1、山西省部分学校山西省部分学校 2022-20232022-2023 学年高三上学期期末考试学年高三上学期期末考试数学数学考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共一、选择题：本题
2、共8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.设全集U R R，集合A x 3 9，B x 2x4，则A.1,02.在复平面内，A.第一象限B.0,5C.0,5xUAB D.2,23i对应的点位于1iB.第二象限C.第三象限D.第四象限3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术，新结构的汽车.新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电
3、动汽车（BEV，包括太阳能汽车）燃料电池电动汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是 2022年我国某地区新能源汽车的前5 个月销售量与月份的统计表：月份代码x销售量y（万辆）10.520.63141.451.5由上表可知其线性回归方程为y bx0.16，则b的值是A.0.284.已知sinB.0.32C.0.56D.0.64sin2，则的值为1tan44B.A.3434C.32D.32y25335.2xx y的展开式中，x y的系数是xA.5B.15C.20D.256.已知函数fx 2cos的最大值是A.2x23s
4、inx1（0，xR R），若fx在区间,2内没有零点，则16B.34C.1112D.537.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA平面ABCD，PA 3AB，则直线PB与直线AC所成角的余弦值是A.110B.55C.15D.5108.设a 32 3sin1，b，c，则2963B.c a bC.a c bD.c b aA.a b c二、选择题：本题共二、选择题：本题共4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的
5、得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.已知a b 0，c d 0，则下列不等式成立的是A.a c baB.abdc2C.abab22cdD.cab dab10.已知点A1,0，B1,0均在圆C:x3y3 rA.实数r的取值范围是0,13B.AB 2C.直线AB与圆C不可能相切r 0外，则下列表述正确的有D.若圆C上存在唯一点P满足AP BP，则r的值是3 2 111.已知函数y fx1是R R上的偶函数，对任意x1,x21,，且x1 x2都有fx1 fx2 0成立，x1 x22a flog28，b floge1ln2，c f e，则下列说法正确的是4 A.函数y fx在区
6、间1,上单调递减B.函数y fx的图象关于直线x 1对称C.c b aD.函数fx在x 1处取到最大值12.已知过抛物线C:y 4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为 4，则下列说法正确的是A.弦AB的中点坐标为13,4 3C.AB 162B.直线l的倾斜角为 30或 150D.AF BFAB1三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.已知函数fx aex x28x的图象在点0,f0处的切线斜率为5，则a _.14.已知向量a，b满足a 3 b 3，ab b，则sin a,b _.15.在三
7、棱锥P ABC中，PA BC 2 5，PB AC 13，AB PC 5，则三棱锥P ABC的外接球的表面积是_.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，点P为它们的一个交点，且F1PF2222，则e1e2的取值范围是_.3四、解答题：共四、解答题：共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知数列an的前n项和为Sn，且a1 3，an1 2Sn3 nN N（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足bn*.log3an3，记数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.an418.
8、（本小题满分 12 分）某大型工厂有 6 台大型机器，在 1 个月中，1 台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为1.已知 1 名工人每2月只有维修 2 台机器的能力（若有 2 台机器同时出现故障，工厂只有1 名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂每月获得10 万元的利润，否则将亏损2 万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1 万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修（例如：3 台大型机器出现故障，则至
9、少需要 2 名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有 1 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有 2 名维修工人.（）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1 名维修工人？19.（本小题满分 12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知点D在边AC上（不含端点），AB BD CD.（1）证明：bc a c；（2）若cosABC 229，c 1，求ABC的面积.1620.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，D，E分别为AA1，B1C的中点.（1）
10、求证：DE平面ABC；（2）若DE BC，二面角A BD C的大小为，求直线B1C与平面BCD所成角的大小.3x2y221.（本小题满分 12 分）已知椭圆C:221a b 0的左、右顶点分别为A1，A2，A1A2 4，且过ab点2,6.2（1）求C的方程；（2）若直线l:y kx4k 0与C交于M，N两点，直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程.22.（本小题满分 12 分）已知函数fx alnx（1）若函数fx的最小值为a，求a的值；21aR R.x（2）若存在0 x1 x2，且x1 x2 2，使得fx1 fx2，求a的取值范围.高三数学参考答案、提示及评
11、分细则高三数学参考答案、提示及评分细则1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.D8.B9.BD10.ABD11.BC12.BCD13.314.2 2315.2916.2,17.（1）解：当n 1时，a2 2S13，即a2 2a13 9；当n 2时，由an1 2Sn3 nN N*，得an 2Sn13，两式相减得an1 3an.又a2 3a1，所以an13annN N，所以an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.*所以an33n13n.（2）证明：由（1）知bn2log3annn，an311所以Tn12331111n，Tn123333n231n3n1，两式相减得Tn23111123433331
12、1 1n1n12n333nnn1n1，n1133322313所以Tn32n32n33 0T.又，所以.nnn44343418.解：（1）因为该厂只有 1 名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2 台大型机器出现故障，111111121故该工厂能正常运行的概率为1C61C61.2222232（2）（）X的可能取值为 34，46，58，652411PX 34，264113PX 46 C 1，22325656PX 581则X的分布列为1357，643264X344658P1643325764故EX 3413571134658.6432642（）若该厂有 3 名维修工人，则该厂获利的数学期望为
13、6103 57万元.因为113 57，所以该厂应再招聘1 名维修工人.219.（1）证明：若b c时，则点D与A点重合，不满足题意，故b c，因为AB BD CD，所以A 2C，a2b2c2所以sin A sin 2C 2sin CcosC，由正弦定理及余弦定理得a 2c，2ab即a b a cb cc，所以a22232bccb2c2cbcbc，22因为b c，所以bc 0，所以a2 cbcbcc2，所以bc a c.（2）解：由b a c 2accosABC及cosABC 2229922，c 1，得b a 1a，168由（1）知bc a c，所以b a 1，所以a 133222229 a21
14、a，8整理得8a 24a90，令2a t得：t 12t 90，2即t 3t 3t 3 0，解得t1 3，t2321321 0（舍去），t3，22由b a 10，得a 1，而a 2t232131舍去，故a 2422所以SABC13 9 15 7acsinABC 1.24166420.（1）证明：取BC的中点M，连结AM，EM.则DABB1，且DA11BB1，EM BB1，且EM BB1.22所以DAEM，且DA EM，所以四边形AMED为平行四边形，所以DEAM.又AM 平面ABC，DE 平面ABC，所以DE平面ABC.（2）解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB1，AC
15、bb 0，AA1 2cc 0，则B1,0,0，C0,b,0，D0,0,c，B11,0,2 c，E1 b,c，2 2所以DE 1 b,0，BC 1,b,0.22因为DE BC，所以DE BC 0，所以b 1.又BC 1,1,0，BD 1,0,c，设平面BCD的一个法向量n x,y,z，x y 0nBC 0则所以，xcz 0nBD 0令x 1，则y 1，z 11，所以n 1,1,；cc又平面ABD的一个法向量AC 0,1,0，所以cos3n ACn AC，所以1211112c，解得c 2，所以n 1,1,2.2又B1C 1,1,2，设直线B1C与平面BCD所成的角为，则sin cos n,B1Cn
16、B1Cn B1C112112 1121，2所以直线B1C与平面BCD所成角为.621.（1）解：因为A1A2 4，所以2a 4，解得a 2.因为C过点2,6，所以2 2426221，解得b 3.b2x2y21.所以C的方程为43（2）证明：设Mx1,y1，Nx2,y2，所以lA1M:y y1y2x2l:y，A2Nx2.x12x22y kx42222由x2y2，整理得34kx 32k x64k 12013 4则 32k221132k2434k64k 12 0，解 得 k 且k 0，x1 x2，234k222264k212x1x2.234ky12y22y1y x2x12x 2x122kx24x12
17、2kx14x222x1x26x12x2由得x 2yykx24x12kx14x223x2 x182y y2x21x22x12x2264k21232k22x1x22x1 x24x1234k2234k24x11，232k3x1 x284x1384x134k2所以点G在定直线x 1上.22.解：（1）由题意知函数fx的定义域为0,，f xa1ax122.xxx当a0时，f x 0在0,上恒成立，故fx在0,上单调递减，无最小值.当a 0时，令f x 0，得0 x 11；令f x 0，得x，aa所以fx在0,1 1,上单调递减，在上单调递增，aa1 1 alna aalna.aa2所以fxmin f所以
18、aalna a，即lna a 1.设ga lnaa，则ga所以ga为0,上的增函数，又g11，所以a 1.（2）由fx1 fx2，得alnx111 0，ax1111 alnx2，即aln2 0，x1x2x1x2x1又x1 x2 2，所以alnx2x1 x2x1 x2xxx 0，得aln212 0.x12x22x1x12x22x1令t x2111tt 1，则alnt t 0，令ht alnt，x12t22t2故问题可转化为函数ht在区间1,上有零点.a11t22at 1ht2，其中h1 a1.2t2t22t因为函数y t 2at 1的对称轴的方程为t a，且当t 1时，y 2a1，2故当a1，则
19、y 0在1,上恒成立，所以ht 0在1,上恒成立，所以ht在1,上单调递减，因为h1 0，所以ht 0，故ht在区间1,上无零点，不合题意.当a 1，令ht 0，得t 2at1 0，4a 4 0，故ht 0有两不等实根t1和t2，22设t1 t2，且t1t21，t1t2 2a 0.故0 t11 t2.易知在1,t2上，ht 0，在t2,上，ht 0，所以ht在1,t2上单调递增，在t2,上单调递减，又h1 0，故在1,t2上ht h1 0，故ht在1,t2上无零点；下面证明函数ht在减区间t2,上存在零点.1e2a1e2a2 2a 2a取t ea 1，则he alne2a，2e22e22a2a2a1111e2a2a2当a 1时，2a2，则he 2a.222e2e21e2a令ma 2a，则ma 4ae2a，222令a 4ae2a，当a 1时，a 42e2a 42e2 0，所以，函数a在1,上单调递减，又1 4e2 0，所以a 0，即ma 0在1,上恒成立.1e2a5e22a2a 0，0，所以ma 2a 在1,上单调递减，所以he ma m1即h e22222 又ht2 0，所以ht2h e 0，所以ht在减区间t,上存在零点.2a2综上，实数a的取值范围是1,.
