1、1 引言第八章 非线性控制系统分析非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。一控制系统中的典型非线性特性l一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；利的；l另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制
2、系统中加入这类特性，一般来器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。非线性系统分析1)(txatetkasigneatetke)()()()(饱和特性式 中 a线 性 区 宽 度k线 性 区 特 性 的 斜 率0)(10)(1)(tetetsigne（2）死区特性atetasignetekatetx)()()()(0)(式中 a死区宽度k-线性输出的斜率2式中 2间隙宽度k间隙特性斜率危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对稳定性，使系统产生自持振荡。（3）间隙非线性0)()(0)
3、()(0)()()(txtbsignetxtektxtektx3功能：改善系统性能的切换元件（4）继电器特性0)(,)(0)(,)()()(0)(,)(00)(,)(0)(tematebtematebatetbsignetemateateatematx4二非线性控制系统的特性（1）对于线性系统，它的根本标志就在于能使用叠加原理。目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持问题的重点放在系统是否稳定，系统
4、是否产生自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时系统稳定，而初始值小时不稳定。5（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。自
5、持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡，简称自振荡。改变非线性系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消除自持振荡。对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，不可能产生稳定的自持振荡。6（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。三非线性系统的研究方法现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统：相平面法高阶系统：描述函数法72.相
6、平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。一基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述),(xxfx （1）如果以x和x 作为变量，则可有),(xxfdtxdxdtdx （2）用第一个方程除第二个方程有xxxfdxxd),(（3）这是一个以x为自变量，以x 为因变量的方程，如果能解出该方程，则可以用（2）式把tx,的关系计算出来。因此对方程（1）的研究，可以用研究方程（3）来代替。如果把方程（1）看作质点的运动方程，则x代表质点的位置，x 代表质点的速度（因而也代表了质点的8动量）。用x和x 描述方程（1）的解，也就是用质点的状态（如位置和动量）来表示质点的运动。在物理学
7、中，这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标的x和x 的平面称为相平面，相平面是二维的状态空间。二线性系统的相轨迹设描述系统运动的微分方程为022xwxwxnn 分 别 取x和x 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标，上 述 方 程 为：022xwxwdtdxdxxdnn则 xxwxwdxxdnn22上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率，在0 x及0 x，即坐标原点（0，0）处的斜率为00dxxd，由此我们有奇点的定义9奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。（1）无 阻 尼 运 动
8、 形 式（0）dxxdxxwn2积分有 xdxwxdxn22222Awxxn（2）欠阻尼运动形式)10(10（2）欠阻尼运动形式)10(（3）过阻尼运动形式（1）（4）负阻尼运动形式（01）11（5）1（6）12三.相轨迹的绘制（1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出x和x 的关系用求解微分方程的 办法找出xx,的关 系，从而 可在相平 面上绘 制相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为a.消去参变量t由),(xxfx 直接解出)(tx，通过求导得到)(tx。在这两个解中消去作为参变量的t，就得到xx的关系。例 设描述系统的微分方程为 0 Mx 其中 M 为常量，已知初始条件xxx)0(,0)0(
9、。求其相轨迹。解：Mx，积分有 Mtx (1)再积分一次有 221Mtxx (2)由(1),(2)式消去t有)(22xxMxM=1 M=-1 13b.直接积分法dxxdxdtdxdxxddtxdx),(xxfdxxdx上式可分解为 dxxhxdxg)()(则由 xxxxdxxhxdxg)()(可找出xx 得关系在上式中 由Mx 可有MdxxdxxMdxxd积分有 )(2)(2122xxMxxxMx可见两种方法求出的相轨迹是相同的（2）图解法a.等倾线法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线14原理：),(xxfx 因 dxxdxx 故有 xxxfdxxd),(式中dxxd为相轨迹在某
10、一点的切线的斜率 令dxxd，则xxxf),(I满足此方程的点),(xx 出的斜率必为，有上式确定的xx关系曲线称为等倾线。相轨迹必然以的斜率经过等倾线步骤：a.根据等倾线方程式I，做出不同值的等倾线b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。15例 做出0 xxx 的相轨迹 1)0(x 0)0(x解：（1）等倾线方程xxdxxdxxxxdxxd故等倾线方程为xx11显然为直
11、线该等倾线的斜率为11tg1 9016对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为tg 45)1(arctg94215.002.04.011435.228.16.14.12.1 7.53.114.186.266.33453.51597.54.186.267.33453.51592.687.78 3.84764.63456.2603.118.218.84766.712.684.6361584.545017五非线性系统的相平面分析1基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。
12、极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。（1）稳定极限环 在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。18（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。19一般非线性系统可
13、用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转20换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：（1）将非线性特性用分段的线性特性来表示，写出相应线段的数学表达式。（2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上
14、的位置。（4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。（6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例2.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号21（1）)(1)(tRtr （2）vtRtr)(作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。1k 1K 1T 初始状态 0)0(c 0)0(c 解：死区特性的数字表达式为eeeeeeeeeex0线性部分微分方程为KxccT 而 cre故有 rrTKxeeT 根据死区特性，系统可分为三个区I区 rrTeeT ee II区
15、rrTeeKeeT )(eeIII区 rrTeeKeeT )(ee22（1）)(1)(tRtr三个区的微分部分分别为I 0 eeT ee II 0)(eeKeeT eeIII 0)(eeKeeT ee在I区 Tdeed1常量 说明相轨迹是斜率为T1的直线在II区 eeeKedeed)(奇点为 eee,0 奇点正好位于 I，II区分界线上令 deed则有等倾线方程 1)(eeKe即 1K的直线方程过)0,(e点2325.12.11.15.0101 454.637.787.54.6390456.26 3.643.56508.846.2645045同理在III区，等倾线为1)(eeKe起始坐标0)0
16、()0()0()0()0()0()0()0(ccreRcRcre（2）vtRtr)(veeT ee 渐近线 ve veeKeeT)(ee 实奇点)0,(eKvveeKeeT)(ee 虚奇点(0,eKv)24例3解：)(10trKxeeTcerKxccT MMMsignex00 meemeeeemeeeeeme 0000eeee25I 0 eeT 0,0,emeeeeeemeII 0KMeeT 0,emeeeeIII 0KMeeT 0,emeeeeI区 相轨迹斜率为T1的直线或0e II、III区 等倾线 11KMeKMe渐近线 KMeKMe0衰减振荡，最终稳态误差为常值-26非非线性系统的典型
17、结构可由下图所示线性系统的典型结构可由下图所示.描述函数法的描述函数法的基本思想基本思想是用某一数学方法是用某一数学方法,将非线性系将非线性系统谐波线性化后统谐波线性化后,引用分析线性系统的频率响应法引用分析线性系统的频率响应法.为为此此,非线性系统本身非线性系统本身必须满足以下条件必须满足以下条件:(2)非线性环节的输入信号非线性环节的输入信号)(tx是幅是幅值为值为A的正弦信号的正弦信号,不不包含恒定直流分量包含恒定直流分量;(3)非线性环节的输出信号非线性环节的输出信号)(ty一般情况下是非正弦信一般情况下是非正弦信号号,从付里叶级数角度看从付里叶级数角度看,它是直流分量它是直流分量 0
18、y,一次谐波即一次谐波即基波基波分量分量)(1ty及高次及高次谐波分量谐波分量),(),(32tyty的的叠加叠加.如线性如线性8-4.8-4.描述函数法描述函数法(1)(1)非线性环节非线性环节N N的特性不是时间的函数的特性不是时间的函数,即是非时即是非时变的变的;27部分具有良好的低通虑波特性部分具有良好的低通虑波特性,能将能将中的高次谐波中的高次谐波)(ty分量有效地虑掉分量有效地虑掉,则可近似认为只有则可近似认为只有)(ty中的一次谐中的一次谐波波分量分量)(1ty沿闭环沿闭环通道传送通道传送;(4)要求沿闭环通道传送的信号不能有要求沿闭环通道传送的信号不能有)(ty的的直流分直流分
19、量量0y,因此非线性环节的特性必须斜对称因此非线性环节的特性必须斜对称,即满足如下即满足如下关系式关系式:)()(xfxf,则则)(ty的直流分量的直流分量00y 2.描述函数的定义描述函数的定义 非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数的复数比定义为非线性环节的描述函数,即即:)21(11jeAYN 式式(21)中中:N为非为非线性环节的描述函数线性环节的描述函数;A是非线性环节正是非线性环节正弦输入信号弦输入信号的幅的幅值值;1Y为为非线性环节输出信非线性环节输出信号号一次谐波分量的幅值一次谐波分量的幅值;1
20、输出一次谐波分量和输出一次谐波分量和输入正弦信号的初相位之差输入正弦信号的初相位之差.28描述函数的一般计算公式如下描述函数的一般计算公式如下:设非线性环节输入正弦信号设非线性环节输入正弦信号tAtxsin)(,非线性环节非线性环节的非的非正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为:10)sincos()(nnntnBtnAyty根据上述条件根据上述条件(4)有有:,00y根据上述条件根据上述条件(3)有有:tBtAtysincos)(111上式上式中中:20112011sin)(1,cos)(1ttdtyBttdtyA因此因此)sin()(111tYty,左式中
21、左式中:)/(,111121211BAtgBAY,从而描述函数式从而描述函数式(21)表为表为)22(11)/(1111AAjABeAYNBAjtg29 采用描述函数法研究非线性系统采用描述函数法研究非线性系统,其优点是不管非其优点是不管非线性系统的线性部分是几阶的线性系统的线性部分是几阶的,它均能被采用它均能被采用.但用它研究问题的范围但用它研究问题的范围仅限于分析和校正非线性仅限于分析和校正非线性系统的稳定性系统的稳定性,稳定性的性质稳定性的性质,如自激振荡的稳定性和如自激振荡的稳定性和振荡参数振荡参数.不能研究非线性系统的瞬态响应性能不能研究非线性系统的瞬态响应性能,且且非线性系统无外加
22、输入信号非线性系统无外加输入信号,线性部分要具有良好的线性部分要具有良好的低通虑波特性低通虑波特性,以满足分析的精度要求以满足分析的精度要求.30饱和特性数学表达式为由于y(t)为单值对称函数，故有 0,001AA)(ty)(txkkakaaa0)(txAtA022)(tytkaka022二典型非线性特性的描述函数（1）饱和特性的描述函数ttkAtkattkAtysin0sin)(31由于由于为奇函数为奇函数,则则tsinttysin)(为偶函数为偶函数,所以所以)cossincos2(4)sin)(sin(4sin)(12/02/02201tkatttkAttdkatdtkAttdtyB)/
23、(1(sin2)/(10()/(1(sin24)/(1cos/sin2122112AaAaAakAAakaAaAaAakABAaAaaAkaAAaAaAakeAYANBAtgBBAYj)/(1)/(sin2)(0)/(,2111111121211132（2）死区特性描述函数wtAtesin)(死区特性数学表达式为33wtAtesin)(死区特性数学表达式为00)sin(0)(1111wtwtwtawtAktxx(t)为单值奇对称函数，故有 0,0,0101AA201)(sin)(1wtwtdtxB 21112222)(1arcsin22cos22sin2122cos)2sin4121(4sin
24、)sin(41111AaAakakakAwtkawtwtkAwtdwtawtAk 2)(1arcsin22)(AaAaAakAN34（4）继电特性描述函数AmemeAAeeA02020101arcsin)sin(arcsinsin)(tx奇对称 00A wtwtMwttx2211000)(201cos)(1wtdwttxA3521cos2wtdwtM21sin2wtM)sin(sin212M)1(20mAMe201sin)(1wtdwttxB202012)(1)(12)cos(cos2sin221AeAmeMMwtdwtMAAjABAN11)()1(2)(1)(1(202020MAMejAeA
25、meAM36 1m20)(14)(AeAMAN 00eAMAN4)(1M20204)(14)(AMejAeAMAN37(6)典型非线性环节串联时的描述函数两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符和谐波线性化的条件，故不存在描述函数)(2AN，求取串联环节的传递函数时应求取其等效非线性特性的描述函数。例1求取非线性环节的等效形式解：axMyeeeekx00)(令 )(0eeka 0ekae 即 0eka38例2)(22xky)(11ekx 121211212121112)()(kkkkekkekkkekky39三.非线性控制系统的描述函数分析(1)控制系统的稳定性分析)()(1)()()()(j
26、wGANjwGANjwRjwC特征方程为)(1)(0)()(1ANjwGjwGAN 非线性特性的负倒描述函数相当于 1)(jwG40Nyquist 图上分析谐波线性化系统稳的准则是（a）)(jwG不包围)(1AN曲线则系统稳定（b）)(jwG包围)(1AN曲线则系统不稳定（c）)(jwG于)(1AN曲线相交，则可能产生自持振荡41（2）典型非线性特性对系统的稳定性的影响例1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。解：该继电特性的描述函数为AMAN4)(，这里 M=1，其负倒特性为AAN4)(1虽然当 A从0变化时)(1AN从0变化即)(1AN在 Nyquist
27、 图上为负实轴线性部分)2)(1(10)(ssssG42)()(Re)2)(1(10)(jwGjIjwGjwjwjwjwGm270)(0)(90)()(0jwGjwGwjwGjwGw)(jwG与)(1AN的交点为稳定极限环)23(10)(2ssssG2310)(2jwwjwjwG )3()2(32102222wwwjwwj )45()2(10453024224wwwwjww由 )(1)(ANjwG43有：)(1)(Re00ANjwG舍负20)(00wjwGIm故02444)2(5)2(30A解得：12.2184300A因此自持振荡的振幅和频率为2,12.200wA44例 2.研究如图所示的非线
28、性系统，图中7.0,7.10eM，试判断是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。继电特性的描述函数为)1(2)(1)(1(2)(202020mAMejAeAmeAMAN这里 1m 故有200000200020)(14)()(1414)(AeAeANkeMAeAeeMAeAMAN451)(4)(114)(120202000eAeAABABAN极大值20eAAe0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6)(1AN -7.89 -4.81 -2.74 -2.14 -1.81 -1.64 21 0.8 0.9 0.95 1 -1.57 -1.64 -2 -2.65 -线性部分)(0jwGk w 120 150 180 200 250 300 400)(jwG -156.90 -166.90 -175.20 -1800 -190.20 -198.40 -2110)(0jwGK 5.708 3.867 2.749 2.234 1.406 0.942 0.47846由图可知,交点处200w时有84.138.07.038.076.092.07.092.02010AAeAAe 稳定47
