1、 华大新高考联盟华大新高考联盟 2020 届高三届高三 4 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学理科数学 本试题卷共 4 页，23 题（含选考题）.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 祝考试顺利 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 4.选考题的作答： 先把所
2、选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题 区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.已知复数 1 1z i ，则z z（ ） A0 B1 C2 D2 2.设集合 |3Ax x， 3 |log ()0Bxxa，则3a 是BA的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件
3、 3.设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 3 5a ， 79 30aa，则 10 S（ ） A85 B97 C100 D175 4.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以 圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将 100 粒豆子随机撒入 圆盘内，发现只有 4 粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A 10 3 B 16 5 C 22 7 D 25 8 5.已知lg2x ，ln
4、3y ， 2 log 3z ，则（ ） Axzy Bzyx Cxyz Dzxy 6.执行如图所示程序框图，设输出数据构成集合A，从集合A中任取一个元素m，则事件“函数 2 ( )f xxmx在0,)上是增函数”的概率为（ ） A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 5 7.设( )f x，( )g x分别为定义在, 上的奇函数和偶函数，且( )( )2cos x f xg xex（e为自然对数 的底数） ，则函数( )( )yf xg x的图象大致为（ ） A B C D 8.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和 设备费，每个实验室的
5、装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比 第二实验室的改建费用高 42 万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高 168 万元，并要求每个实验室改 建费用不能超过 1700 万元则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A3233 万元 B4706 万元 C4709 万元 D4808 万元 9.设点F为抛物线 2 16yx的焦点，, ,A B C三点在抛物线上，且四边形ABCF为平行四边形，若对角线 | 5BF （点B在第一象限） ，则对角线AC所在的直线方程为（ ） A82110xy B480xy C4230xy D230xy 10.设函数( )2
6、|sin|sin2cos2f xxx，给出下列四个结论：(2)0f；( )f x在 5 3 , 2 上 单调递增；( )f x的值域为 12cos2,32cos2 ；( )f x在0,2 上的所有零点之和为4.则正确 结论的序号为（ ） A B C D 11.设点 12 ,F F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点,A B分别在双曲线C的左、右 支上，若 11 6FBFA， 2 22 AFAB AF，且 22 | |AFBF，则双曲线C的离心率为（ ） A 17 5 B 13 5 C 85 5 D 65 5 12. 在 正 方 体 1111 ABCDA
7、 B C D中 ， 点,M N P分 别 在 11111 ,AA AD DC上 ，M为 1 AA的 中 点 ， 11 11 2 ANC P NDPD ，过点A作平面，使得 1 BC，若平面 1111 ABC Dm，平面MNPn， 则直线m与直线n所成的角的正切值为（ ） A 3 2 7 B 6 2 7 C 2 7 D 2 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.在 6 2 1 2 x x 的展开式中，常数项为_（用数字作答）. 14.在等腰直角ABC中，2AB ，90BAC，AD为斜边BC的高，将ABC沿AD折叠，使二 面角
8、BADC为60，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_. 15.在ABC中，5AB ，4AC ，3BC ，已知MN为ABC内切圆的一条直径，点P在ABC 的外接圆上，则PM PN的最大值为_. 16. 用 符 号 x表 示 不 超 过x的 最 大 整 数 ， 例 如 ：0.60；2.32；55. 设 函 数 222 ()2 l n ( 2)2l n ( 2)fxa xxa xx有三个零点 12 ,x x， 3123 xxxx， 且 123 3xxx， 则a的取值范围是_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第
9、 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 22 2 3sin()bacBac，ABC的面积为 2 3. （1）求角B； （2）设，b，|ac成等比数列，求的最小值. 18.如图所示，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ACC A为菱形， 1 60AAC，2AC ，侧面 11 CBBC 为正方形，平面 11 ACC A 平面ABC.点N为线段AC的中
10、点，点M在线段AB上，且2 AM MB . （1）证明：平面 11 BBCC 平面 11 ACC A； （2）求直线 1 BB与平面 1 B MN所成角的正弦值. 19.设以ABC的边AB为长轴且过点C的椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，椭圆的离心率 1 2 e ，ABC面积的最大值为2 3，AC和BC所在的直线分别与直线:4l x 相交于点,M N. （1）求椭圆的方程； （2）设ABC与CMN的外接圆的面积分别为 12 ,S S，求 2 1 S S 的最小值. 20.2020 年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市 所
11、有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学” ，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共 280 分钟，请学生自主学习.区教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机 抽样的方法抽取了 100 名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在(0,120分钟的学生称为A类，把 学习时间在(120,200分钟的学生称为B类，把学习时间在(200,280分钟的学生称为C类，随机调查的 100 名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示： 以频率估计概率回答下列问题： （1）求 100 名学生中, ,A B C三类学生分别有多少人？ （2）在, ,A B C三类学生中，按分
12、层抽样的方法从上述 100 个学生中抽取 10 人，并在这 10 人中任意邀请 3 人电话访谈，求邀请的 3 人中是C类的学生人数的分布列和数学期望； （3）某校高三（1）班有 50 名学生，某天语文和数学老师计划分别在 19:0019:40 和 20:0020:40 在线上 与学生交流， 由于受校园网络平台的限制， 每次只能 30 个人同时在线学习交流.假设这两个时间段高三 （1） 班都有 30 名学生相互独立地随机登录参加学习交流.设表示参加语文或数学学习交流的人数，当为多少 时，其概率最大. 21.已知函数( )4sin2cosf xaxxaxx，()aR. （1）若 1 4 a ，当(
13、0, )x时，证明：( ) 2 f x ； （2）若当0,)x时，( ) 0f x ，求a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 21 cos , 3 21 2sin 3 x y （为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 C的极坐标方程为 2 8 53cos2 ，点P在曲线 1 C上，点Q在 曲线 2 C上. （1）求曲线
14、 1 C的一般方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）求|PQ的最大值. 23.选修 45：不等式选讲 设, ,a b c都是正数，且1abc. （1）求 11 abc 的最小值； （2）证明： 444 abcabc. 华大新高考联盟华大新高考联盟 2020 届高三届高三 4 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准理科数学参考答案和评分标准 一、选择题一、选择题 1.【答案】D 【命题意图】主要考查复数的概念及相关运算，考查考生的运算求解能力. 【解析】因为 1 11zi i ，1zi ，所以(1)(1)2z zii.故选 D. 2.【答案】A 【命题意图】主要考查指数函数
15、和对数函数的单调性、集合子集的概念、充要条件，考查考生的逻辑推理 能力. 【解析】 |3Ax x， |1Bx xa.当3a 时， |4Bx x.所以BA. 当BA时，即2a，并不能得到3a .故选 A. 3.【答案】C 【命题意图】主要考查等差数列通项公式及前n项和的应用，考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力. 【解析】因为 798 230aaa，所以 8 15a .又 3 5a ，所以 11038 20aaaa. 110 10 10200 100 22 aa S .故选 C. 4.【答案】D 【命题意图】主要考查以数学文化为背景的概率问题，考查考生的化归与转化能力、数学建模能力和逻辑 推理能
16、力. 【解析】因为 2 2 1360 sin12 96212 100 R R ，所以 25 8 .故选 D. 5.【答案】C 【命题意图】主要考查对数函数的性质，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力. 【解析】因为lg21x ，ln31y ， 2 log 31z ，所以x最小. 又因为 lg3 lg y e ， lg3 lg2 z ，所以yz，所以xyz.故选 C. 6.【答案】C 【命题意图】主要考查程序框图有关知识、二次函数单调性以及古典概型，考查考生的逻辑推理能力和数 形结合能力. 【解析】 当20xy ；2111xy ；1 100xy ；0113xy ； 1 128xy ；2 13x
17、，退出循环， 所以0, 1,3,8A， 又函数 2 ( )f xxmx在0,)上是增函数，所以00 2 m m剠. 函数 2 ( )f xxmx在0,)上是增函数的概率为 3 4 ，故选 C. 7.【答案】A 【命题意图】主要考查函数的性质与图象，考查考生的化归与转化能力和数形结合能力，以及逻辑推理、 直观想象和数学运算. 【解析】因为( )( )2cos x f xg xex，所以()()2cos() x fxgxex ， 即( )( )2cos( ) x f xg xex ，所以 2cos ( )( ) x x f xg x e . 因为 2cos x x y e ，当0.01x 时，0y
18、 ，所以 C，D 错误. 又 2 2sin 2(sincos )4 xx x xx y ee ，所以 4 x 为极值点，即 B 错误.故选 A. 8.【答案】C 【命题意图】主要考查等比数列有关知识，考查考生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力. 【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为 n a万元(1,2,3,10)n . 则 52 74 42, 168, aa aa 所以 4 11 63 11 42, 168, a qa q a qa q 解得 1 3, 2. a q 故 9 101 1536aa q. 依题意15361700x，即164x . 所以总费用为 10 1210 3 12
19、 1010103069 4709 12 xaaaxx .故选 C. 9.【答案】B 【命题意图】主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线方程等知识，考查考生的化归转化思想、 数形结合思想以及数学运算能力. 【解析】如图所示，设B点的坐标为 00 ,x y，则 0 |45BFx， 所以 0 1x ，B点的坐标为(1,4). 所以线段BF的中点D的坐标为 5 ,2 2 . 设 11 ,A x y， 22 ,C x y.有 2 11 16yx， 2 22 16yx，且 12 2 2 yy . 所以 22 1212 16yyxx，所以 12 1212 16 4 yy xxyy ，所以4 AC k.
20、 对角线AC所在的直线方程为 5 :24 2 AC yx ，即480xy.故选 B. 10.【答案】C 【命题意图】主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力，考查逻辑推 理与直观想象. 【解析】 2 (2)03sin22cos2tan2 3 f . 因为 3 2 24 ，所以 3 tan2tan1 4 ，所以 2 tan2 3 .故正确. 设 3sin ,22, 2|sin|sin sin ,222 , xkxk yxx xkxk 剟 kZ. 显然( )f x是以2为周期的周期函数.作2|sin|sinyxx，0,2 x的图象如图所示. 由图可知( )f x的值域为
21、2cos2,32cos2，即错误. 由( )f x的函数图象可知，( )f x在 3 , 2 上单调递增.又因为( )f x是周期为2的函数，所以( )f x在 5 3 , 2 上单调递增，即正确. 又因为 2 2 23 ，所以 1 cos20 2 ，所以02cos21 . ( )02|sin|sin2cos2f xxx .由图象可知( )f x在2,2 内有四个零点. 且 12 22 xx ， 34 3 22 xx ，所以 1234 4xxxx，所以正确.故选 C. 11.【答案】D 【命题意图】主要考查双曲线的定义及几何性质、平面向量的运算，考查考生的运算求解能力、化归转化 能力和数形结合
22、能力. 【解析】因为 11 6FBFA，所以点 1 F，,A B共线，且 1 | 5|ABAF. 因为 22 22222222 ()AFAB AFAFF BAFAFF B AF，所以 22 0F B AF，所以 22 F BAF. 设 1 |AFm，则| 5ABm，由双曲线定义得 2 2 222 22 |2 , 6| 2 , |2,5 AFma mBFa AFBFm 所以 22222 (2 )(62 )253520()(32 )0mamammmaamama， 解得ma或 2 3 ma. 若ma时， 2 | 3AFa， 2 | 4BFa，因为 22 | |AFBF，故舍去. 若 2 3 ma时，
23、 2 8 | 3 AFa， 2 | 2BFa， 1 | 4BFa， 10 | 3 ABa， 2 23 cos 10 5 3 a ABF a . 在 12 FBF中， 2 222 2 31365 4416224 555 c caaaae a ，故选 D. 12.【答案】A 【命题意图】考查空间线线、线面、面面的平行与垂直关系，考查考生的空间想象能力、化归转化能力和 直观想象能力. 【解析】 如图， 补正方体 11 ABJKAB IH， 作平面MNP与正方体 1111 ABCDABC D的截面， 设3AB ， 易知2AEAF. 易证 1 BCBI， 1 BCAB，BIABB， 所以 1 BC 平面
24、ABIH，即平面ABIH为平面， 所以直线GF为n，直线HI为m，又HIAD，AFG为直线m与直线n所成的角. 设AGx，GHy，而AEGHNG，所以 3 2, 2 , 5 xy x y 解得 6 2 7 x . 在RtAGF中， 6 2 3 2 7 tan 27 AG AFG AF ，故选 A. 二、填空题二、填空题 13.【答案】 15 4 . 【命题意图】主要考查二项式定理有关知识，考查考生的运算求解能力. 【解析】因为 66 3 166 2 11 22 rr rrrr r TCxCx x ， 令630r，所以2r ， 3 15 4 T . 14.【答案】 14 3 . 【命题意图】主要
25、考查平面图形折叠中的线面关系以及球的表面积，考查考生的空间想象能力和转化与划 化归能力. 【解析】沿AD折叠后二面角BADC为60，即折叠后60BDC，所以DBC为等边三角形. 又因为2AB ，所以折叠后2ADDBBCCD. 设点O为三棱锥ABCD外接球的球心， 1 O为BDC的外心. 所以 1 2 2 sin60 DO ，所以 1 6 3 DO . 又 1 12 22 OOAD，所以球心半径 22 222 11 627 326 RDOOO . 所以 2 14 4 3 SR 球 . 15.【答案】 135 5 2 . 【命题意图】主要考查平面向量加、减、数量积的运算，以及三角形内切圆和外接圆有
26、关问题，考查考生 的化归与转化能力，逻辑推理和运算求解能力. 【解析】因为ABC为直角三角形， 所以内切圆 1 O的半径 1 345 1 2 r ， 外接圆 2 O的半径 2 15 22 rAB， 1111 () ()PM PNPOOMPOO N 22 1111111 ()|1POPOO MO NO M O NPO. 又 2 2 12 35 |1(21) 22 OO ， 所以 1 |PO的最大值为 55 22 ，所以PM PN的最大 135 5 2 . 16.【答案】 2 ln2,ln6 9 . 【命题意图】主要考查函数零点，利用导数分析函数的图象及性质，考查考生化归转化能力、推理运算能 力和
27、数形结合能力. 【解析】因为 2222 ( )ln22ln22ln 2(1 ln2 )2ln2 (1 ln2 )(1 ln2 )f xaxaxxxxaxxxxx 2 2ln20axx，0x ， 所以1 ln20x或 2 2ln20axx. 由得 2 e x ，由得 2 2ln2x a x . 令 2 2ln2 ( ) x g x x ，则 3 2(12ln2 ) ( )0 x g x x ，所以 2 e x . 当0, 2 e x 时，( )0g x，( )g x单调递增， , 2 e x 时，( )0g x，( )g x单调递减. 事实上，当 1 0 2 x时，( )0g x ，当1x 时，
28、( )0g x . 由图显然 1 (0,1)x ， 2 (1,2) 2 e x ，所以 1 0x， 2 1x， 而 123 3xxx，所以 3 2x，即 3 2,3)x . 所以 (2), (3), a g ag 即 2ln4 , 4 2ln6 , 9 a a 解得 2ln6 ln2 9 a . 三、解答题三、解答题 17.【命题意图】主要考查解三角形、三角恒等变换、等比中项以及均值不等式的应用，考查考生的转化与 化归能力和运算求解能力. 【解析】 （1）因为 222 2 3sin2bacBacac， 所以 2222 2cos2 3sin2acacBacBacac， 所以3sincos1BB，
29、即 1 sin 62 B . 因为 5 666 B ，所以 66 B ， 所以 3 B . （2）ABC的面积为2 3，所以 1 sin602 3 2 ac ，即 1 sin602 3 2 ac ，所以8ac . 因为，b，|ac成等比数列，所以 2 |bac，由于0ac，所以 2 | b ac . 又 22222 2cos60()()8bacacacacac . 所以 22 ()88 |2 84 2 | bac ac acacac . 当且仅当| 2 2ac时，取“”. 所以的最小值为4 2. 18.【命题意图】主要考查空间面面垂直关系，直线与平面所成角的求法，考查考生的空间想象能力、推理
30、论证能力和运算求解能力. 【解析】 （1）连接 11 ,AC AN，因为四边形 11 ACC A为菱形， 1 60AAC，所以 1 A AC为等边三角形. 而点N为AC中点，所以 1 ANAC. 又平面 11 ACC A 平面ABC， 所以 1 AN 平面ABC，所以 1 ANBC. 而四边形 11 CBBC为正方形，所以 1 BCCC.而 11 CCA A，所以 1 BCAA. 又因为 111 AAANA，所以BC 平面 11 AACC. 又因为BC 平面 11 BCC B，所以平面 11 BBCC 平面 11 ACC A. （2）设 11 AC的中点为点P，以C点为坐标原点，分别以向量,C
31、A CB CP为x轴，y轴，z轴的正方向建 立如图所示空间直角坐标系， 则有(2,0,0)A，(0,2,0)B， 1(1,0, 3) A，(1,0,0)N. ( 2,2,0)AB ， 24 4 ,0 33 3 AMAB ， (1,0,0)NA，所以 1 4 ,0 3 3 NMNAAM . 又 1 (0,0, 3)NA ， 11 ( 2,2,0)ABAB ， 所以 1111 ( 2,2, 3)NBNAAB . 设平面 1 B MN的法向量为( , , )nx y z，则 1 0, 0, n NM n NB 所以 14 0, 33 2230. xy xyz 取1y ，则(4,1,2 3)n ， 1
32、1 ( 1,0, 3)BBAA . 设为直线 1 BB与平面 1 B MN所成的角， 所以 1 1 ( 1,0, 3) (4,1,2 3)29 sin 29|161 1213 BB n BBn ， 所以直线 1 BB与平面 1 B MN所成角的正弦值为 29 29 . 19.【命题意图】主要考查椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，正弦定理等知识，考查考 生的逻辑推理能力和运算求解能力以及数形结合思想和化归与转化思想等. 【解析】 （1）依题意： 222 1 2 1 22 3 2 c a a b abc ， ， ， 所以 2 3. a b ， 椭圆的方程为 22 1 43 xy .
33、（2）设 000 ,0C x yy ，则 22 00 1 43 xy ，( 2,0)A ，(2,0)B. 直线 00 2 : 2 yx AC yx 与直线:4l x 联立得 0 0 6 4, 2 y M x . 直线 00 2 : 2 yx BC yx 与直线:4l x 联立得 0 0 2 4, 2 y N x . 00 00 2 000 4462 | 224 yxyy MN xxx . 设ACB， 1 r， 2 r分别为ABC和CMN外接圆的半径，在ABC中 1 | 2 sin AB r ，所以 1 | 2sin AB r . 在CMN中 2 | 2 sin() MN r ，所以 2 | 2
34、sin MN r ， 2 2 00 2 22 2 22 0 00 22 222 2 11 0 164 4 4| |16 4 yx x yxSrMN SrAB x . 又 22 00 3 4 4 yx，所以 2 2 2 00 0 2 22 2 10 0 3 44 43 4 44 4 xx xS Sx x . 令 0 4tx，而 0 22x ，所以26t . 22 2 222 1 3331 4 4(4)48124 11 1281 Stt Sttt tt 2 31 4 111 12 33t . 所以3t ，即 0 1x 时， 2 1 S S 取得最小值，最小值为 9 4 . 20.【命题意图】主要考
35、查频率分布直方图、古典概型、离散型随机变量分布列、超几何分布等知识，考查 考生的数据处理能力、数学建模能力和数学运算能力. 【解析】 （1）A类学生有：(0.00125 800.0025 40) 10020人， B类学生有：0.00625 80 10050人， C类学生有：(0.005 400.0025 40) 10030人. （2）:20:50:302:5:3A B C 故从A类中抽 2 人，B类中抽 5 人，C类中抽 3 人. 设邀请的三人中是C类的学生人数为X，则X可取 0，1，2，3. 3 7 3 10 7 (0) 24 C P X C ， 12 37 3 10 21 (1) 40 C
36、 C P X C ， 21 37 3 10 7 (2) 40 C C P X C ， 3 3 3 10 1 (3) 120 C P X C . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 721719 ()0123 24404012010 E X . （3）学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为 2 30 50 C， 当k时，由韦恩图可知，只参加语文辅导的人数为30k ， 只参加数学辅导的人数为30k ， 语文和数学都参加辅导的人数为60k. 事件k所包含的基本事件的总数为 303030 503020 kk C CC ， 所以
37、3030303030 5030203020 230 30 50 50 () kkkk C CCCC Pk C C 最大. 则 ()(1), ()(1), PkPk PkPk 所以 303029292 30203020 303031312 30203020 (29)(60)(50),2727 4142 5252(61)(51)3 , (0) kkkk kkkk CCCCkkk k CCCCkkk 剟 . 又因为 * k N，所以42k . 21.【命题意图】主要考查函数的单调性和极值，函数导数的综合应用，考查考生的推理论证能力、运算求 解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想和分类讨论思想. 【
38、解析】 （1） 1 4 a ， 1 ( )sincos 2 f xxxxx，(0, )x， 11 ( )1cossin 22 fxxxx . 令 11 ( )1cossin 22 T xxxx ， 1 ( )cos 2 T xxx . 当0, 2 x 时，( )0T x，( )T x单调递减， 当, 2 x 时，( )0T x，( )T x单调递增， ( )T x的最小值为10 24 T ，所以( )0 2 T xT ，即( )0fx， 所以( )f x在(0, )上单调递增，所以( )( )0 22 f xf ，故( ) 2 f x . （2） sin ( ) 02(2cos )sin020
39、 2cos x f xaxxxax x 厖?. 令 sin ( )2 2cos x g xax x ，0x， 2 2cos1 ( )2 (2cos ) x g xa x . 令costx， 2 21 ( ) (2) t h t t ， 1,1t ， 3 2(1) ( )0 (2) t h t t ，所以( )h t在 1,1上单调递增， 所以( 1)( )(1)hh th 剟，即 1 1( ) 3 h t 剟. 当 1 2 3 a，即 1 6 a时，( ) 0g x，( )g x在0,)上单调递增，所以( )(0)0g xg满足条件. 当20a ，即0a时， 1 0 22 ga ，显然不满足条
40、件. 当 1 02 3 a，即 1 0 6 a时，若0, 2 x ， sin ( )2 3 x g xax， 令 1 ( )2sin 3 xaxx，0, 2 x ， 11 ( )2cos(6cos ) 33 xaxax，6(0,1)a， 故存在 0 x，使 0 0,xx时，( )0x，即( )x在 0 0,x上单调递减，所以( )(0)0x， 即 0 0,xx，( )( )0g xx，故不满足条件. 综上，a的取值范围是 1 , 6 . 22.【命题意图】主要考查圆与椭圆的参数方程和椭圆的极坐标方程，考查考生的数形结合能力、化归与转 化能力和运算求解能力. 【解析】 （1）曲线 2222 1
41、2121 :(2)cossin 99 Cxy，即 22 7 (2) 3 xy. 曲线 22 2:5 3cos28C，即 2222 53cossin8， 所以 2222 538xyxy，即 2 2 1 4 x y. （2）设(2cos ,sin)Q， 1(0,2) C. 2 2222 1 (2cos0)(sin2)44sinsin4sin4CQ 2 2 228 3sin4sin83 sin 33 . 当 2 sin 3 时， 1 max 282 21 33 CQ， 所以 max 2 2121 |21 33 PQ.即|PQ的最大值为21. 23.【命题意图】主要考查利用综合法和基本不等式求最值以及
42、证明不等式.考查考生的推理论证能力和运算 求解能力. 【解析】 （1）因为, ,a b c为正数，且1abc， 所以 11 11 224 abcabccabcab abcabcabcabc . 当且仅当abc时取“” ，所以 11 abc 的最小值为 4. （2） 444444444222222 11 222 22 abcabbcaca bb ca c. 当且仅当 1 3 abc时等号成立. 222222222222222222 11 222 22 a bb ca ca bb ca ba cb ca c 222 1 222() 2 ab ca bcabcabc bacabc. 当且仅当 1 3 abc时等号成立. 所以 444 abcabc，当且仅当 1 3 abc时等号成立.
