1、第第4 4章章 电路定理电路定理 内容内容:1.1.熟练掌握叠加定理、戴维南定理和诺顿定理；熟练掌握叠加定理、戴维南定理和诺顿定理；3.3.了解特勒根定理、互易定理。了解特勒根定理、互易定理。2.2.掌握替代定理；掌握替代定理；4.14.1叠加定理叠加定理(Superposition Theorem)4.24.2替代定理替代定理(Substitution Theorem)4.34.3戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem)4.44.4特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem)4.14.1叠加定理叠加定理(Superpositi
2、on Theorem)图示电路，求图示电路，求uab，i3uSR1R3+iSi3ba解：解：ssss11ab131313uu+i+iRRu=11R+R+RRR R313ss1313RR R=u+iR+RR+Rabab=u+uababab333333uuui=+iiRRR原电路原电路=uS1R1R3+i3_ba+abuR1R3i3_ba+abu+一、叠加定理一、叠加定理:在线性电阻电路中，任一支路电流在线性电阻电路中，任一支路电流(或支路电或支路电压压)都是电路中各个都是电路中各个独立电源单独作用独立电源单独作用时，在该支时，在该支路产生的电流路产生的电流(或电压或电压)的叠加的叠加。1 1、内
3、容、内容2 2、使用叠加定理应注意以下几点、使用叠加定理应注意以下几点:1 1）叠加定理只适用于线性电路。）叠加定理只适用于线性电路。2 2）一个电源作用，）一个电源作用，其余电源置零其余电源置零电压源为零电压源为零用短路替代用短路替代电流源为零电流源为零用开路替代用开路替代3 3）只有电压、电流能叠加，功率不能叠加）只有电压、电流能叠加，功率不能叠加(因为功率因为功率为电压和电流的乘积为电压和电流的乘积)。4 4）叠加时要注意各分量的方向（代数和）。）叠加时要注意各分量的方向（代数和）。5 5）含受控源）含受控源(线性线性)电路亦可用叠加定理电路亦可用叠加定理233()RR3222R3333
4、333P=i R=i+iRii单独受控源对电路不起激励单独受控源对电路不起激励其大小和方向随控制量的变化而改变其大小和方向随控制量的变化而改变例例1.1.求图中电压求图中电压u u。解解:(1)10V(1)10V电压源单独电压源单独作用，作用，4A4A电流源开路电流源开路u=4V(2)4(2)4A A电流源单独作用，电流源单独作用，1010V V电压源短路电压源短路u=-4 2.4=-9.6V叠加叠加：u=u+u=4+(-9.6)=-5.6V+10V6+4 u6+10V4A+4 u6 4A+4 u例例2.2.求电压求电压Us。(1)10(1)10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2)4(2)
5、4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解:Us=-10 I1+4 I1 =-10 1+41=-6VUs=-10I1+2.4 4 =-10 (-1.6)+9.6=25.6V叠加：叠加：Us=Us+Us=-6+25.6=19.6V+10V6 I1+Us+10 I14 10V+6 I14A+Us+10 I14 6 I14A+Us+10 I14 线性电路中线性电路中，当所有激励，当所有激励(独立源独立源)都增大都增大(或减小或减小)同样同样的的K倍数，则电路中响应倍数，则电路中响应(电压或电流电压或电流)也将增大也将增大(或减小或减小)同样同样的的K倍数（倍数（K为实常数）。为实常数）。当激励只有一个
6、时，则响应与激励成正比。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。二、齐性定理二、齐性定理（homogeneity property):e(t)r(t)ke(t)kr(t)对于多激励对于多激励e1(t)r(t)e2(t)ke1(t)kr(t)ke2(t)下一页下一页章目录章目录 上一页上一页5A例例3.3.解解:采用倒推法：设采用倒推法：设i=1A，推出此时推出此时us=34V。则则用齐性定理分析梯形电路特别有效。用齐性定理分析梯形电路特别有效。求电流求电流 i。已知已知：RL=2，R1=1，R2=1，us=51V。+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A13AR1R1R1R2R
7、2RL+usiR2i=1A511=1.534ssssuuu=i=i=Aiiu即即本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，倒本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，倒退至激励处。这种计算方法称为退至激励处。这种计算方法称为“倒推法倒推法”。AI3Us例例4 4：如图电路，：如图电路，A为有源网络，当为有源网络，当US=4V时，时，I3=4A；当；当US=6=6V时，时，I3=5A；求当求当US=2V时，时，I3为多少？为多少？US=2V时，时，I3=3A 4=4G+I05=6G+I0解得解得 G=0.5S，I0 0=2A即即 I3=0.5US+2解：设解：设有源网络单独作用下产生的有源网
8、络单独作用下产生的分量为分量为I0I3=GUS+I04.2 替代定理替代定理(Substitution Theorem)对于给定的任意一个电路，其中第对于给定的任意一个电路，其中第k条支路电压条支路电压uk和电流和电流ik已已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于uk的独立电压源，的独立电压源，或者用一个电流等于或者用一个电流等于ik的独立电流源来替代，替代后电路中全部电的独立电流源来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值压和电流均保持原有值(解答唯一解答唯一)。A+uk=ikA=Aik+uk支支路路 k 定理内容定理内容:替代定理所提到的第替代
9、定理所提到的第K条支路可以是电阻、电压源和电阻的串条支路可以是电阻、电压源和电阻的串联组合或电流源和电阻的并联组合。联组合或电流源和电阻的并联组合。证明：证明：ARUI IARI IU=RIU=RIabc用电压源替代用电压源替代AIUa、b为自然等位点，短为自然等位点，短路后不影响其余电路的路后不影响其余电路的数值。数值。用电流源替代用电流源替代证明：证明：电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。ARUIARUIII支路电流为零支路电流为零ARIII注意：注意：1.1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路
10、，也适用于非线性电路。2.2.第第K条支路中有受控源时，则该支路不能被替代。条支路中有受控源时，则该支路不能被替代。受控源的电压和电流随控制量的变化而变化，不能用恒定受控源的电压和电流随控制量的变化而变化，不能用恒定的电压源、电流源替代。的电压源、电流源替代。解：解：用替代定理用替代定理,把把Rx支路用电流源替代。支路用电流源替代。U=U+U=(0.1-0.075)I=0.025I1.510.50.50.12.52.5UIII1.5110.0752.58UII +0.5 0.5 1+U0.5 I810.5 0.5 1+UI0.5+0.5 0.5+10V3 1 RxIxUI0.5 例例1 1：若
11、要使若要使,IIx81 试求试求Rx。0.5 0.5 1+UI0.5 I81xxU0.025IR=0.21II8 例例2：试求图示电路在：试求图示电路在I=2A时，时，20V电压源发出的功率。电压源发出的功率。解：用解：用2A电流源替代上图电电流源替代上图电路中的电阻路中的电阻Rx和单口网和单口网 络络 N2，得到右图所示电路。得到右图所示电路。202241I 求得求得 A41I 20V电压源发出的功率为电压源发出的功率为 80W4)(20P 列出网孔方程列出网孔方程例例3：图图(a)电路中电路中g=2S。试求电流。试求电流I。解：先用分压公式求受控源控制变量解：先用分压公式求受控源控制变量U
12、 VU68626 用电流为用电流为gU=12A的电流源替代受控电流源，得到图的电流源替代受控电流源，得到图(b)电路，可以用叠加定理求得电流为电路，可以用叠加定理求得电流为7A44812444I作业作业 P107 4-2，4-7 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页4.3 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem)工程实际中，常常碰到只需研究某一支工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路路外的其余部分的电路(通常为二端网络或通常为二端网络或称一端口网络称一
13、端口网络)，等效变换为较简单的含源，等效变换为较简单的含源支路支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路联支路)，可大大方便我们的分析和计算。，可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。支路及其计算方法。R3R1R5R4R2iRxab+us概述：二端（单口、一端口）网络及其等效电路概述：二端（单口、一端口）网络及其等效电路(1)无源二端网络（无独立源）无源二端网络（无独立源）Noabii(2)(2)有源二端网络有源二端网络abRiNSabiiabReqUoc+-abReqIsc诺顿
14、定理诺顿定理戴维南定理戴维南定理一一.戴维宁定理戴维宁定理:1）对外电路来说）对外电路来说，有源二端网络，有源二端网络可以等效成电压源。可以等效成电压源。2）电压源的电压）电压源的电压=有源二端网络有源二端网络的开路电压的开路电压Uoc，电压源内，电压源内阻阻=有源二端网络内所有有源二端网络内所有独立电源置零后的输入电阻独立电源置零后的输入电阻Req。NSabiiabReqUoc+-NSababNo+uoc独立电源置零独立电源置零Req=Rab 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页5+10V4A10 Iab例：求例：求IabReqUoc+-I10 解：解：求求U Uococ5+10V4Aab
15、U Uococ=U=Uabab开开=4=45 5101030V30V求求R ReqeqR Reqeq5 5 ocequ30I=2VR+10154ab105u=20V11+51020I=2V10验证验证证明证明:(对图对图a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u和和 i值不变。计算值不变。计算u值值。=+根据叠加定理，可得：根据叠加定理，可得：电流源电流源i为零为零网络网络NS中独立源全部置零中独立源全部置零i(a)abNS+uN(b)iUoc+uNab+ReqabNS+uu=Uoc (外电路开路时外电路开路时a、b间开路电压间开路电压)u=Re
16、q i则则 u=u+u=Uoc -Req i 此关系式恰与图此关系式恰与图(b)电路相同电路相同。iabN0+uReqabNSi+u解题步骤：解题步骤：(2)(2)求求Uoc，等于将外电路断开时的开路电压，等于将外电路断开时的开路电压；(3)(3)求求Req，一端口网络内部独立源全部置零一端口网络内部独立源全部置零(电压源短路电压源短路,电流电流源开路源开路)后的等效电阻。后的等效电阻。等效电阻的计算方法：等效电阻的计算方法：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；1 12 2加压求流法或加流求压法加压求流法或加流求压法开短路法开
17、短路法3 32 23 3方法更有一般性方法更有一般性(含受含受控源）。控源）。(1)(1)画等效电路。画等效电路。(4)(4)计算所求值。计算所求值。将有源二端网络将有源二端网络NS内所有独立电源均变为零内所有独立电源均变为零，化为无源一端，化为无源一端口网络口网络N0后，外加后，外加U，求端口处的电流求端口处的电流I（外加电流外加电流I，求端求端口处的电压口处的电压U），），则输入电阻则输入电阻（等效电阻等效电阻）为为：eqURI（2 2）开短路法开短路法（开路电压开路电压、短路电流法、短路电流法)：分别求出有源一端口网络的开路电压分别求出有源一端口网络的开路电压Uoc和短路电流和短路电流I
18、sc，则有源一端口网络则有源一端口网络等效电阻等效电阻为为：（1 1）加压求流法或加流求压法（无源）加压求流法或加流求压法（无源）：oceqScURIN0UIReqabbNSaISC注意这两种计算式子中的注意这两种计算式子中的电流的正方向是不同的。电流的正方向是不同的。等效电阻等效电阻除了串并联公式计算外，还有以下两种计算方法：除了串并联公式计算外，还有以下两种计算方法：例例1.1.计算计算Rx分别为分别为1.2、5.2 时的时的I。IRxab+10V4 6 6 4 解：解：(1)戴维南等效电路戴维南等效电路：IabUoc+RxReq(2)(2)求开路电压求开路电压Uoc=U1+U2 =-10
19、 4/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2Vab+10V4 6 6+U24+U1+-Uoc(3)(3)求等效电阻求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8(4)Rx=1.2 时，时，I=Uoc/(Req+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2 时，时，I=Uoc/(Req+Rx)=2/10=0.2ARiab4 6 6 4 含受控源电路戴维南定理的应用含受控源电路戴维南定理的应用求求U0。3 3 6 I+9V+U0ab+6I例例2 2.abUoc+Req3 U0-+解：解：(2)求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V3 6 I+9V+Uocab+
20、6I(1)等效电路等效电路(3)求等效电阻求等效电阻Req方法方法1：加压求流法加压求流法U=6I+3I=9II=Ia 6/(6+3)=(2/3)IaU=9 (2/3)Ia=6IaReq=U/Ia=6 3 6 I+Uab+6IIa方法方法2：开短路法开短路法(Uoc=9V)3I=-6II=0Isc=I1 9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1(4)(4)由等效电路由等效电路V393630 UabUoc+Req3 U0-+例例3.3.解：解：(2)a、b开路开路，I=0，Uoc=10V(3)求求Req：加压求流法加压求流法U0=(I0-0.5
21、 I0)103+I0 103=1500I0Req=U0/I0=1.5k abUoc+U R0.5k Req用戴维南定理求用戴维南定理求U.+10V1k 1k 0.5Iab R0.5k+UI1k 1k 0.5Iab+U0II0(1)(1)等效电路等效电路U=Uoc 500/(1500+500)=2.5VIsc=-I，(I-0.5I)103+I 103+10=01500I=-10I=-1/150 A即即 Isc=1/150 A Req=Uoc/Isc=10 150=1500 (4)(4)由等效电路：由等效电路：A.利用开短路法求利用开短路法求Req：Req=Uoc/IscUoc=10V（已求已求出
22、出）求短路电流求短路电流Isc(将将a、b短路短路)：方法二：方法二：+10V1k 1k 0.5IabIIsc 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页最大功率传输定理：最大功率传输定理：任何一个复杂的含源一端口网络都可以用一个戴维宁等效电任何一个复杂的含源一端口网络都可以用一个戴维宁等效电路来替代。路来替代。ReqUOCRLILUL当当RL Req时，负载时，负载RL才能获得最大功率才能获得最大功率称为最大功率传输定理。称为最大功率传输定理。习惯上，把这种工作状态称为负载与电源匹配。习惯上，把这种工作状态称为负载与电源匹配。问题：问题：在小功率电路中（电子线路），常需要负载和电源匹在小功率电路
23、中（电子线路），常需要负载和电源匹配，而在大功率的动力系统中，是否需要匹配，为什么？配，而在大功率的动力系统中，是否需要匹配，为什么？1）匹配时，电源效率为）匹配时，电源效率为50，内阻损耗负载损耗，效率低。，内阻损耗负载损耗，效率低。2）大功率系统，电源电压高，内阻小，若匹配，则回路电流）大功率系统，电源电压高，内阻小，若匹配，则回路电流过大，易损坏电气设备。过大，易损坏电气设备。iOCLRUP42 max 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页例：例：电路如下图所示，已知电路如下图所示，已知US124V，US25V，电流源电流源IS1A，R13，R24，R36，计算：计算：（1）当负载电阻
24、当负载电阻RL12 时，时，RL中的电流和功率。中的电流和功率。（2）设设RL可调，则可调，则RL为何值为何值时才能获得最大功率，其值为多少？时才能获得最大功率，其值为多少？RLUS1R1ISR3US2R2ReqRLILUOC解解 等效电路等效电路 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页US1R1ISR3US2R2abUoc求求UOC求等效电阻求等效电阻ReqOCS2abU=-U+US113S23S1313UR R=-U+R-IR+RR+R243 6=-5+6-1=9V3+63+6 631312RRRRRReqARRUILeqOCL5.0 WRIPLLL32 由等效电路由等效电路计算计算RL
25、及及PLmax当当RL Req6 时，负载可获时，负载可获得最大功率。最大功率为：得最大功率。最大功率为：WRUPeqOCL375.3649422max 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页二、诺顿定理：二、诺顿定理：NSababGeq(Req)Isc1）对外电路来说）对外电路来说，有源二端网络，有源二端网络可以等效成电流源。可以等效成电流源。2）电流源的电流）电流源的电流=有源二端网络有源二端网络的短路电流的短路电流ISC，电流源内，电流源内阻同戴维宁等效电路内阻（阻同戴维宁等效电路内阻（有源二端网络内所有独立电源有源二端网络内所有独立电源置零后的输入电阻置零后的输入电阻Req）。abNo
26、独立电源置零独立电源置零NSabIscReq=Rab4 IReqIs例例.求电流求电流I。12V2 10+24V4 I+(2)求求IscI1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解：解：2 10+24VIsc+I1I212V(1)等效电路等效电路(3)求求Req：串并联串并联Req=10 2/(10+2)=1.67 (4)由等效电路由等效电路:I=-Isc 1.67/(4+1.67)=9.6 1.67/5.67 =2.83AReq2 10 ab4 I1.67 -9.6A作业作业 P110 4-12(b),(c)P110 4-12(b
27、),(c)，4-174-17 下一页下一页章目录章目录 上一页上一页 例例:电路如图电路如图(a)所示，其中所示，其中g=3S。试求。试求Rx为何值时电流为何值时电流I=2A，此时电压此时电压U为何值为何值?解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络N1和和N2 分别用戴维南等效电路代替，到图分别用戴维南等效电路代替，到图(b)电路。单口电路。单口N1 的开路电压的开路电压Uoc1可从图可从图(c)电路中求得，列出电路中求得，列出KVL方程方程103202221oc1oc1oc1UgUU 解得解得 5V210oc1U 为求为求Ro1，将，将20V电压源
28、用短路代替，得到图电压源用短路代替，得到图(d)电路，再用电路，再用外加电流源外加电流源I计算电压计算电压U的方法求得的方法求得Ro1。列出。列出KVL方程方程IUIgUU2322221I)(解得解得 1IURo1再由图再由图(e)电路求出单口电路求出单口 N2的开路电压的开路电压Uoc2和输出电阻和输出电阻Ro2 3V=16+363+3633oc2 2U26363o2R 最后从图最后从图(b)电路求得电流电路求得电流I 的表达式为的表达式为 xxxooococR1RRRRUUI8215)(32112 令令 I=2A，求得，求得Rx=3。此时电压。此时电压U 为为 VUIRUoco752111
29、VUIRRUocox7322)(3)(22或或 4.4 特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem)特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定理，在这个意义上，它与基尔霍夫定理等价。特勒根定理有理，在这个意义上，它与基尔霍夫定理等价。特勒根定理有两种形式。两种形式。对于一个具有对于一个具有n个结点和个结点和b条支路的电路，条支路的电路，假设各支路电流假设各支路电流和支路电压取关联参考方向和支路电压取关联参考方向，并令，并令（i1，i2，ib）、（）、（u1，u2，ub）分别为分别为 b条电路的电流和电压，则对任何时间条电路的电
30、流和电压，则对任何时间t，有有1.1.特勒根定理特勒根定理1 1：01 bkkkiu此定理可通过右图所示电路的图证明此定理可通过右图所示电路的图证明如下如下：令：令un1、un2、un3分别表示结点分别表示结点 的结点电压，按的结点电压，按KCL可得出各支路电可得出各支路电压与结点电压的关系为压与结点电压的关系为3120123564u1=un1；u2=un1-un2；u3=un2 -un3；u4=-un1+un3 ；u5=un2；u6=un3对结点对结点、应用应用KCLKCL，得得i1+i2 i4=0 ；i2+i3+i5=0 ；i3+i4+i6=0 而而6k k1 12 23 34 45 56
31、 6k=1u i=u i+u i+u i+u i+u i+u i把支路电压用结点电压表示后，代入上式并经整理可得把支路电压用结点电压表示后，代入上式并经整理可得()()()6k kn1 1n1n22n2n33n1n34n2 5n3 6k=1ui=u i+u-u i+u-u i+-u+u i+u i+u i上式中各括号内的电流分别为结点上式中各括号内的电流分别为结点、处电流的代数和，处电流的代数和，根据各结点的根据各结点的KCL方程，即有方程，即有上述证明可推广至任何具有上述证明可推广至任何具有n个结点和个结点和b条支路的电路，即有条支路的电路，即有()()()6k kn1124n2235n33
32、46k=1u i=ui+i-i+u-i+i+i+u-i+i+i061 kkkiu01 bkkkiu注意在证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了集尔霍夫定注意在证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了集尔霍夫定理，并不涉及电路的内容，因此特勒根定理对任何具有线性、理，并不涉及电路的内容，因此特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用集总电路都适用。这个定理实质。这个定理实质上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部之路上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部之路吸收的功率之和恒等于零。吸收的功率之和恒等于零。2.2.具有相同拓扑结
33、构（特征）的电路具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点的联接关系也相同。的联接关系也相同。NNR5R4R1R3R2R6+us11234R5R4R1R3R6us6is2+1243 故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图（图）完全故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图（图）完全相同。相同。左图为上述两个电路的拓扑图。由于左图为上述两个电路的拓扑图。由于上述两个电路的支路与结点联接关系上述两个电路的支路与结点联接关系相同，因此它们的图也相同。相同，因此它们的图也相同。假设两个电路中对应支路电压假设两个
34、电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。压相同的参考方向。3.3.特勒根定理特勒根定理2 2：4651234231、如果有两个具有如果有两个具有n个结点和个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。但由内容不同的支路构成。假设两个电路中对应支路电压方向相假设两个电路中对应支路电压方向相同，各支路电流和电压都取关联参考方向，同，各支路电流和电压都取关联参考方向，并分别用并分别用（i1，i2，ib）、（）、（u1，u2，ub）和和)(b21i,i,i)(b21u,u,u表示两个电路中表示两
35、个电路中b条支路条支路 的电流和电压，的电流和电压，则在任何时间则在任何时间t，有有证明：设两个电路的图如下图所示，证明：设两个电路的图如下图所示，取结点取结点4为参考结点为参考结点。0011 bkkkbkkkiuiu或或4651234231u1un1；u2un1un3；u3un3；u4un1un2；u5un2；u6un2un3 电路电路10421 iii0654 iii0632 iii电路电路2对电路对电路1，可列写，可列写KVL方程方程,有有:对电路对电路2，可列写，可列写KCL方程，有方程，有而而66554433221161iuiuiuiuiuiuiukkk 把电路把电路1的的KVL方程
36、代入上式，整理可得方程代入上式，整理可得把电路把电路2 2的的KCL方程代入上式，可知：方程代入上式，可知：061 kkkiu此上述证明可推广至任何具有此上述证明可推广至任何具有n个个结点和结点和b条支路的电路，即有：条支路的电路，即有：01 bkkkiu01 bkkkiu 同理可证明定理的第二部分，即有：同理可证明定理的第二部分，即有：()()()6k kk=1123456n1n1n3n3n1n2n2n2n3124456236n1n2n3u i=-ui+u-ui+ui+u-ui+ui+u-ui=u-i+i+i+u-i+i+i+u-i+i-i4.4.功率守恒定理：功率守恒定理：在任一瞬间，任一
37、电路中的所有支路所吸收的瞬时功率在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率的代数和为零，即的代数和为零，即 将特勒根定理将特勒根定理1 1用于同一电路中各支路电流、电压即可证用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。得上述关系。值的注意的是，特勒根定理值的注意的是，特勒根定理2 2不能用功率守恒解释，它仅仅不能用功率守恒解释，它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个支路电流，或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压个支路电流，或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压和电流必须遵守的数学关系。由于它仍具有
38、功率之和的形式，和电流必须遵守的数学关系。由于它仍具有功率之和的形式，所以有时又称为所以有时又称为“拟功率定理拟功率定理”。注意：注意：特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u，i 满足满足KCL、KCL即可。特勒根定理与即可。特勒根定理与KCL、KCL三者中取其两三者中取其两个即可。个即可。例例1 1：(1)R1=R2=2,Us=8V时时,I1=2A,U2=2V(2)R1=1.4 ,R2=0.8,Us=9V时时,I1=3A,求求U2。解：解：利用特勒根定理利用特勒根定理2由已知条件由已知条件(1)可得：可得：U1=4V,I1=2A,U2=2V
39、,I2=U2/R2=1A121222(2):4.8V,3A,/(5/4)UIIURU条由由已已知知件件可可得得),()()(1122112211的的方方向向不不同同负负号号是是因因为为IUIUIUIUIUV./.6151421284251234222 UUU无源无源电阻电阻网络网络 N0 +U1+UsR1I1I2+U2R2可知可知：例例2.2.已知：已知：U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A；解：解：P+U1+U2I2I1P+2 1 U2 U1 I2 IV102 U.1U求求 )()(22112211IUIUIUIU 112 IUV.11 U4.5 互易定理互易定理(Reciproc
40、ity Theorem)第一种形式第一种形式:电压源激励，电流响应。电压源激励，电流响应。给定任一仅由线性电阻构成的网络给定任一仅由线性电阻构成的网络N0(见下图见下图)，设支路设支路j中有唯一电压源中有唯一电压源uj，其在支路其在支路k中产生的电流为中产生的电流为ikj(图图a)；若支若支路路k中有唯一电压源中有唯一电压源uk，其在支路其在支路j中产生的电流为中产生的电流为ijk(图图b)。cd线性线性电阻电阻网络网络 N0ijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N0+ujabcd(a)当当 uk=uj 时时，ikj=ijk。则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流
41、有如下关系：jkjkjkkjkjkjiuiu uiui 或或 证明证明:用特勒根定理。用特勒根定理。由特勒根定理由特勒根定理2：0 0b1kkkb1kkkiuiu 和和(设设a-b支路为支路支路为支路1，c-d支路为支路支路为支路2，其余支路为，其余支路为3b)。图图(a)与图与图(b)有相同拓扑特征，图有相同拓扑特征，图(a)中用中用uk、ik表示支路表示支路电压、电流，电压、电流，图图(b)中用中用 kkiu、表示支路电压、电流表示支路电压、电流。0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu即：即：0 32211322111 bkkkkbkkkbkk
42、kiiRiuiuiuiuiuiu两式相减，得两式相减，得u iu iu iu i12121212将图将图(a)(a)与图与图(b)(b)中支路中支路1 1，2 2的条件代入，即的条件代入，即即：即：证毕！证毕！jkkkjjiiuuuiiuuu 12122100 ,;,当当 uk=uj 时时，ikj=ijk uiui iuiukjkjkjjkjkjk 或或 互易定理的第一种形式，互易定理的第一种形式，即对一个仅含线性电阻的电即对一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应为电流时，当激励和响应互路，在单一电压源激励而响应为电流时，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。换位置时，
43、将不改变同一激励所产生的响应。2jjk1k kju i0i0iu i第二种形式第二种形式:电流源激励，电压响应。电流源激励，电压响应。在任一线性电阻网络的一对节点在任一线性电阻网络的一对节点j，j间接入唯一电流源间接入唯一电流源ij，它在另一对节点它在另一对节点k，k之间将产生电压之间将产生电压ukj(见图见图a)；若改在节点若改在节点k，k间接入唯一电流源间接入唯一电流源ik，它在节点它在节点j，j之间将产生电压之间将产生电压ujk(图图b)，则上述电压、电流有如下关系：则上述电压、电流有如下关系：当当 ik=jj 时，时，ukj=ujk。jjkkkjkjkjkjiuiu iuiu 或或 u
44、kjij+jjkk(a)ik+ujkjjkk(b)证明：设证明：设j-j支路为支路支路为支路1，k-k支路为支路支路为支路2,其余支路为其余支路为3b)。图图(a)与图与图(b)有相同拓扑特征，图有相同拓扑特征，图(a)中用中用uk、ik表示支路电压、电流，表示支路电压、电流，图图(b)中用中用 kkiu、表示支路电压、电流表示支路电压、电流。根据式：根据式：将图将图(a)与图与图(b)中支路中支路1，2的条件代入，即的条件代入，即即即jjkkkjiuiu 或或 kjkjkjiuiu 当当 ik=jj 时，时，ukj=ujk 证毕！证毕！u iu iu iu i12121212jkkkjjuu
45、iiiuuiii121221 ,0 ;,0 ,1122iuiuuuiuiu21211200 例：例：2 1 2 4+8V2 Iabcd求电流求电流I。解：解：利用互易定理利用互易定理I1=I 2/(4+2)=2/3AI2=I 2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2 1 2 4+8V2 IabcdI1I2IA248212428 /I解毕！解毕！给定任一仅由线性电阻构成的网络给定任一仅由线性电阻构成的网络N0(见下图见下图)，设支路设支路j有唯有唯一的电流源一的电流源ij，其在支路其在支路k中产生的电流为中产生的电流为ikj(图图a)；若支路若支路k中有唯一的电压源中有唯一的电压源u
46、k，其在支路其在支路j中产生的电流为中产生的电流为ujk(图图b)。第三种形式第三种形式:电流源激励、电流响应与电压源激励、电压电流源激励、电流响应与电压源激励、电压响应的互易形式。响应的互易形式。jjkkkjkjkjkjiuui uuii 或或 当当 uk=jj（在数值上在数值上）时时，则有则有 ukj=ijk（在数值上在数值上）。）。ca(b)d线性线性电阻电阻网络网络 N0ujk+ukbikj线性线性电阻电阻网络网络 N0ijabcd(a)i1 互易定理的三种不同形式，其中激励和响应可能是电压互易定理的三种不同形式，其中激励和响应可能是电压或电流或电流而有所不同，但在它们互换位置前后，若
47、假设把电压而有所不同，但在它们互换位置前后，若假设把电压源和电流源置零，则电路保持不变。在满足这个条件下，互源和电流源置零，则电路保持不变。在满足这个条件下，互易定理可以归纳如下易定理可以归纳如下“对于一个仅含线性电阻的电路，在单对于一个仅含线性电阻的电路，在单一激励下产生的响应，当激励和响应互换位置时，其比值保一激励下产生的响应，当激励和响应互换位置时，其比值保持不变持不变”。证明：因为证明：因为 设设a-b支路为支路支路为支路1，c-d支路为支路支路为支路2，其余支路为，其余支路为3b。将将图图(a)与图与图(b)中支路中支路1，2的条件代入，即的条件代入，即i1ij ，u20，kuui
48、210，得到得到021 iuiukj)(jjkkkjiuui 0 kjkjjkiuiu kjkjkjuuii u iu iu iu i12121212(1)(1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路的电压电流关系。的电压电流关系。(2)(2)激励为电压源时，响应为电流激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。电压与电流互易。(3)(3)电压源激励、电流响应时，互易时原电压源处短路，电电压源激励、电流响应时，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；压源串入另一支路；电流源激励、电压响应时，互易时原电流源处开路，电电流源激励、电压响应时，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。流源并入另一支路的两个节点间。(4)(4)互易要注意电源与电压互易要注意电源与电压(电流电流)的方向。的方向。(5)(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：
