1、 第 11 讲 反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念 1下列函数中，是反比例函数的是(C) Ay3x By1 3x Cy 1 3x Dy3 x1 知识点 2 反比例函数的图象与性质 2已知反比例函数 yn5 x 的图象经过点(2，3)，则 n 的值是(D) A2 B1 C0 D1 3若反比例函数 y1 x的图象上有两点 A(1，y1)，B(2，y2)，则 y1y2.(填“”“”或“”) 知识点 3 反比例函数中 k 的几何意义 4如图，点 A 为反比例函数 y4 x图象上的一点，过 A 作 ABx 轴于点 B，连接 OA，则ABO 的面积为(D) A4 B4 C2 D2 知识点 4 确定反
2、比例函数的解析式 5已知点 P 在双曲线 yk x(k0)上，点 P(3，5)与点 P 关于 y 轴对称，则此双曲线的解析式为 y 15 x 知识点 5 反比例函数与一次函数综合 6如图，已知反比例函数 yk x的图象与直线 yxb 都经过点 A(1，4)，且该直线与 x 轴的交点为 B. (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)求AOB 的面积 解：(1)把 A(1，4)代入 yk x，得 k144， 反比例函数的解析式为 y4 x. 把 A(1，4)代入 yxb，得 1b4，解得 b5. 直线的解析式为 yx5. (2)当直线的解析式中 y0 时， x50，解得 x5，则 B(5，0)
3、SAOB1 25410. 知识点 6 反比例函数的实际应用 7一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/小时的平均速度用了 4 小时到达乙地当他按照原路返回时，汽车 的速度 v(千米/小时)与时间 t(小时)的函数关系是(B) Av320t Bv320 t Cv20t Dv20 t 重难点 1 反比例函数的图象和性质 已知反比例函数 yk x，完成下列问题： (1)若 kx1x2 或 x1x20 或 x10)， y 4 x(x0)的图象上， 且OAOB， 则OB OA的值为(B) A. 2 B2 C. 3 D4 【变式训练 3】 (2017 咸宁)在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有
4、45角的直角三角板如图放置，直角顶点 C 的坐标为(1，0)，顶点 A 的坐标为(0，2)，顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿 x 轴正方向 平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点 C 的对应点 C的坐标为(C) A(3 2，0) B(2，0) C(5 2，0) D(3，0) 方法指导“积不变”是反比例函数的核心性质， 从反比例函数 yk x的图象上的任意一点， 向两坐标轴作垂线， 与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|；从反比例函数 yk x的图象上的任意一点，向 x 轴或 y 轴作垂线，则以这点与垂 足、原点为顶点的三角形面积等于|k 2|.当题中条件不能
5、直接求出 k 值时，若有线段相等或角相等时可考虑用全等或相 似来解决有关问题 易错提示 在运用 k 的几何意义确定 k 值时，一定要结合函数图象确定 k 取值的范围，否则易出现符号错误 重难点 3 反比例函数与一次函数综合 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1axb(a，b 为常数，且 a0)与反比例函数 y2m x(m 为常数，且 m0)的图象交于点 A(2，1)，B(1，n) (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接 OA，OB，求AOB 的面积 【思路点拨】 本题重点考察一次函数与反比例函数的综合应用(1)要求一次函数与反比例函数的解析式，转 化为确定 A，B 两
6、点的坐标，已知 A 点坐标，从而确定出 B 点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；(2) 题中不能直接求出AOB 面积，可转化为几个三角形面积之和来求解 【自主解答】 (1)由题意，得点 A(2，1)在反比例函数 y2m x的图象上， 1 m 2.m2. 反比例函数解析式为 y22 x. 又点 B(1，n)也在反比例函数 y22 x的图象上， n2 1 2.B(1，2) 点 A，B 在一次函数 y1axb 的图象上， 12ab， 2ab. 解得 a1， b1. 一次函数解析式为 y1x1. (2)设直线 AB 交 y 轴于点 C，OC1.分别过点 A，B 作 AEy 轴，BFy 轴，垂
7、足分别为 E，F. A(2，1)，B(1，2)，AE2，BF1. SAOBSAOCSBOC 1 2OC AE 1 2OCBF 1 212 1 211 3 2. 方法指导 (1)一般先求反比例函数解析式，因为它只需一个点的坐标；然后再根据反比例函数解析式求另一个交点坐标； 最后根据两个点的坐标求一次函数解析式； (2)先求出一次函数与 y轴的交点坐标， 然后利用“割补法”， 将要求的三角形分割成两个三角形的面积之和 , 【变式训练 4】 如图，一次函数 ykxb 与反比例函数 y6 x(x0)的图象交于 A(m，6)，B(3，n)两点 (1)求一次函数解析式； (2)求AOB 的面积 解：(1)
8、A(m，6)，B(3，n)两点在反比例函数 y6 x(x0)的图象上， m1，n2，即 A(1，6)，B(3，2) 又A(1，6)，B(3，2)两点在一次函数 ykxb 图象上， kb6， 3kb2，解得 k2， b8. 一次函数解析式为 y2x8. (2)分别过点 A，B 作 AEx 轴，BCx 轴，垂足分别为 E， C 点，直线 AB 交 x 轴于 D 点 令2x80，得 x4，即 D(4，0) A(1，6)，B(3，2)， AE6，BC2. SAOBSAODSBOD1 246 1 2428., 变式点：将两个函数相交的方式改变，由交点在“两象限”变“一象限”. 方法指导：求两个交点与坐标
9、原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同一次函数图象与 x 轴的交点； 方法也是割补法，本题知识是用两个三角形的面积之差 拓展提问(3)探究：x 轴上是否存在点 P，使得 PAPB 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 解：点 B 坐标为(3，2)， 点 B(3，2)关于 x 轴的对称点为 B(3，2)，过点 A(1，6)，点 B(3，2)的直线解析式为 ykxb， 可得 kb6， 3kb2，解得 k4， b10. 直线 AB的解析式为 y4x10. 根据题意知，直线 AB与 x 轴的交点即为所求点 P， 当 y0 时，得4x100， 解得 x5 2. 故点 P 的坐标为(
10、5 2，0), 变式点：利用轴对称性质，在 x 轴上找一点到反比例函数图象上的两个点的距离和最短. 1(2017 台州)已知电流 I(安培)、电压 U(伏特)、电阻 R(欧姆)之间的关系为 IU R，当电压为定值时，I 关于 R 的函 数图象是(C) 2(2017 广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线 yk1x(k10)与双曲线 yk2 x(k20)相交于 A，B 两点，已知 点 A 的坐标为(1，2)，则点 B 的坐标为(A) A(1，2) B(2，1) C(1，1) D(2，2) 3反比例函数 yk x与一次函数 ykxk 在同一直角坐标系中的图象可能是(C) 4(2017 兰州)如图
11、，反比例函数 yk x(x0)的图象经过 A，B 两点，若点 A 的坐标为(n，1)，则 k 的值为 51 2 提示：由 A 点作 AE 垂直于 y 轴于点 E，作 AF 垂直于 x 轴于点 F，过点 B 作 BH 垂直 AF 于点 H，证明 AEOAHB.然后将 A，B 两点坐标表示出来，利用 xAyAxByB可求出 n 的值，既而求出 k.也可将此题与前一 题联系起来，构建相同模型来解题 14(2017 呼和浩特)已知反比例函数 yk 21 x (k 为常数) (1)若点 P1(1 3 2 ，y1)和点 P2(1 2，y2)是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较 y1 和
12、y2 的大小； (2)设点 P(m，n)(m0)是其图象上的一点，过点 P 作 PMx 轴于点 M，若 tanPOM2，PO 5(O 为坐标原 点)，求 k 的值，并直接写出不等式 kxk 21 x 0 的解集 解：(1)k210， n0 的解集为 x0. 15(2017 黄冈 T21，7 分)已知：如图，一次函数 y2x1 与反比例函数 yk x的图象有两个交点 A(1，m)和 B， 过点 A 作 AEx 轴，垂足为点 E；过点 B 作 BDy 轴，垂足为点 D，且点 D 的坐标为(0，2)，连接 DE. (1)求 k 的值； (2)求四边形 AEDB 的面积 (1)把 A(1，m)代入 y2x1 中，得 m213， 1 分 A(1，3). 2 分 A(1，3)在反比例函数 yk x的图象上， k 13.k3. 3 分 (2)设直线与 y 轴的交点为 M， 一次函数的解析式为 y2x1，M(0，1) MD3.AE3， 4 分 AE 与 MD 平行且相等 四边形 AEDM 为平行四边形. 5 分 D(0，2)，B(3 2，2) S四边形AEDBSAEDMSMDB 131 2 3 23 21 4 . 7 分
