1、2020-2020 学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分ABCD1. 将等式 2ax=bc 化成以x 为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）2. 在ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DEABCDBC 的是（）四边形3. 如图，ABC 中，DEBC 交 AB 于点D，交AC 于点E，如果S ADE=SBCED，那么下列等式成立的是（）ABDE：BC=1：3CDE：BC=1：4DDE：BC=1：2ABCD4. 已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（）5已知ABC 中
2、，tanA=，下列说法正确的是（）AtanB=2BtanB=CsinA=DsinA=6在ABC 和DEF 中，若A=D，则下列四个条件：=；=；B=F；E=F 中，一定能推得ABC 与DEF 相似的共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7已知，则的值为二、填空题：本大共 12 小题，每题 3 分，共 36 分8. 在比例尺为 1：1000000 的地图上，如果点A 与点B 两点间的距离为 2 厘米，那么点A、B 分别表示的两地间相距米9. 已知线段AB 的长为 4，点P 为线段AB 上的一点，如果线段AP 是线段BP 与线段AB 的比例中项，那么线段AP 的长为10. 如图，在梯形AB
3、CD 中，点E、F 分别在边AB、DC 上，且ADBCEF，AE：EB=2：1， DF=8，则 FC= ，= ，则用表示=11如图，点G 为ABC 的重心，联结CG，则SCDGABD：S=12. 已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是14如图，在ABC 中，点D、E 在边AB 上，点F 在边 AC 上，且AD=DE=EB，DFBC，设13. 如图，如果EAC=DAB，C=D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=15在ABC 中，A 与B 是锐角，sinA=，cotB=，那么C=度16若 090，且 sin=，则 cot=17. 已知A
4、BC 与DEF 相似，且A=E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=18. 如图，已知ABC 中，B=90，BC=3，AB=4，D 是边AB 上一点，DEBC 交 AC 于点E， 将ADE 沿DE 翻折得到ADE，若AEC 是直角三角形，则AD 长为19（5 分）计算：20（5 分）如图，在RtABC 中，C=90，sinA=，BC=6三、解答题：本大题共 7 题，共 46 分（1） 求AC 的长；（2） 求cotB 的值21（5 分）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，使 满足 2（ ）=3 （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）22（5 分）如图，在四边形ABCD
5、 中，ABCD，点F 在边 AD 上，BA 的延长线交CF 的延长线于点 E，EC 交 BD 于点 M，且CM2=EMFM求证：ADBC23（7 分）如图，在矩形ABCD 中，点P 在边DC 上，联结AP，过点A 作AEAP 交 CB 的延长线于点E，联结EP 交边AB 于点F（1） 求证：ADPABE；（2） 若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB 的值24（7 分）如图，在RtABC 中，ACB=90，点D 为边AB 的中点，过点A 作直线CD 的垂线交 CD 的延长线于点H，交CB 的延长线于点M（1） 求证：AHAB=ACBC；（2） 求证：HMAB=CHAM25（12 分
6、）如图，已知 AB=5，tanB=，点 P 是射线 BC 上的一个动点（不与点 B 重合），作APD=B 交射线 AB 于点 D（1） 若 PDAB，求 BP 的长；（2） 当点 D 在边 AB 上，且不与点 B 重合时，设 BP=x，BD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3） 若BDP 是等腰三角形，求 BP 的长2020-2020 学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分ABCD1将等式 2ax=bc 化成以x 为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）【考点】等式的性质【解答】解：A、=，【分
7、析】根据等式的性质把每个选项去分母，看看结果和2ax=bc 是否相等即可B、=，去分母得：2bc=ax，和 2ax=bc 不同，故本选项错误；C、=，去分母得：2ax=bc，和 2ax=bc 相同，故本选项正确；D、=，去分母得：2bc=ax，和 2ax=bc 不同，故本选项错误；去分母得：2ax=bc，和 2ax=bc 不同，故本选项错误； 故选B【点评】本题考查了等式的基本性质的应用，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键ABCD2（2020 秋 浦东新区期中）在ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DEBC 的是（）【考点】平行线分线
8、段成比例【专题】常规题型【分析】可先假设DEBC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论可假设DEBC，则可得=，=，【解答】解：如图，但若只有=，并不能得出线段DEBC故选DD、+=，故本选项错误【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用四边形3. 如图，ABC 中，DEBC 交 AB 于点D，交AC 于点E，如果S ADE=SBCED，那么下列等式成立的是（）ABDE：BC=1：3CDE：BC=1：4DDE：BC=1：2【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例【分析】由 DEBC 得ADEABC，由已知得SADEABC=S，根据
9、相似三角形面积比等于相【专题】计算题似比的平方，求对应边的比SADEABC=S，四边形【解答】解：S ADE=SBCED，（）2=，DEBC，ADEABC，DE：BC=1：故选A【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题ABCD4. 已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（）【考点】*平面向量；比较线段的长短【专题】数形结合C、+= ，故本选项错误；B、=，故本选项正确；【解答】解：A、=，故本选项错误；【分析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答故选B【点评】本题主要考
10、查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则5已知ABC 中，tanA=，下列说法正确的是（）AtanB=2BtanB=CsinA=DsinA=【考点】同角三角函数的关系【分析】根据同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1 解答即可【解答】解：直角顶点不确定，=，tanA=，tanB 不确定，解得，sinA=，故选：D【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，掌握勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键6在ABC 和DEF 中，若A=D，则下列四个条件：=；=；B=F；E=F 中，一定能推得ABC 与DEF 相似的共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】相似
11、三角形的判定【分析】根据三角形相似的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B 的正误；【解答】解：由A=D、=可以判定ABC 与DEF 相似，故正确；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D 的正误，即可选出答案由A=D、=可以判定ABC 与DEF 相似，故正确；由A=D、B=F 可以判定ABC 与DEF 相似，故正确；E 和F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误； 故选：C【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的
12、三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似7已知，则的值为二、填空题：本大共 12 小题，每题 3 分，共 36 分【考点】比例的性质【解答】解：，【分析】设 x=7a，则y=4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解则=故答案是：设 x=7a，则y=4a，【点评】本题考查了分式的求值，正确理解未知数的设法是关键8在比例尺为 1：1000000 的地图上，如果点A 与点B 两点间的距离为 2 厘米，那么点A 、B 分别表示的两地间相距20000米【
13、考点】比例线段【分析】设两地间的实际距离是x 厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x 的值，再进行换算即可得出答案【解答】解：设两地间的实际距离是x 厘米，比例尺为 1：1000000，量得两地间的距离为 2 厘米，解得：x=2000000，2000000 厘米=20 千米，两地间的实际距离是 20000 米 故答案为：20000项，那么线段AP 的长为【点评】此题考查了比例尺的性质解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位 9已知线段AB 的长为 4，点P 为线段AB 上的一点，如果线段AP 是线段BP 与线段AB 的比例中【考点】比例线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比【解答
14、】解：根据题意知，点P 是线段AB 的黄金分割点，则 ，【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段又AB=4 ，由，解得 AP=；BP=ABAP，故答案是：；【点评】本题考查了比例线段解答此题须理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值10如图，在梯形ABCD 中，点E、F 分别在边AB、DC 上，且ADBCEF，AE：EB=2：1， DF=8，则 FC=4【分析】由 ADEFBC，得=，由此即可解决问题【考点】平行线分线段成比例；梯形=【解答】解：ADEFBC，DF=8，CF=4， 故答案为 4【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题难度适中，解题的
15、关键是注意比例变形与数形结合思想的应用11如图，点G 为ABC 的重心，联结CG，则SCDGABD：S=【考点】三角形的重心【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此可得ABD 的面积与ACD 的面积相等； 根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得CDG 的面积等于ACD 面积的三分之一【解答】解：点G 为ABC 的重心，故答案为：CDG 的面积等于ABD 面积的，即 SCDGABD：S=，CDG 的面积等于ACD 面积的，ABD 的面积与ACD 的面积相等，且DG=AD，【点评】本题主要考查了三角形重心性质的运用，解题时注意：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心
16、到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：112（2020 黄浦区一模）已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是 36，那么其中较小三角形的面积是 16【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可【解答】解：两个相似三角形周长的比为2：3， 则相似比是 2：3，因而面积的比是 4：9， 设小三角形的面积是 4a， 则大三角形的面积是 9a， 则 9a=36，解得 a=4，因而较小的三角形的面积是 16 故答案为：16【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于
17、相似比的平方13如图，如果EAC=DAB，C=D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=12【考点】相似三角形的判定与性质【专题】探究型C=D 即可得出ADEACB，故可得出=，再由AD=4，AE=6，AC=8 即可得出AB 的【分析】先根据EAC=DAB 可得出EAC+BAE=DAB+BAE，即DAE=BAC，再由长【解答】解：EAC=DAB，EAC+BAE=DAB+BAE，即DAE=BAC，C=D，ADEACB，=，解得AB=12=，AD=4，AE=6，AC=8，故答案为：1214如图，在ABC 中，点D、E 在边AB 上，点F 在边 AC 上，且AD=DE=EB，DFBC，设【点评】本
18、题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出ADEACB，再由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键= ，= ，则用表示=【分析】由AD=DE=EB，= ，可求得与，然后由三角形法则，求得，继而求得，又【考点】*平面向量；平行线的性质由ADFABC，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案=+=2 + ，=3=3 ，=2=2 ，【解答】解：AD=DE=EB，= ，DFBC，ADFABC，=DF：BC=AD：AB=1：3，故答案为：【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键15（2020 秋 浦东新区期中）在ABC 中，A 与B 是锐角
19、，sinA=，cotB=，那么C=75度【考点】特殊角的三角函数值【分析】先根据，A 与B 是锐角，sinA=，cotB=求出A 及B 的度数，再根据三角形【专题】探究型【解答】解：A 与B 是锐角，sinA=，cotB=，内角和定理进行解答即可A=45 ，B=60 ，C=180 A B=180 4560=75故答案为：75【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键16若 090，且 sin=，则 cot=【解答】解：sin=，【分析】根据正弦与余弦之间的关系求出cos，根据 cot=计算即可【考点】同角三角函数的关系cos=，cot=
20、，故答案为：【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握cot=是解题的关键17已知ABC 与DEF 相似，且A= E，如果AB=16 ，AC=12 ，DF=6 ，EF=4 ，那么BC=24 或 18【考点】相似三角形的性质【专题】分类讨论【分析】根据ABC 与DEF 相似，且A= E，分两种情况讨论：ABC EFD ，ABC EDF ，分别根据对应边成比例，求得BC 的长当ABC EFD 时，=，【解答】解：ABC 与DEF 相似，且A= E，当 ABC EDF 时，=，即=，解得BC=24 ；即=，解得BC=18故答案为：24 或 18【点评】本题主要考查了相似三角形的性质的运用，解题时注
21、意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等BC 交 AC 于点E，将ADE 沿DE 翻折得到ADE，若AEC 是直角三角形，则 AD 长为或18（2020滨湖区一模）如图，已知ABC 中，B=90，BC=3，AB=4，D 是边AB 上一点，DE【考点】翻折变换（折叠问题）AD=x，则AE=AE=x，EC=5x，AB=2x4，在RtABC 中，根据勾股定理得到AC，再根【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设据AEC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解【解答】解：在ABC 中，B=90，BC=3，AB=4，AC=
22、5，DEBC，设 AD=x，则AE=AE=x，EC=5x，AB=2x4，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，解得 x1=4（不合题意舍去），x2=点A 在线段AB 的延长线上（）2+（5x）2=（x）2，当A落在边 AB 上时，EAC=90，BAC=ACB，AB=3tanACB=，AD=；在 RtABC 中，AC=，AEC 是直角三角形，故答案为：或故 AD 长为或【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的19（5 分）计算：三、解答题：本大题共 7 题，共 46 分【考点】特殊角的三角函数值【解答】解：原式=7+4【分
23、析】将特殊角的三角函数值代入求解【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值20（5 分）如图，在RtABC 中，C=90，sinA=，BC=6（1） 求AC 的长；（2） 求cotB 的值【考点】解直角三角形（2）把BC 和AC 的值代入cotB=求出即可【分析】（1）根据 sinA 的值求出AB，根据勾股定理求出AC 即可；由勾股定理得：AC=2；【解答】解：（1）在 RtACB 中，C=90，sinA=，BC=6，AB=8，（2）cotB=【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形的应用，能根据锐角三角函数的定义正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中2
24、1（5 分）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，使 满足 2（ ）=3 （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）【考点】*平面向量【分析】根据平面向量的运算法则：先去括号，再移项，系数化为1，即可求得答案2 = 2 ， 2 2 =3 ，【解答】解： 2（ ）=3 ，解得： =+ 【点评】此题考查了向量的运算以及画法此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题的关键22（5 分）如图，在四边形ABCD 中，ABCD，点F 在边 AD 上，BA 的延长线交CF 的延长线于点 E，EC 交 BD 于点 M，且CM2=EMFM求证：ADBC【考点】相似三角形的判定与性质【分析】首先利用 ABCD
25、，得出BEMCDM，进而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可【解答】证明：ABCD，=，BEMCDM，=，CM2=EMFM=，ADBC【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出BEMCDM 是解题关键23（7 分）如图，在矩形ABCD 中，点P 在边DC 上，联结AP，过点A 作AEAP 交 CB 的延长线于点E，联结EP 交边AB 于点F（1） 求证：ADPABE；（2） 若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB 的值【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明AMEB，得=，由此即可解决问题（2）延长AD
26、、EP 交于点M设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，想办法求出AM、EB，由【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABC=BAD=ADC=ABE=90，EAP=BAD=90，EAB=PAD，ABE=ADP，ADPABE（2）解：如图，延长AD、EP 交于点MAD：AB=2：3，且CP=2DP，可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，DM=a，AM=a，AMEB，DMEC，=，=，=，=，EB=3a，ADPABE，=【点评】本题考查矩形的性质相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型24（7
27、分）如图，在RtABC 中，ACB=90，点D 为边AB 的中点，过点A 作直线CD 的垂线交 CD 的延长线于点H，交CB 的延长线于点M（1） 求证：AHAB=ACBC；（2） 求证：HMAB=CHAM【考点】相似三角形的判定与性质（2）由 SACM=AMCH=ACCM，推出 AMCH=ACCM，再证明MCHABC，得到【分析】（1）欲证明 AHAB=ACBC，只要证明CAHABC 即可=，推出 MCAC=ABMH，由此即可证明【解答】证明：（1）ACB=90，AD=DB，CD=DA=DB，CAD=ACD，CHAM，AHC=ACB=90，=，CAHABC，（2）SACM=AMCH=ACCM
28、，AHAB=ACBCAMCH=ACCM，CD=BD，HCM=ABC，CHM=ACB=90，=，MCHABC，MCAC=ABMH，HMAB=CHAM【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形面积的两种求法等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型25（12 分）如图，已知 AB=5，tanB=，点 P 是射线 BC 上的一个动点（不与点 B 重合），作APD=B 交射线 AB 于点 D（1） 若 PDAB，求 BP 的长；（2） 当点 D 在边 AB 上，且不与点 B 重合时，设 BP=x，BD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3） 若BDP 是等
29、腰三角形，求 BP 的长【考点】三角形综合题【分析】（1）设 AP=4k，根据正切的定义用 k 表示出 BP，根据勾股定理求出 AB，根据题意计算即可；（2） 作 AEBC 于 E，根据相似三角形的性质列出比例式，得到y 关于 x 的函数关系式；（3） 分点 D 在线段 AB 上和点 D 在线段 AB 的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答设 AP=4k，tanB=，BP=3k，【解答】解：（1）PDAB，APD=B，APB=90，由勾股定理得，AB=5k，AB=5，k=1，则 BP=3k=3；AB=5，tanB=，AE=4，BE=3，则 PE=x3，（2） 作 AEBC 于 E，=，即
30、（x3）2+16=（5y）5，由勾股定理得，AP=，APD=B，PAB=PAB，APDABP，即 x=x2+x，解得，x=1；整理得，y=x2+x（0x6）；（3） 当点 D 在线段 AB 上，BP=BD 时，x=y，由题意得，x=x2+x，解得，x1=0（舍去），x2=；则 BG=BP=x，=，则 y=x，DP=BD 时，作 DGBP 于 G，则x=x2+x，解得，x=0；当 DP=BP 时，=，解得，y=x，如图 3，当点 D 在线段 AB 的延长线上时，作PQAB 交BA 的延长线于Q， 设PQ=4k，则QB=3k，由勾股定理得，PB=5k，则BD=5k，AQ=3k5，=，即AP2=AD AB，APDABP，解得，k=，（4k）2+（3k5）2=5（5+5k），综上所述，当BP=1、时，BDP 是等腰三角形则PB=5k=11，【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键
