1、第七节第七节傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质主要内容：主要内容：1.1.对称性质对称性质 2.2.线性性质线性性质3.3.奇偶虚实性奇偶虚实性4.4.尺度变换性质尺度变换性质5.5.时移特性时移特性时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理6.6.频移特性频移特性 7.7.时域积分性质时域积分性质8.8.时域微分性质时域微分性质9.9.频域微分性质频域微分性质10.10.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理()()f tF若()2()F tf则 ()1td1 例例1：2()pd w1.对称性对称性(互易对偶性互易对偶性)(时频对称性时频对称性)()2FE Sa0w220t)(tfE222()
2、2()ffp-w=pw0wE 22 2 0t 2 2)2()(tSaEtF 例例2：)2()(tSaEtF ()f t()2FE Sa？2()fpw例例31(),F12F()j2F2()2()j1Fj()ftf(t)tsgntsgnsgntsgnt=w=w=p-w=-pw=-pw已知求思路什么样的信号频谱含根据对称性质1(),Ff tf(t)t=已知求2F()jsgn t=w2F=jt1F j()sgnt=-pw解：根据对称性质2()sgnp-w2()sgn=-pw1122f()(),f()()tFtF若 12121212f()f()()()aaattaFF则其中，其中，a1,a2为常数为常数
3、2.线性性线性性4f()()()tF（）当为函数时，为纯虚偶函数，为奇函数；()()f tF若()()jFe f()()tF（1）当为函数实时:共轭对称则：则：f()()tF（2）当为函数时，为实数实；偶偶函f()();tF（3）当为函时，为虚奇数实奇函()()F即：偶对称，奇对称；R()jX()R()X()偶对称，奇对称；R()X()奇对称，偶对称；3.奇偶虚实性奇偶虚实性1f(),0Faaata 则F()()f tF若 意义意义(a)0a1时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。FFtftfac,1)(4.尺度变换特性尺度变换特性（展缩特性）（展缩特性）例：例：信号的持续时间与信号占
4、有频带成反比信号的持续时间与信号占有频带成反比结论：结论：时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。),()(Ftf若若;e)()(0j0tFttf 则则)()(Ftf若若 abaFabatf je1 则则时移加尺度变换：时移加尺度变换：5.时移特性时移特性式中式中t0为任意实数为任意实数注意：注意：信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。书例书例3-23-2：求下列所示三脉冲信号的频谱。求下列所示三脉冲信号的频谱。0)(tfE22TTt解：令解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号表示
5、矩形单脉冲信号)2()(0wSaEwF)()()()(000TtfTtftftf由时移特性可得：由时移特性可得：)cos(21)2()1)()(0wTwSaEeewFwFjwTjwT0wT2)(wFE3其频谱如下：其频谱如下：T42实偶信号的频谱为实偶实偶信号的频谱为实偶 tSatSatf2ccc tSatfcc0 已知双已知双SaSa信号信号试求其频谱。试求其频谱。令令（书（书P133）解：解：()()()002f tftft=-则()()()002F f tF ftF ft轾轾=-臌臌.oCC 1 F0(b)()()0ccF ftFSa t轾=臌()j2 022e()cF ftG-ww轾-
6、=w臌()f tw因此的频谱F()等于由时移特性得到由时移特性得到 21()cGw=w()()()00j2 22(1e)()cF F ftF ftG-ww轾轾=-臌臌=-w从中可以得到幅度谱为从中可以得到幅度谱为()()cc2 sin ()0 ()F w=)(0)(sin2cccF双双Sa信号的波形和频谱如图信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。）所示。,c=在实际中往往取此时上式变成t2oC tf(d)oCC F2(e)000f)()jttFe为数则是实常()()f tF若 6.频移特性频移特性（调制定理）（调制定理）dteetfetfFtttj-jj00)()(证明：证明：dtetft)-
7、j(-0)(由傅立叶变换定义有由傅立叶变换定义有)(0jF000000f()()(),sin1cof()(2)2)s(jtFtttFFF调制性：cos)(0ttfF )(21)(2100j-jttetfFetfF)(21)(2100jFjFsin)(0ttfF)(2)(200jFjjFj )(21)(2100j-jttetfFjetfFj证明：证明：书例书例3-43-4已知矩形调幅信号如图所示已知矩形调幅信号如图所示其中其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，脉宽为，试求其频谱。，试求其频谱。)cos()()(0twtGtf解：解：G(t)矩形脉冲的频谱为：矩形脉冲的频谱为
8、：)2()(wSaEwG根据频移特性：根据频移特性：f(t)的频谱的频谱F(w)为为2)(22)(2)(21)(21)(0000wwSaEwwSaEwwGwwGwF（书（书P133）0A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(000)(jF2E0)(jFE书例书例3-5 3-5：（书（书P134P134）注意注意“1”的作的作用用利用频移定理求余弦信号的频谱。利用频移定理求余弦信号的频谱。0()cos()f tt=w已知解一：解一：)()()(21cos00000tjtjeet解二：解二：F12()=pd w000 Fcos()()()tw=p d w+w+d w-w)()()(21c
9、os00000tjtjeettt0cos100)()(0)(F余弦信号及其频谱函数注意：周期信号也存在傅里叶变换注意：周期信号也存在傅里叶变换()()(0)()(0)()tFfdFjfttfFdj t则，jd00FfFt 时，时，7.时域积分特性时域积分特性()()f tF若 证明方法一：书证明方法一：书P.135证明方法二：证明方法二：利用卷积定理(0)()Ff t dt-=正向应用正向应用逆向应用逆向应用应用：应用：更常用时域积分性质应用举例：时域积分性质应用举例：例例1：(补充补充)()1,()tFtd-d=d已知求F解：解：直接套用性质直接套用性质用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏
10、变换用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换正向应用正向应用()=()1,FFt设 1=j ()F()(0)tFfdFj则 即：即：()()y tY j0t10tt01t0t11()()()dy ty tY jdt00121()1()(0)()()2tjtY jY jYSaejj ()()tdyy tdd00211()(),(0)12tjtdyY jSaeYd而解：解：（书例（书例3-7）用时域积分性质求）用时域积分性质求y(t)的频谱的频谱求导求导逆向应用逆向应用对所求函数先微分再表示成积分形式对所求函数先微分再表示成积分形式例例1：易出错处：易出错处：微分后再积分不一定等于原函数！微分后
11、再积分不一定等于原函数！()0f取决于是否为-sgn()t用时域积分性质求符号函数的频谱1()2()FFjj解：()sgn()()f ttF0t11求导求导11()()()df tftFdt=wt0(2)（补充）（补充）()()()tdfdf tfd-=-()()()()-1ttdfdff tdfddd-=+-=蝌1()=F()=F2()2dFf ttdtwd=而11()()(0)()2()FFFjww=+pd w-pd ww例例2：代入上式得：8.时域微分特性时域微分特性()()f tF若 1()()j()df tFFdtw=ww则()()()j()nnndf tFFdtw=ww证明：书证明
12、：书P.134正向应用正向应用逆向应用逆向应用 应用：应用：（有条件）（有条件）时域微分性质应用举例：时域微分性质应用举例：1F()du(t)u(t)jdt=+pd ww已知,求的傅里叶变换正向应用：正向应用：例例1：（补充）：（补充）解：du(t)Fj F u(t)dt=w1()1jj=w+pd w=w用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换直接套用性质直接套用性质直接套用性质即：即：1,du(t)u(t)dt=已知F求的傅里叶变换。例：1du(t)Fj F u(t)dt=w=1F u(t)j=w？逆向应用：逆向应用：即：用微分后的傅氏变换来表示原函数
13、的傅氏变换即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换思考：思考：为什么结果错误？为什么结果错误？()()()0()()nnFfff tFjw+-=w=w当时，（）1d()()()()()dtf tf tFFj Fww=ww设，、例例2（补充）：（补充）：()1()()()()FFffjww=+p+-d ww证明：特别：所有的时限信号都满足上述条件。所有的时限信号都满足上述条件。()()ff+-其中、为有限值逆向应用条件逆向应用条件:sgn()t0t11sgn()t用时域微分性质求符号函数的频谱()()0ff非时限信号，但满足+-=()()()0 f tff 满足可以逆向应用时域微分性质解：(
14、)sgn()()f ttF0t11求导求导11()()()df tftFdt=wt0(2)1()2()FFjj逆向应用逆向应用例例3（补充）（补充）()y t0t10t思考思考:能否用时域微分性质求能否用时域微分性质求y(t)的频谱的频谱?()Y j易出错处：易出错处：逆向应用时域微分性质逆向应用时域微分性质是有条件的是有条件的()()0()()()nnffFf tFj只有当时，（）+-=ww=w已知三角脉冲信号已知三角脉冲信号)2(0)2()21()(tttEtftE022()f t求其频谱求其频谱()F w例例4（书例（书例3-6）()F w2()FwtE2022E2E4求导求导解一：用时
15、域积分性质解一：用时域积分性质注意：微积分关系式成立的条件注意：微积分关系式成立的条件11()()tdff tdd-=()()tdff tdd-=tE2022E21()()df tf tdt=12()()df tf tdt=tE022()f t1()F w再求导再求导逆向应用逆向应用22jj2222E()F()F(t)(t)2(t)222E8E(ee2)sin()4Ff ttt-wwttw=d+d-dtwt=+-=-tt22()(0)FFw第一步：求及：212()()(0)(),jFFFww=+pd ww11()()tdff tdd-=21()()FFww第二步：利用求：22(0)()dt0F
16、f t-=且221()18E(sin()jj4FFwwtw=-wwt）22(0)()dt0Ff t-=而1()dfdw且（）已求出。2212()18E()sin()()j(j)424FEFSawwttwtw=-=wwt1()()FFww第三步：利用求()()()tdfdff tddd-=w且（）已求出。1111()()(0)(),(0)()dt0jFFFFf t-ww=+pd w=w而)()f tFwtE02211()()()df ttdtFf=w2222()()(df ttdtFf=wtE2022E2E4求导求导再求导再求导tE2022E2解法二：用时域微分性质解法二：用时域微分性质()()
17、()0 f tff 满足可以逆向应用时域微分性质第一步：判断能否逆用第一步：判断能否逆用逆向应用逆向应用第二步：求出二阶导数的频谱第二步：求出二阶导数的频谱F2(w).2222()()()()()()FTFTf tF wd f tF wjw F wdt 第三步：逆向用时域微分性质求第三步：逆向用时域微分性质求f(t)的频谱的频谱F(w)：222222()28E()2sin()4jwjwFTd f tEF weedt)(2)2()2(2)(22tttEdttfd2221()()()()24EF wF wSajw2()()24EwF wSa其幅频图其幅频图02E)()(422wSaEwF4848w
18、解法一：用时域积分性质解法一：用时域积分性质解法二：用时域微分性质解法二：用时域微分性质思考：思考：2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？1、本例两种方法中哪种更简单？、本例两种方法中哪种更简单？解法三解法三：应用时域卷积定理应用时域卷积定理至于微分几次要视实际情况来定至于微分几次要视实际情况来定2、逆向应用两性质的思想是相同的：、逆向应用两性质的思想是相同的：1、正向应用时：、正向应用时：直接套用公式，没有要注意的问题直接套用公式，没有要注意的问题3、时域微分性质比时域积分性质方便、时域微分性质比时域积分性质方便即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数
19、的傅氏变换即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换时域积分和时域微分两性质的比较：时域积分和时域微分两性质的比较：dj()ddj()dnnnFtf tFtf t则 d()dd()()dnnnnFtf tjFt f tj或 证明证明:略略思考：思考：1()()()?f atFf at设则-jt1()dFd9.频域微分特性频域微分特性()()f tF若 求单位斜变信号求单位斜变信号f(t)=tu(t)的频谱的频谱补充例补充例1：解：解：21()()1()1()()u tjdjtu tjjd 求信号求信号f(t)=t的频谱的频谱解：解：注意注意“1”的作的作用用12()2()12()dtjjd 补充例补充例2：频域积分特性：频域积分特性：（用的少）10.帕塞瓦尔定理（帕塞瓦尔定理（Parserval定理）定理）（补充）21()()2GF2nFw22()()1()()2f tFf tdtFd若则0022()1()TntTTntnftFftdtFT若则（能量守恒）（能量守恒）（功率守恒）（功率守恒）能量谱：能量谱：功率谱：功率谱：功率谱仅与幅度谱有关，功率谱仅与幅度谱有关，与相位谱无关与相位谱无关。1(),()jntTTnnftftF e对周期信号能量谱仅与幅度谱有关，能量谱仅与幅度谱有关，与相位谱无关与相位谱无关。对能量有限信号:
