1、 华大新高考联盟华大新高考联盟 2019 届高三届高三 4 月教学质量测评月教学质量测评 文科数学文科数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共 4 页，23 题（含选考题） 全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效 4选考题的作答：先
2、把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的 答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5考试结束后，请将答题卡上交 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一一项是满足题目要求的项是满足题目要求的 1已知集合21Axx Z， 2 230Bxxx Z，则AB的子集个数是（ ） A4 B8 C16 D32 2设i是虚数单位，且复数13 2zaii的实部与虚部互为相反数，其中a为实数，则a（ ） A5 B5 C3 D3 3函数 2x fxxx e在切点
3、1,1f处的切线方程是（ ） A0exye B0exye C0exye D0exye 4对某网店一周内每天的订单数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ，若已知该周内的平均订单 是 32 个，则该周内的订单数的方差是（ ） A 908 7 B 909 7 C130 D 911 7 5已知等差数列 n a中， 41015 15aaa，则 10 2a（ ） A8 B16 C32 D64 6甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动甲说： “乙去我就肯定去 ” ；乙说： “丙去我就不去 ” ；丙 说： “无论丁去不去，我都去 ” ；丁说： “甲乙中至少有一人去，我就去 ” 以下哪项推论可能是正确的（
4、 ） A乙、丙两个人去了 B甲一个人去了 C甲、丙、丁三个人去了 D四个人都去了 7若抛物线 2 20ypx p的准线与圆 2 2 881xy的直径垂直，且交点为直径的三等分点，则 p （ ） A10 B12 C10 或 22 D12 或 24 8我国古代数学名著（九章算术冲将正四校锥称为方锥已知半径为R的半球内有一个方锥，方锥的所有 顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为 16 3 则半球的表面积为 （ ） A4 B8 C12 D16 9一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A8 B 8 3 C16 3 D，16 10 已知实数x，y满足约束条件 3
5、220, 4, 220, xy y xy 则目标函数 22 12xyz， 的取值范围是 （ ） A 4 205 , 59 B 2 5 205 , 59 C 205 2, 9 D， 4 313 , 549 11已知以双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为 16，且双曲 线的两条渐近线将坐标平面四等分，则该双曲线的方程为（ ） A 22 1 88 xy B 22 1 1616 xy C 22 1 44 xy D 22 1 816 xy 12已知函数 f x是定义在R上的奇函数，且2f x是偶函数，给出下列结论： yf x的图象关于直线2x 对称
6、 yf x的图象关于点4,0对称 f x是周期为 4 的函数 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 18已知 3, 2, 2,2, x x f x xx ，则1ff _ 14已知向量4,3a ，2,bm，且向量b在a向上的投影为 4 5 ，则实数m的值为_ 15已知数列 1 n a 是等比数列， 2 1a ， 4 1 2 a ，则 6 a _ 16若 2cos 20f xx的图象关于直线 3 x 对称，且当取最小值时，0, 2 x ，都使 得 lnf xa恒成立，则a的取值范围是_ 三三、解答题：解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 coscos2 coscos 2 aBbAcAB sinsincAB （）求角C的值； （）若ABC的面积为2 3，2 3c ，求ABC的周长 18 如图， 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形， 平面PAD 平面ABCD，ADBC，ADCD， 且224ADBCCD，2 2PAPD，AD，AB的中点分别是O，G （）求证：GO 平面POC； （）求点O到平面PDG的距离 19某中学高三（3）班全班 50 人参加了高考前的数学模拟测试，每名学生要在规定的
8、 2 个小时内做一套 高三模拟卷，现抽取 10 位学生的成绩，分为甲，乙两组，其分数如下表： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲组 64 72 86 98 120 乙组 60 76 90 92 122 （）分别求出甲，乙两组学生考试所得分数的平均数及方差，并由此分析两组学生的成绩水平； （）试估计全班有多少人及格（90 分及以上为及格） ； （）从该班级甲，乙两组中各随机抽取 1 名学生，对其考试成绩进行抽查，求两人考试分数之和大于等 于 180 的概率 20已知椭圆E： 22 22 10 xy ab ab 经过点(2,1)P，且离心率为 3 2 （）求椭圆的标准方程； （）设O为坐标
9、原点，在椭圆短轴上（不含原点）有两点M，N满足OMNO，直线PM，PN分 别交椭圆于A，B两点 探求直线AB是否过定点?如果经过定点， 请求出定点的坐标； 如果不经过定点 请 说明理由 21设函数 exf xxx， ln1g xx （）讨论函数 f x的单调性； （）证明：不等式 f xg x在区间0,上恒成立 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 1, 43 xt yt （t是参数） ，以原点为极点，x轴的非负半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2si
10、n （）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （）设点M在曲线C上，曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 214f xxx （）解不等式 10f x ； （）若不等式 2 48f xxaa的解集不是空集，求实数a的取值范围 华大新高考联盟华大新高考联盟 2019 届高三届高三 4 月教学质量测评月教学质量测评 文科数学参考答案和评分标准文科数学参考答案和评分标准 一、选择题一、选择题 1C 2A 3D 4A 5C 6C 7C 8C 9B 10A 11A 12 C 二、填空题二、填空题 1327 144 15 1 4 16
11、2 1 0, e 三、解答题 17解（）因为 coscos2 coscos sinsin 2 aBbAcAB cAB ， 所以coscos2 coscos2 sinsinaBbAcABcAB 所以coscos2 sinsin2 coscosaBbAcABcAB 所以coscos2 cosaBbAcAB 所以coscos2 cosaBbAcC 所以由正弦定理得sincossincos2sincosABBACC 所以sincossincos2sincosABBACC 所以sin2sincosABCC 所以sin2sincosCCC 因为0,C，所以sin0C 所以 1 cos 2 C 所以 3 C
12、 （）因为ABC的面积为2 3，2 3c ， 所以ABC的面积为 11 sinsin2 3 22 3 SabCab解得8ab 由余弦定理得 22 222 2cos22o3 c s 3 cababCababababab 即 2 2 2 33 8ab ，解得6ab 所以ABC的周长为62 3abc 18解： （）连接OB，BD，由题目可知四边形 OBCD为正方形，所以BDOC 因为PAPD，AD的中点是O，所以POAD 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO在平面PAD内，POAD， 所以PO平面ABCD 所以POBD 又因为OCOPO ，所以BD 平面.POC 因为AD，
13、AB的中点分别是O，G，所以GOBD 所以GO 平面POC （）因为224ADBCCD，2 2PAPD，所以2POOAOBOD，2OG 所以 2 222 226PGOGPO 过点G作GHOA于点H，易知1GH ，则 2 2 2 1110DG 所以在PDG中，由余弦定理得 22 2 62 2 )10 3 cos 6262 2 DPG 则 2 333 sin1 66 DPG 则 133 62 211 26 DPG S 设点O到平面PDG的距离为h，则 由V三棱锥 G DPO V 三棱锥 O DPG ，得 111 2 2 1 323 PDG Sh ， 即 111 2 2 111 323 h ，解得
14、2 11 11 h 即点O到平面PDG的距离为 21 19解： （）依题中的数据可得：x甲 1 64728698 12088 5 ， x乙 1 60769092 12288 5 22222 2 1 648872888688988812088 5 s 甲 1 5762564 100 1024392 5 22222 2 1 608876889088928812288 5 s 乙 1 784 1444 16 11564208 5 因为xx， 22 ss 甲乙，所以两组学生的总体水平相同甲组学生的成绩水平差异比乙组的小 （）根据表格可知，10 位学生中及格的概率为 51 102 所以估计全班及格的人数
15、为 1 5025 2 （）设事件A表示：从甲，乙两组中各抽取一名学生，两人考试分数之和大于等于 180，则从甲，乙两组 中各抽取 1 名学生两人的考试成绩可组成的基本事件为 64,60，64,76，64,90，64,92，64,122， 72,60，72,76，72,90，72,92，72,122， 86,60，86,76，86,90，86,92，86,122， 98,60，98,76，98,90，98,92，98,122， 120,60，120,76，120,90，120,92，120,122，共 25 种； 事件A包含的基本事件有64,122，72,122，86,122，98,90，98,
16、92，98,122，120,60， 120,76，120,90，120,92120,122，共 11 种， 故由古典概型，得 11 25 P A ，即从甲、乙两组中各抽取一名学生，两人考试分数之和大于等于 180 的概 率为 11 25 20解： （）由椭圆的离心率 2 2 3 1 2 cb e aa ，得 22 4ab 将点2,1P代入 22 22 1 4 xy bb 中，得 22 11 1 bb ，解得 2 2b 于是 2 8a 椭圆的方程为 22 1 82 xy （）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴， 所以若直线过定点，这个定点一定在y轴上 当M，N不是短轴的端点时，设直线
17、AB的方程为ykxt，设点 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 22 1, 82 xy ykxt 消去y，整理得 222 148480kxktxt， 则 2 2222 84 1 44816 820ktktkt ， 则 12 2 8 41 kt xx k ， 2 12 2 48 41 t x x k 又直线PA的方程为 1 1 1 12 2 y yx x ，即 1 1 1 12 2 kxt yx x ， 因此，点M的坐标为 1 1 1 22 0, 2 k xt x 同理可知，点N的坐标为 2 2 1 22 0, 2 k xt x ， 由OMNO，则 12 12 1 221 22 0 2
18、2 k xtk xt xx 化简整理得 1 212 2424280k x xktxxt， 则 2 22 488 2424280 4141 tkt kktt kk ， 当且仅当2t 时，对任意的k都成立，直线AB过定点0, 2Q 21解： （）函数 x f xxex的定义域是R 由 x f xxex，得 111 xxx fxexex e ， 当0x 时，11x，1 x e ，所以11 x x e所以110 x x e ，即 0fx； 当0x时，11x，01 x e，所以由11x两边同时乘以正数 x e，得11 xx x ee， 即11 x x e所以110 x x e ，即 0fx 所以函数 f
19、 x在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增 （）证明： “不等式 f xg x在区间0,上恒成立”等价于“不等式ln10 x xexx 在区间 0,上恒成立” 令 ln10 x F xxexxx ， 则进一步转化为需要证明 “不等式 0F x 在区间0,上恒成立” 求导得 11 111 xx x Fxxexe xx ，令 1 x G xxe，则 1 x G xxe 因为当0x 时， 10 x G xxe，所以函数 G x在区间0,上单调递增 所以函数 G x在区间0,上最多有一个零点 又因为 010G ， 110Ge ，所以存在唯一的0,1c，使得 0G c 且当0,xc时， 0G x ；
20、当,xc时， 0G x ， 即当0,xc时，F（x）0；当,xc时， 0Fx， 所以函数 F x在区间0,c上单调递减，在, c 上单调递增 从而 ln1 c F xF ccecc 由 0G c ，得10 c ce ，即1 c ce ，两边取对数，得ln0cc ， 所以 eln1e1ln000 cc F ccccccc 所以 0F xF c即 0F x 从而证得不等式 f xg x在区间0,上恒成立 22解： （）由 1, 43 xt yt 消去参数t，得3134xty，即3340xy， 所以直线l的普通方程是3340xy 由2sin，得 2 2 sin， 根据公式 cos, sin, x y
21、 得 22 2xyy，所以曲线C的直角坐标方程是 22 2xyy （）对于直线l的参数方程为 1, 43 xt yt （t是参数） ，因为 4 3 1 y x ，所以直线l的斜率是3 因为曲线C在M处的切线与直线l垂直，又曲线C在M处的切线与CM垂直， 所以直线l与直线CM平行 所以直线l与直线的斜率相等所以直线CM的斜率3-3 设点 00 ,M x y，则 0 0 1 3 0 CM y k x ，整理得 00 13yx 又因为点 00 ,M x y在曲线C： 2 2 11xy上， 所以其坐标必然满足曲线C的方程： 2 2 11xy，代入得 2 2 00 11xy 联立 00 2 2 00 1
22、3 1, , 1 yx xy 解得 0 0 1 , 2 3 1 2 x y 或 0 0 1 2 3 1 2 x y 所以点M的直角坐标为 13 ,1 22 或 13 ,1 22 23解： （） 10f x 即为21410xx 当 1 2 x 时，不等式21410xx 可化为 21410xx， 化简得33 10x ，解得 7 3 x 故 71 32 x ； 当 1 4 2 x时，不等式21410xx 可化为 21410xx， 化简得5 10x ，解得5x故 1 4 2 x； 当4x 时，不等式21410xx 可化为 21410xx， 化简得33 10x ，解得 13 3 x 故 13 4 3 x 综上，不等式21410xx 的解集是 7 13 , 33 （）不等式 2 48f xxaa即为 2 21448xxxaa 得 2 21248xxaa ，得 2 21288xxaa ， 则问题“不等式 2 48f xxaa的解集不是空集”转化为“不等式 2 21288xxaa 的解 集不是空集” 由绝对值三角不等式，得 212821289xxxx 则由题意，得 2 89aa，即 2 890aa，解得1a或9a 所以若不等式 2 48f xxaa的解集不是空集， 则实数a的取值范围为 , 19,
