1、淮北市2023届高三第一次模拟考试数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合和，则集合的元素个数为（ ）A1B2C3D42已知复数z在复平面内对应点的坐标是，则（ ）ABCD3如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）A三棱锥B四棱锥C三棱柱D组合体4已知则（ ）ABCD5在平面直角坐标系中，点，在椭圆上，且直线OA，OB的斜率之积，则（ ）A1B3C2D6如图，在平面直
2、角坐标系中，分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段弧上，角以Ox为始边，OP为终边若，则点P所在的圆弧是（ ）ABCD7如图，对于曲线所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点A，B恒有成立，则称角为曲线的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点O的“确界角”已知曲线（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（ ）ABCD8对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，则（ ）AA与B不互斥BA与D互斥但不对立CC与D互斥DA与
3、C相互独立二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知D是的边BC上的一点（不包含顶点），且，其中，则（ ）ABCD10已知函数，则（ ）A在单调递增B有两个零点C曲线在点处切线的斜率为D是奇函数11已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（ ）A若A点横坐标为8，则B若，则的最小值为6C原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点D若，则以线段AB为直径的圆的面积是12如图，以正方形的一边为斜边向
4、外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A、B、C、D，其面积记为，则下列结论正确的有（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中的常数项为_（用数字作答）14已知直四棱柱的底面是菱形，棱长均为4，的中点分别为P、Q，则三棱锥的体积为_15设若互不相等的实数，满足，则的取值范围是_16已知双曲线过点，则其方程为_；设，分别为双曲线C的左右焦点，D为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是_（第
5、一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本题满分10分）设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，（1）求角B的大小（2）若，求的面积18（本题满分12分）已知数列满足，（）求证：数列是等比数列；（）若，为数列的前n项和，求19（本题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，（）求证：面面ABCD；（）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由20（本题满分12分）为弘扬中华优秀传统文化，
6、荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550（）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；（）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系（结论不要求证明）21（本题满分12分）已知椭圆，A、F分别为的
7、左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），（）求椭圆的离心率e；（）若，直线，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，（）若l过F，求的值；（）若l不过原点，求的最大值22（本题满分12分）已知函数，（）讨论函数的单调性；（）当时，令（）证明：当时，；（）若数列满足：，证明：淮北市2023届高三一模数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BDBCACBDADACBCDBC二、填空题13240；14；1516，12解：设，最大正方形边长为1，小正方形A、B、C、D的边长分别为a，b，c，d则，所以，故C正确，故B正确所以选BC16解由双曲线过
8、点，所以，所以方程为如图：设的内切圆与，分别切于H，D，G，所以，所以，又，所以，又，所以G与重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为，则，当时，当时，由题知，因为A，B两点在双曲线的右支上，且，所以或，且，综上所述，故答案为：；三、解答题17（本题满分10分）解：（1）由得，即，则，所以（2）注意到，由得，即又，所以则所以18（本题满分12分）（1）注意到，则，即所以是以为首项，以3为公比的等比数列（2）由（1）知，故所以故，两同乘以3，错位，两式相减得所以，19（本题满分12分）（1）证明：在中，因，所以，即，又，PB，AB相交，所以面PAB，所以面面ABC
9、D得证（2）假设存在点Q，使得平面平面PAD如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设是平面PAD的法向量，则，取设，其中则连接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故取与同向的单位向量设是平面BEQF的法向量，则，取由平面平面PAD，知，有，解得故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面PAD另，用几何法也可：由题意及（1）得，取E为PA中点，则所以面BEQF，故平面平面PAD在中，E为中点，进而求解。请阅卷老师相应给分!20（本题满分12分）解：（）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，记“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，（）由己知可得，得可
10、能取值为0，1，2，的分布列为012p（）理由：，21（本题满分12分）解：（）由己知点M是以AO为直径的圆上的点，又，又点M在椭圆上，整理得，（）设，（）由，椭圆的方程为：在中，直线l的斜率为，直线l的方程为，与椭圆方程联立得整理得：，（）设直线l的方程为，与椭圆方程联立得消去x整理得：，当得，当且仅当时，有最大值，此时最大值是22（本题满分12分）解：（1）由题意得：当时，恒成立，得在上单调递增：当时，时，此时单调递增，时，此时单调递减，综上得：当时，在上单调递增，当时，在单调递减，在上单调递增。（2）（）当时，欲证，往证，即证，记，得，故在上单调递减，得，故当时，成立（）由（）得当时，故当，得，进而，依次得，欲证，即证下面先证关系，即证，即，整理得即证：记，得又，所以在上单调递增，有，所以在上单调递增，得，故当，时，有，所以，故又，得，所以所以得证
