量茶示热表纵坐标表示气温以横坐标系温的大致关为了了解热茶销售与气.,6散点图.,的关系间之温茶销售与气热近似地表示故可用一个线性函数条直线附近这些点散布在一从图中可以看出?之之间间的的关关系系表表示示热热茶茶销销量量与
17、与气气温温选选择择怎怎样样的的直直线线近近似似地地:我们有多种思考方案;,这两点的直线例如取过映直线变化的两点反选择能24185041;,点的个数基本相同另一侧的使得位于该直线一侧和取一条直线2;,截距作为所求直线的斜率、均值条直线斜率、截距的平再分别算出各确定几条直线方程多取几组点3?怎样的直线最好呢 适度形式化原则v用一套表意的数学符号，去表达数学对象的结构和规律，从而把对具体数学对象的研究转化为对符号的研究，并生成演绎的体系，这就是数学的形式化。v数学的形式化包括“符号化、逻辑化和公理化”我们通常用平面的一部分来表示平面，我们通常用平面的一部分来表示平面，例如，我们常用例如，我们常用平行
18、四边形平行四边形表示平面表示平面 1、用一个希腊字母、用一个希腊字母、来表示，如来表示，如平面平面、平面、平面：ABCD2、用表示平行四边形的对角顶点的字母、用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面来表示，如平面AC问题驱动原则v问题是数学的心脏。问题是贯穿数学教学活动的一条主线，是学生学习数学的驱动力之一。v从学习的角度看，“数学是做出来的”。数学学习是“解决问题”，课后练习是“演练问题”，数学考试是“回答问题”，研究性学习是“研究问题”。渗透数学思想方法原则 v数学思想方法的教学是中国数学教学的特色之一。v古人云：“授之以鱼，不如授之以渔”。v只有掌握数学思想方法，才能对的数学学习内
19、容进行整合。v数学思想是一种隐性的数学知识6.3 数学教学方法v一 教学方法v二 几种常用的教学方法v三几种新的教学方法v四 启发式教学思想v五现代数学教学方法的特点与发展趋势一、教学方法v教学方法是为了达到教学目标，完成教学任务所采取的教学方式和手段的一套完整体系。二、几种常用的教学方法v1.讲解法v2.谈话法v3.练习法v4.讲练结合法v5.教具演示法v讲授法，教师系统授课。教学环节：授课理解巩固运用检查v谈话法，师生问答，教师启发。教学环节：提问思考答疑练习评价 三、几种新的教学方法 v1、“读读、议议、讲讲、练练”教学法 v2、单元整体教学法v3、六课型单元教学法v4、“尝试、指导、变
20、式、回授”教学法v5、研究教学法v6、学导式教学法v7、自学、议论、引导教学法v8、发现式教学法v9、程序教学法v10、“自主合作探究”数学教学v11、学案教学法、学案教学法1、“读读、议议、讲讲、练练”教学法v 读读、议议、讲讲、练练教学法，上海市育才中学于70年代首先总结出来的。v读是基础；议是关键；讲是主要环节；练是学习、巩固知识的重要途径。v优点是将读、议、讲、练穿插进行，能够调动学生的极性，有利于培养自学能力、表达能力和创新精神，但教学过程不易控制。2、单元整体教学法v北京市景山学校提出来的一种教学方法。它是根据知识结构和学生水平将教材划分为若干单元，并分四个步骤进行：v(l)自学探
21、究v(2)重点讲解v(3)综合训练v(4)总结提高。v教师充分掌握教材，了解学生的基础上，找到学习内容的知识结构与学生学习该内容的认知结构结合的最佳点时，教学就能取得明显的效果。v优点是以教材为主线，有利于培养学生的自学能力和探究精神，有利于学生获得比较系统、完整的知识。3、六课型单元教学法v湖北大学黎世法教授于80年代中期提出来的。v这种教学方法将教材分为若干单元，依次通过下列六种课型进行教学。自学课；启发课；复习课；作业课；改错课；小结课。这种方法可减轻学生的学习负担，也可减轻教师批改作业的工作量。4、“尝试、指导、变式、回授”教学法v教学过程：v（1）把问题作为教学的出发点。通过创设问题
22、情景启发诱导，激发学生求知欲v（2）指导学生开展尝试活动。指导学生探究、发现、模仿、应用，在活动中学习。v（3）组织分水平的变式训练v（4）适时指导学生归纳所获得的新知识和新技能方面的一般结论，归入知识系统；v（5）根据教学目标，及时反馈，回授调节，有针对性地进行质疑讲解，对有困难的学生给予补授的机会，使之达到所定目标的要求。5、研究教学法v辽宁省实验中学提出的一种教学方法。v 先由教师根据教材内容和教学目的，提出富有思考性的研究题和要求，放手让学生思考、研究，得出初步知识，然后再由教师归纳、，总结。v基本程序：教师提出问题学生独立思考互相研究回答问题教师总结提高。v研究法的实质在于使学生在独
23、立思考的基础上，主动地探索问题，提出见解，发展思维。6、学导式教学法v学导式教学法以学生的自学为主，并得到教师必要的指导的一种新的教学方法。v四个环节：学生自学、互相解疑、教师精讲、学生演练。v学导式教学法体现出学生学在前，教师导在后；教为学服务，教法来自学法。根据学法的需要来确定教法。v学导式教学法有利于因材施教，培养开拓型人才，是对注入式教学法的否定。7、自学、议论、引导教学法v江苏南通市第十二中学数学教师李庚南同志提出的。v基本程序：“自学”、“议论”、引导8、发现式教学法v美国著名心理学家布鲁纳从青少年好奇、好问、好动手的心理特点出发，提出了在教师指导下，通过演示、实验、等手段，引导学
24、生像当初数学家发现结果那样去发现知识。v步骤：创设发现情境；寻找问题答案；交流发现成果；小结发现成果；运用发现成果。v特点：学生主动地发现结果，因而具有主动性、开放性和创造性的特点。v发现法教学不利于学生掌握系统的知识和形成必要的技能技巧，且由于费时，较难控制，运用时要作充分的准备，一般说来也难以普遍加以运用。9、程序教学法v美国心理学家和教育学家斯金纳于本世纪50年代根据控制论原理首创的。v 程序教学法的大致过程是：精选教材内容编写成包括课本、练习和答案在内的程序教材，或借助电子计算机和其他教学仪器将教材内容予以呈现；学生按照程序，边看教材作练习，边对照答案，及时获得反馈信息，以不断调整自己
25、的学习活动；遇到困难再由教师进行个别或集体辅导。v优点：能充分调动学生的学习积极性，有利于培养学生的自学能力，动脑动手的能力，有利于因材施教。但由于并非所有内容都易做到程序化，况且学生的活动过于程序化，会削弱教学的教育性，从而不利于学生智能的发展。10、“自主合作探究”教学法v自主合作探究”数学教学教学环节：教师：程序：学生：创设问题情境引导探索思路组织练习及评价布置作业 情境中质疑 交流中合作 总结、反思评价作业中延伸 自主学习接受挑战 合作探究 自主建构知识深化升华提出新问题11、学案教学法、学案教学法v“学案学案”教学的基本环节：教学的基本环节：v1）组织准备）组织准备v2）依案自学与交
26、流。）依案自学与交流。v3）总结达标）总结达标v“学案学案”教学中师生活动流程如下图：教学中师生活动流程如下图：教师学生编写、发放学案依案自学督促 指导 解疑讨论 合作 创新总结达标点拨反馈四、四、启发式教学思想启发式教学思想v启发式教学思想启发式教学思想，是教师遵循认识规律，从学生的实际出发，在充分发挥教师主导作用的前提下，善于激发学生的求知欲和学习兴趣，引导学生积极开展思维活动，主动获得知识的一种教学思想。v启发式教学思想是中学数学教学中最重要、最基本也是应用最为广泛的一种教学思想。五、现五、现代数学教学方法的特点与发展趋势代数学教学方法的特点与发展趋势v1现代数学教学方法发展的新特点现代
27、数学教学方法发展的新特点v（1）以学生的知识、技能、能力和思想品德的全面发展为目的，注重全面素质的培养。v （2）以学生在学习中的主体地位为出发点教师的主导作用在于促进主体学习的完成。v （3）注重数学问题(概念、原理、法则、公式)的发生、探索、发现、论证及应用的全过程的展开，特别是注重数学知识发生和应用的过程的教学，体现过程性目标。现代数学教学方法的特点与发展趋势现代数学教学方法的特点与发展趋势v（4）突出以发展学生思维能力为核心，注重学生积极参与数学活动，注意培养学生的思维品质和创造力。v（5）对教学方法的评价，强调情感、态度和价值观在教学中的作用，关注学生的差异与个性品质。v（6）注意数
28、学文化素质的培养。v（7）数学教学方法开始借助于高科技和运用现代教育技术手段，技术含量明显提高。总结v教学有法,教无定法;有教无类;因材施教4.4 数学知识的教学v数学知识是数学事实和经验的概括数学知识是数学事实和经验的概括,涵盖涵盖数学概念、定理、公式、方法和思想等数学概念、定理、公式、方法和思想等内容内容 v数学知识是数学家们对生活常识的合理迁移和概括，很多数学知识探寻其源头,并不神秘和复杂,相反,却能感受到一种亲切和豁然开朗的感觉v让学生拥有学习经历,数学在他的眼里,一定不是枯燥和深奥的,相反,数学是一种鲜活的事物、创造的启迪v弗弗赖登塔尔说：赖登塔尔说：“没有一种数学思想如当初刚被发现
29、时那样发表出来。一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽。”数学知识的学术形态特征：v按定义定理证明的顺序和演绎推理的要求呈现，十分严谨。v用精炼的数学语言（包括抽象的数学符号系统）表述，显得简洁、标准、规范，体现数学的简洁美。v省去了数学知识的背景描述和探索猜想思维过程，显得十分纯粹。v省去了数学知识隐含在内的数学思想方法的揭示。显得十分形式化，数学知识丰富的内涵展示不够。数学知识的教育形态的特征：v（1）按问题探索猜想证明的顺序和归纳演绎的要求，用多样化的方法呈现，具有一定的建构性，返璞归真性。v（2）具有必要的背景（包括人文、历史、理论和实际背景）描述和情景创设；
30、v（3）注意方法的揭示、渗透和使用，力求为学习者创造亲历知识生长过程和作出发现（再发现）的机会。v（4）在保持内容科学性的条件下，采用通俗、形象；对原始或难度大的概念，采用“淡化形式，注重实质”从运用中掌握的策略。v（5）问题的设计密切联系学生的生活实际，具有一定的开放性和探索性。v（6）数学知识的教育形态在课堂教学上，切实唤起学生对数学学习的兴趣，引导学生生动活泼的学习，让每个学生的数学潜能得到充分的发展。这才是数学知识的教育形态的最终目标。数学知识向教育形态的具体转化数学知识向教育形态的具体转化v经历数学概念的形成过程经历数学概念的形成过程v感受数学公式、定理、法则的发现过程感受数学公式、
31、定理、法则的发现过程v体验数学问题解法的探索过程体验数学问题解法的探索过程二、数学概念的教学数学概念的教学1、数学概念的教学是重要的 2、数学概念教学要求：了解概念的由来与发展，掌握概念的内涵、外延及其表达形式，了解有关概念间的逻辑关系，能对概念正确地进行分类，从而形成一定的概念体系，能够正确地应用概念。3、数学概念教学步骤：引入、形成、巩固、运用 平面平面问问题题1：平静的湖面，广阔的草原，大漠：平静的湖面，广阔的草原，大漠 袅袅炊烟升起的画面会给你留下袅袅炊烟升起的画面会给你留下 怎样的印象呢？怎样的印象呢？问问题题2：如何形象直观的在纸上表示平面？如何形象直观的在纸上表示平面？如何表示点
32、与直线，直线与平面如何表示点与直线，直线与平面 的位置关系？的位置关系？平面的特点平面的特点1.问问题：还有哪些面留给我们平面的题：还有哪些面留给我们平面的形象呢形象呢？问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？点？以上例子给我们以上例子给我们“平面平面”的直观，平面是一个的直观，平面是一个不加定义的概念，具有不加定义的概念，具有“平平”、“无限延展无限延展”、“无厚薄无厚薄”的特点的特点.桌面、黑板、地面、海平面等桌面、黑板、地面、海平面等.很大、很平很大、很平.“中位数与众数中位数与众数”的引入的引入阿冲到某公司应聘阿冲到某公司应聘,遇
33、到了经理遇到了经理你们公司员工你们公司员工收入怎么样收入怎么样?我这里报酬不错我这里报酬不错,月月平均工资有平均工资有2000元元.阿冲阿冲经理经理平均工资确实是每平均工资确实是每月月2000元元,你看看你看看公司的工资报表公司的工资报表.你欺骗了我，我已你欺骗了我，我已经问过公司的职员经问过公司的职员了，没有一个人是了，没有一个人是超过超过2000元的元的经理经理 阿冲阿冲阿冲在公司工作了一周后阿冲在公司工作了一周后该公司员工的月薪如下：该公司员工的月薪如下：问题问题1：该公司员工的：该公司员工的月平均工资月平均工资是多少？经理是是多少？经理是 否欺骗了否欺骗了阿冲阿冲?问题问题2：平均月工
34、资能否客观地反映员工的实际收入？：平均月工资能否客观地反映员工的实际收入？问题问题3：你们认为用哪个数据反映该公司员工的实际：你们认为用哪个数据反映该公司员工的实际 收入比较合适？收入比较合适？员工员工经理经理副经理副经理职员职员A职员职员B职员职员C职员职员D职员职员E职员职员F职员职员G月薪月薪（元）（元）60004000170013001200110011001100500员工员工经理经理副经理副经理职员职员A职员职员B职员职员C职员职员D职员职员E职员职员F职员职员G月薪月薪 （元）（元）60004000170013001200110011001100500中位数中位数中位数中位数：一
35、般地，一般地，n个数据个数据按大小顺序按大小顺序排列，排列，处于中处于中间位置间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的这组数据的中位数中位数.众数众数 众众 数：数：一组数据中，出现一组数据中，出现次数最多次数最多的那个数据叫的那个数据叫做这组数据的做这组数据的众数众数.该公司员工的月薪如下：该公司员工的月薪如下：“轴对称的引入 把一张长方形纸片对把一张长方形纸片对折，剪出一个图案（折痕折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打处不要完全剪断），再打开这张对折的纸片，就剪开这张对折的纸片，就剪出了美丽的窗花。出了美丽的窗花。观察图中的剪
36、纸，你观察图中的剪纸，你能发现它们有什么共同的能发现它们有什么共同的特点吗？特点吗？“轴对称”的明确与理解1.把一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫做_.2.我们把这条直线叫做_.对称轴对称轴轴对称图形 国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗，国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗，哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。加拿大加拿大英国英国摩洛哥摩洛哥古巴古巴瑞典瑞典以色列以色列 :1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?AABCBC 观察观察:下面的每对下面的每对图形有什么共同特图形有什么共同特点点?把一个
37、图形沿着某一条直线折叠把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合如果它能够与另一个图形重合,那么就那么就说说这两个图形成这两个图形成轴对称轴对称,这条直线叫做这条直线叫做对称轴对称轴,折叠后重合的点是对应点折叠后重合的点是对应点,叫做叫做对称点对称点。AABCBC 下列给出的每幅图形中的两个图案是下列给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗？如果是，试着找出它们的对称轴对称吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点。轴，并找出一对对称点。喜喜喜喜 FFFF(A)(A)(D)(D)(C)(C)(B)(B)练习:请你标出图案14.1-3中点A,B,C的对称点A,B,C.AB CA
38、ABC A C BABC比较归纳：轴对称图形两个图形成轴对称区别个图形个图形联系沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够都有如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是一一两两互相重合互相重合对称轴对称轴对称对称轴对称图形轴对称图形“轴对称”概念的巩固应用2.动手操作并填表（剪一剪，折一折）图形形状是否轴对称图形对称轴的数量(条)长方形正方形平行四边形等腰三角形圆形是是是是是是是是不是不是241无数无数-想一想想一想：0-90-9十个数字十个数字中，哪些是轴对称图形？中，哪些是轴对称图形？（抢答）（抢答）0 1 2 3
39、4 5 6 7 8 9想一想：下列英文字母中，下列英文字母中，哪些是轴对称图形？哪些是轴对称图形？A C D E F G H I A C D E F G H I J L M N O P Q R J L M N O P Q R S T U V W X Y ZS T U V W X Y Z“实数实数”概念的巩固和应概念的巩固和应用用练一练 把下列各数填入相应的集合内：把下列各数填入相应的集合内：0,6.0,3625,334.0,8,11,64,64,4142135.1,14159.333课堂总结 1.1.实数的分类实数的分类 无限不循环小数无理数小数有限小数或无限不循环分数整数有理数实数:也可以这
40、样分类也可以这样分类 负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数02.2.学习了无理数以后，学习了无理数以后，“数数”的系统进一步扩展。的系统进一步扩展。请你结合自己的成长过程，谈谈对请你结合自己的成长过程，谈谈对“数数”的认识。的认识。(3)在教学方法上还需要注意的几点 v1）认清概念的重要性，切实加强概念教学v2）重视问题的情景设计，提供概念的现实原形v3）通过变形变式、正反实例，揭示概念的科学内涵v4）抓住主要概念，选择讲解重点v5）针对不同定义，采取不同教法v6）激发学习兴趣，重在培养数学能力 2数学命题的教学v（1）数学命题的学习要求:使学生认识命题的条件、结论、内容和表达形式
41、；掌握命题的推理过程或证明方法，运用命题进行计算、推理或论证；渗透蕴含其中的数学思想方法；弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。v（2）数学公理教学步骤：实例或实验、归纳结论、应用 v(3)数学命题的教学步骤：命题引入、命题的明确、命题的推导与证明、命题的应用和系统化 公理公理3：经过不在同一条直线上的经过不在同一条直线上的三点三点，有且，有且 只有只有一个平面一个平面v问题问题1：用两个合页和一把锁就可以固定：用两个合页和一把锁就可以固定 一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚等生一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么？活现象的理论依据是什么？问
42、题问题1：用两个合页和一把锁就可以固定：用两个合页和一把锁就可以固定 一扇门，有的自一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么？行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么？公理公理3：经过不在同一条直线上的经过不在同一条直线上的三点三点，有且只有，有且只有一个平面一个平面.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：,A B CABC三点不共线有且只有一个平面，使如何理解公理如何理解公理3中的中的“有且只有一个有且只有一个”？“有有”是说图形存在，是说图形存在，“只有一个只有一个”是说图形惟一是说图形惟一.公理公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？可以帮助我们解决哪些几何问题？
43、确定平面；证明两个平面重合确定平面；证明两个平面重合.猜想：交换它们的条件与结论，是否成立？猜想：交换它们的条件与结论，是否成立？（一）引入 角角1 12 23 34 4度度数数 角角5 5 6 67 78 8度度数数 (2)(2)测量上面八个角的大小，记录下来测量上面八个角的大小，记录下来(1)(1)请同学们先画出两条平行线，再画一条直线请同学们先画出两条平行线，再画一条直线与它们相交（如图），并标出所形成的八个角与它们相交（如图），并标出所形成的八个角(3)3)你发现了什么规律？再画一条截线试试。你发现了什么规律？再画一条截线试试。(4)如果如果a a与与b b不平行，这一规律还成立吗？说
44、明什么不平行，这一规律还成立吗？说明什么问题？问题？b12345678ac（二）实验操作(1)(2)（二）实验操作平行线的性质：平行线的性质：性质：两直线平行，同位角相等如图，若ABCD，则 1=2，3=4，5=6，7=8（三）猜想规律平行线的性质：平行线的性质：性质：两直线平行，内错角相等 如图，若ABCD 则 1=2，3=4（三）猜想规律平行线的性质：平行线的性质：（三）猜想规律性质3：两直线平行，同旁内角互补 如图，若ABCD 则 1+2=1803+4=180 你能根据性质，说出性质，性质成立的道理吗？例如：如右图,因为ab,所以 1=2(_),又 3=_(对顶角相等对顶角相等),所以
45、2=3.abc123两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等1（四）推理验证.类似地，对于性质，你能说出道理吗？类似地，对于性质，你能说出道理吗？如图，因为 所以 1=2 (两直线平行，同位角相等)又 1+3=180(邻补角定义)所以 2+3=180ab,abc321.（四）推理验证1、AD/BC(已知)B=1()2、AB/CD(已知)D1()3、AD/BC(已知)C 180()ABCD1两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补D D例例1 1 如图，填空：(五）例题讲解例例2 2、小青不小心把
46、家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯、小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯形上底的一部分（如图）。要订造一块新的玻璃，已经形上底的一部分（如图）。要订造一块新的玻璃，已经量得量得A=115,B=100,请你想一想，梯形另外两个角请你想一想，梯形另外两个角各是多少度？各是多少度？例题讲解解：因为梯形上.下底互相平行，所以 答：梯形的另外两个角分别是65，80。BCADA 与B互补，C 与 D互补于是B=180-A=180-115=65C=180-D=180-100=801、如图、如图,直线直线ab,1=54,2,3,4各是各是多少度多少度?解解:2=1 (对顶角相等对顶角相等)2=1=54
47、ab(已知已知)4=1=54(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)2+3=180(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)3=180 2=180 54=126答：答：2=54，3=126，4=54。134ab（六）课堂练习22、填空：当心！不要填反了！（六）课堂练习 1 1、已知两条平行线被第三条直线所截已知两条平行线被第三条直线所截,其中的同位角、内错角、同旁内角的关系其中的同位角、内错角、同旁内角的关系如何如何?两直线平行两直线平行 同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补.（七）课堂小结两直线平行两直线平行 同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等
48、同旁内角互补同旁内角互补平行线的判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质线的关系角的关系性质性质角的关系线的关系判定判定2、平行线的判定与平行线的性质的关系：（七）课堂小结4.4 数学能力的界定v数学技能:是能顺利完成数学任务的一种活动方式或心智活动方式,它是通过习题获得的.有一定的程序和步骤v能力是直接影响活动效率,使活动顺利完成的稳定的个性心理特征.可分为一般能力和特殊能力.v一般能力:注意力,观察力,记忆力,思维力和想象力 v特殊能力:在某种专业活动中表现出来的能力v数学能力就是一种特殊能力,它是指在数学学习和数学发明创造中表现出来的能力国外数学能力的提法v1、克鲁切茨基中小学生数学能力
49、九个组成部分：v把数学材料形式化；v概括现共同点；v运用数学符号进行运算：v连贯而有节奏的逻辑推理：v缩短推理结构进行简洁推理：v逆向思维能力：v思维的灵活性：v数字记忆：v空间概念。v2、2000年美国数学教师协会数学课程标准提出6项能力,包括:v(1)数的运算能力v(2)问题解决的能力v(3)逻辑推理能力v(4)数学联结能力v(5)数学交流能力v(6)数学表示能力我国关于数学能力的研究v1958年华罗庚,关肇中提出三大数学能力-运算能力,逻辑思维能力,空间想象能力。这是长期流行的提法。v1992年，大纲在三大能力的基础上增加了“用所学知识解决简单的实际问题的能力”v1996年大纲用“思维能
50、力”代替“逻辑思维能力”并提出“逐步培养分析问题和解决实际问题的能力”.v2002年，大纲对数学思维能力做了界定，指空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系与构建等诸多方面。张奠宙阐述“数学思维能力”十方个面v1.数学感觉与判断能力数学感觉与判断能力v一个问题放在眼前，首先要判断它是不是数学问题?是那一类的数学问题?能够对数学的本质有所理解，觉察其中的数学因素，从宏观上进行基本的判断。例如：方程求解，函数变化（微积分），随机现象，几何描述，优化决策，计算方法等等。v2.数据收集与分析数据收集与分析v数字化时代，数据无处不在。能够收集数据，关注数据，分析数据，驾驭数据，用
