1、第第 1 章章 概率论的基本概念概率论的基本概念李李芳凤芳凤 email:实践中的统计 泛海水产泛海水产公司公司 是俄亥俄州优质海产品的一家主要供应商。在制定合理、可盈利的产品价格时，概率分析的方法发挥了很大的作用.实践中的统计 泛海水产泛海水产公司公司 接到供应商发来的鲜鱼时，需要将这些鱼切片加工以满足不同顾客的需求。一条100磅的新鲜金枪鱼可能会花去500美元加工费，乍看之下，公司所支付的成本为500/100=5(美元/磅)，然而，切片过程中会有损失，即成品不到100磅，假设最终出肉率为75%，则公司所支付的实际单价为500/75=6.67(美元/磅)，因此公司在指定价格时，需要以6.67
2、为基准。实际上出肉率是未知的，对其的估算影响了公司指定价格等决策。2008年9月25日21：10分，搭载着神舟七号载人飞船的长征二号F型运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，并在完成中国航天员首次太空行走和各项科学试验任务后，于2008年9月28日17时38分安全返回。太空中充斥着难以计数的空间碎片，随时会给飞船带来致命的冲击。神州七号飞船遭遇空间碎片的概率有多大？神州七号飞船遭遇空间碎片的概率有多大？空间碎片的飞行速度平均每秒10公里，最高时速达每秒16公里。在这样的速度下，一个1厘米的碎片就可以把拥有各种防护功能的飞船打穿一个洞。航天员的舱外航天服更经不起碰撞.据中国科学院空间环境研究
3、预报中心预测专家说，世界各国联合起来对10厘米至30厘米的大块碎片进行监测，是能够发现它的轨迹的。但对于较小的碎片，人类的观测设备没有办法观测得到，因此还没有办法较为准确地掌握它的运行轨迹，只能通过它碰撞、破碎的演化规律来尽可能多地了解它的运行.神州七号飞船遭遇空间碎片的概率有多大？神州七号飞船遭遇空间碎片的概率有多大？神州七号飞船遭遇空间碎片的概率有多大？神州七号飞船遭遇空间碎片的概率有多大？目前可被地面观测设备观测并测定其轨道的空间物体超过9000个，其中只有6是仍在工作的航天器，其余为空间碎片.在神舟七号载人航天飞行期间，预计将有10个左右的危险时段可能会遭遇空间碎片的碰撞，只要避开这些
4、危险时段，碰撞的概率都是在百万分之一以下。即使是在那几个危险的时段，飞船或航天员与空间碎片碰撞的概率也在万分之一以下.据中国科学院空间环境研究预报中心专家称，这种小概率事件意味着我们几乎可以保证飞船不会与空间碎片相撞.本章本章要点要点计算和解释条件概率、利用概率论方面的知识制定决策。几个基本概念试验试验(experiment)(experiment)：能够产生各种明确结果的过程试验试验试验结果试验结果抛掷一枚硬币正面，反面检测某一零部件次品，正品拨打一次销售电话购买，不购买抛掷一枚骰子1,2,3,4,5,6进行一场足球比赛获胜，失利，平局试 验(EXPERIMENT)试 验(experimen
5、t)试验的特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果 样本空间样本空间(sample space)试验所有可能发生的结果，一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面 样本点样本点(sample point)(sample point)：任何一个特定的试验结果例：投掷一枚骰子例：投掷一枚骰子样本空间：1,2,3,4,5,6样本点：一次投掷的结果，16之间任何整数例：例：零部件检测零部件检测样本空间：次品、正品样本
6、点：正品或次品例：投掷硬币的试验中例：投掷硬币的试验中样本空间：正面，反面样本点：正面或反面【例】指出下面描述的样本空间与样本点1观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数；2观察一个新灯泡的寿命。=X|X=0=T|T0 随机事件随机事件(random eventrandom event)：随机试验的可能结果例如：掷一枚骰子可能出现的点数 一般用大写字母A，B，C表示。事件的概念1.1.必然事件必然事件(certain eventcertain event)：每次试验一定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于72.2.不可能事件不可能事件(impossible eventimpossi
7、ble event)：每次试验一定不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6事件的概念基本事件基本事件(elementary eventelementary event)由样本空间中一个样本点构成的单点集一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数【例】试指出下列事件中，哪些是不可能事 件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（2）手电筒的电池没电,灯泡发亮.（5）当 x 是实数时，x 0；（6）一个袋内装有形状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球（3）在标准大气压下，水在温度 时沸腾；（4）直线 过定点 ；1xky0,1（1）某地1月1日刮西北风；随机事件的
8、随机事件的关系关系随机事件的随机事件的关系关系随机事件的随机事件的关系关系互斥事件互斥事件(mutually exclusive events)(mutually exclusive events)：如果两个事件没有公共的样本点，则称这两个事件是互斥的。A随机事件的关系与运算举例随机事件的关系与运算举例 【例例】考察某一位同学在一次数学考试中的成考察某一位同学在一次数学考试中的成绩绩,分别用分别用A,B,C,D,P,FA,B,C,D,P,F表示下列各事件表示下列各事件(括号括号表示成绩所处的范围表示成绩所处的范围):):A A优秀优秀(90,100)B(90,100)B良好良好(80,90)(
9、80,90)C C中等中等(70,80)D(70,80)D及格及格(60,70)(60,70)PP通过通过(60,100)F(60,100)F未通过未通过(0,60)(0,60)事件的运算法则事件的运算法则（1 1）交换律：）交换律：ABBAABBA （2 2）结合律：）结合律：)()()()(CBACBACBACBA （3 3）分配律：）分配律：)()()()()()(CBCACBACBCACBA （4 4）德摩根律）德摩根律：ABABABAB 随机事件的运算及规律举例随机事件的运算及规律举例【例】甲，乙，丙三人各射一次靶，设A“甲中靶”，B“乙中靶”，C“丙中靶”，试用上述三个事件的运算来
10、分别表 示下列各事件：1）“甲未中靶”2）“甲中靶而乙未中靶”3）“三人中只有丙未中靶”4）“三人中恰好有一个中靶”AABABCABCBACCAB随机事件的运算及规律举例随机事件的运算及规律举例【例】甲，乙，丙三人各射一次靶，设A“甲中靶”，B“乙中靶”，C“丙中靶”，试用上述三个事件的运算来分别表 示下列各事件：5）“三个中至少有一人中靶”6）“三个中至少有一人未中靶”7）“三人中恰有两人中靶”8）“三人中至少两人中靶”ABCABCABCACBBCAABACBC问:随机事件的运算及规律举例随机事件的运算及规律举例【例】在经济学院学生中任选一名，记 A=“被选学生为男生”B=“被选学生是二年级
11、学生”C=“被选学生是学生干部”(1)ABC表示什么事件？被选学生是二年级男生，并且不是学生干部。学生会全体干部全是二年级男生时关系式成立.（2）在什么条件下ABC=C?频率在相同条件下，重复进行n次试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向于稳定.例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右概率概率 概率概率(probability)是对事件发生的可能性的一种数值度量。概率的统计定义：在相同条件下，进行n次独立重复试验，当试验次数n很大时，如
12、果某事件A发生的频率f(A)稳定地在0,1上的某一数值p附近摆动，且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动幅度将越来越小，则称数值p为事件A发生的概率，记为P(A)=p.概率的公理化定义概率的公理化定义(2).规范性规范性P()=1;(3).可可加性加性若若事件事件A1,A2,An 两两互斥，则有两两互斥，则有 设设E是随机试验，是随机试验，是样本空间，对是样本空间，对中中的每个事件的每个事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A)，如果如果P(A)满足下述三条满足下述三条:(1).非非负负性性P(A)00；则称则称P(A)为事件为事件A 的概率的概率。1212()()()().nP AAP AP
13、 AP A【例例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有概率的性质对任意两个随机事件、对任意两个随机事件、，有，有 BA()AB A()()()()()()()P ABP ABAP AP BAP AP BP ABBAn性质性质5加法公式加法公式()()()()P ABP AP BP AB概率概率的性质的性质多算了一次概率的性质例例()0.5
14、,()0.2,()0.4,(1)()(2)()P AP ABP BP ABP AB 已知求(1)()()()BABABP ABP BP AB解:(2)()()1()()P A BP BP AP AB 知识点回顾知识点回顾知识点回顾知识点回顾 概率概率(probability)是对事件发生的可能性的一种数值度量。概率的统计定义：在相同条件下，进行n次独立重复试验，当试验次数n很大时，如果某事件A发生的频率f(A)稳定地在0,1上的某一数值p附近摆动，且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动幅度将越来越小，则称数值p为事件A发生的概率，记为P(A)=p.概率的公理化定义概率的公理化定义(2)规范性规
15、范性P()=1;(3)可加性可加性若若事件事件A1,A2,An 两两互斥，则有两两互斥，则有 设设E是随机试验，是随机试验，是样本空间，对是样本空间，对中中的每个事件的每个事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A)，如果如果P(A)满足下述三条满足下述三条:(1)非非负负性性P(A)00；则称则称P(A)为事件为事件A 的概率的概率。1212()()()().nP AAP AP AP A知识点回顾知识点回顾知识点知识点回顾回顾某钢铁公司所属企业职工人数某钢铁公司所属企业职工人数工厂工厂男职工男职工女职工女职工合计合计炼铁厂炼铁厂炼钢厂炼钢厂轧钢厂轧钢厂440032009001800160060
16、0620048001500合计合计8500400012500等可能概型等可能概型如果试验如果试验 E 满足满足 (1(1)试验试验结果只有有限种；结果只有有限种；(2(2)各种各种结果出现的可能性相同。结果出现的可能性相同。则称这样的试验模型为则称这样的试验模型为等可能概率模型等可能概率模型或或古古典概率模型典概率模型，简称，简称等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。古典概率古典概率(classical method)(classical method)：适用于各种试验结果等可能发生的场合。例子例子1 1：抛掷硬币：抛掷硬币 抛掷一枚均匀的硬币有两种可能的试验结果，正面朝上或反面朝上。且两
17、者都是等可能发生，因此，正面朝上的概率是1/2，同理，反面朝上的概率也为1/2 例子例子2 2：投掷骰子：投掷骰子 在投掷骰子的试验中，6种结果以相同的概率发生，因此每个结果的概率为1/6定理 在古典概型中，设样本空间有n个样本点，A是中的事件且A中有k个样本点,则事件A发生的概率为.)(nkAP 证明：证明：因因试验试验E的结果只有有限种，即样本点是有限的结果只有有限种，即样本点是有限个个:1,2,n。=1 2 n，i是基本事件，且各自发生的概率相等。是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，于是，有有 1=P()=P(1 2 n)=P(1)+P(2)+P(n)=n P(i),i=1,2,n。
18、从而，从而，P(i)=1/n，i=1,2,n.因此，若事件因此，若事件A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即1()().rkAirkAP APn中包含基本事件数基本事件总数12,kiiiA 则则例：例：掷一颗均匀骰子，设掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为表示所掷结果为“四点或五点四点或五点”，B表示所掷结果为表示所掷结果为“偶数偶数点点”，求，求P(A)和和P(B)。解：由解：由 n=6，kA=2,得得 P(A)=2/6=1/3；再再由由kB=3，得，得 P(B)=3/6=1/2。例：例：瓶瓶中装有中装有50颗药丸，其中有颗药丸，其中有3颗次品。求颗次品。求1)一次取一颗，取到次品的概
19、率一次取一颗，取到次品的概率2)一次取一次取5颗，其中有颗，其中有2颗是次品的概率。颗是次品的概率。解：解：2)在在50颗药丸中取颗药丸中取5颗，可能结果有颗，可能结果有 个个设设B=取取5颗中颗中有有2颗是次品颗是次品，则，则B包含的事件包含的事件数为数为组合排列组合排列例：一袋中有3个白球和2个红球，从中摸两次，每次一球.设A表示“取到两球都是白球”，B表示“取到的两球都是红球”，C表示“取到的两球中至少有一个白球”。请在(1)有放回抽样,(2)不放回抽样条件下求P(A)，P(B)，P(C)(1)有放回抽取，即每次取出一球记下号码后放回袋中，混合后再进行下次抽取(2)不放回抽取，即每次取出
20、一球后不再放回又抽取下一球解：有放回抽样：第一次从袋中取球有5个球可供抽取，第二次也有5个球可抽，故共有5*5=25种取法对于事件A，第一次从袋中取球有3个球可供抽取，第二次也有3个球可抽，故共有9种取法，故解：不放回抽样：第一次从袋中取球有5个球可供抽取，第二次有4个球可抽，故共有5*4=20种取法对于事件A，第一次从袋中取球有3个球可供抽取，第二次有2个球可抽，故共有6种取法，故练习练习：货架上有外观相同的商品货架上有外观相同的商品15件，其中件，其中12件件来自产地甲来自产地甲,3件来自地乙。现从件来自地乙。现从15件商品中随机件商品中随机地抽取两件地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的
21、概率。求这两件商品来自一同产地的概率。解：从15件商品中取出2商品，共有C215=105种取法，且每种取法都是等可能的，故n=105。令 A=两件商品都来自产地甲,kA=C212=66,B=两件商品都来自产地乙,kB=C23=3，而事件:两件商品来自同一产地=AB,且A与B互斥,AB包含基本事件数66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。条件概率条件概率 事件发生的概率经常会受到与之相关的事件的影响。用条件概率来衡量例例 袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球，红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同。若已知取到的球是白球，问：
22、它是木球的概率是多少？白球白球红球红球小计小计木球426塑料球314小计7310设设A A、B B为两事件为两事件,P P(A A)0,)0,则称则称 条件概率的定义条件概率的定义|P B A)()(APABP为事件为事件A A 发生条件下事件发生条件下事件B B 发生的发生的条件概率条件概率。例例 美国东部城市警察局男性和女性警官的升职情况。该警察局有1200个警官，其中男性960人，女性240人。过去两年共有324位警官得到了晋升。具体数据如下：一个女警官委员会提出，在晋升过程中存在性别歧视的现象。理由是324位被提升的人中，有288人为男性，而女性仅仅有36人。警察局的官员争辩道原因在于
23、女警官人数本来就比较少。试利用条件概率来对性别歧视的指控进行分析。【练习练习】某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率岁的概率为为0.7，活到，活到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动物活到岁的这种动物活到25岁的概率。岁的概率。解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”则则 ()0.7,()0.56P AP B所求概率为 ()()()0.8()()P ABP BP B AP AP A乘法公式 加法公式加法公式用来计算两个事件并的概率事件并的概率，而乘法公式乘法公式用来计算两个事件的交的概率事件的交的概率 乘法公式:设A、B为两个事件，若P(B)
24、0(P(A)0)，则 P(AB)=P(B)P(A|B)，(或P(AB)=P(A)P(B|A)()()()P ABP A BP B()()()P ABP B AP A【例例】设有设有10001000件产品，其中件产品，其中850850件是正品，件是正品，150150件是次品，从中依次抽取件是次品，从中依次抽取2 2件，两件都是次件，两件都是次品的概率是多少？品的概率是多少？【练习练习】“哈里斯个人理财调查哈里斯个人理财调查”部门调查了部门调查了2082名成年人，以了解他们拥有住房的情况。名成年人，以了解他们拥有住房的情况。其中其中1249名受访者拥有自己的住房。名受访者拥有自己的住房。450名年
25、名年龄在龄在1834岁的受访者中，岁的受访者中，117名拥有自己的住名拥有自己的住房。房。随机随机挑选一名成年人，挑选一名成年人，年龄在年龄在1834岁之岁之间且有自己住房的概率是多少？间且有自己住房的概率是多少？解设表示年龄在1834岁之间,表示有自己的住房,则()P AB()()P A P B A45011720824500.056 定理 在古典概型中，设样本空间有n个样本点，A是中的事件且A中有k个样本点,则事件A发生的概率为.)(nkAP 知识点回顾知识点回顾设设A A、B B为两事件为两事件,P P(A A)0,)0,则称则称条件概率条件概率的定义的定义|P B A)()(APABP
26、为事件为事件A A 发生条件下事件发生条件下事件B B 发生的发生的条件概率条件概率。知识点回顾知识点回顾知识点回顾知识点回顾 加法公式加法公式用来计算两个事件并的概率事件并的概率，而乘法公式乘法公式用来计算两个事件的交的概率事件的交的概率 乘法公式:设A、B为两个事件，若P(B)0(P(A)0)，则 P(AB)=P(B)P(A|B)，(或P(AB)=P(A)P(B|A)()()()P ABP A BP B()()()P ABP B AP A全概公式 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概
27、率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生发生的概率是各原因引起的概率是各原因引起B发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概公式全概公式设事件A1，A2，An 为样本空间的一个划分，P(Ai)0(i=1,2,n)，则对任意事件B，有 由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果由原因推结果”，每个原因对结果的发，每个原因对结果的发生有一定的生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能，即结果发生的可能性与各种原因的性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关.全概全概率公
28、式表达了它们之间的关系率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子中任取一颗所结的穗含有50颗以上麦粒的概率 解解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是三等，四等种子的事件分别是1，2，3，4，则它们构成完备事件组，又设表示任，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有选一颗种子所结的穗含有
29、50粒以上麦粒这一事粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：件，则由全概率公式：41iii)AB(P)A(P)B(P=95.50.520.151.50.110.05=0.4825 某地成年人体重肥胖者某地成年人体重肥胖者(A1)占占0.1，中等者中等者(A2)占占0.82，瘦小者，瘦小者(A3)占占0.08，又肥，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为别为0.2，0.1，0.05.求该地成年人患高血压求该地成年人患高血压的概率。的概率。解：令解：令B B某人患高血压，某人患高血压，A A=某人体重某人体重的特征的特征(=、)，显然它们构成一，显然它们构
30、成一完备事件组，且事件完备事件组，且事件B B只能与其中之一事件同只能与其中之一事件同时发生。故用全概率公式计算。时发生。故用全概率公式计算。P(B)=0.10.2+0.820.1+0.080.05=0.106P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)贝叶斯贝叶斯公式公式播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05。1)求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.2)由这批所结出的含有50颗麦粒以上的麦穗中，是
31、一等种子长出来的概率？0.4825贝叶斯贝叶斯公式公式贝叶斯贝叶斯公式公式某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.CCC已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人
32、患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A).由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP=0.1066 0.005 0.950.005 0.950.995 0.040.00475=0.00475+0.0398【练习练习】一个有一个有5个选择的考题，其中只有一个选择的考题，其中只有一个选择是正确的个选择是正确的.假定应考人知道正确答案的概假定应考人知道正确答案的概率为率为p.如果他最后选对了，问他确实知道答案如果他最后选对了，问他确实知道答案的概率是多少的概率是多少?解：设 A=知道答案，B=选择正
33、确，由题意可知：(|)P B A由全概率公式:141()()(|)()(|)(1)55pP BP A P B AP A P B App得到()5(|)()41P ABpP A BP Bp 1,5(|)P B A1,()P Ap()P AB事件的独立性1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则 P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此时概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)P(B)推广到n个独立事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)例例 为研究某种方剂对风热外感症的疗效，随机选取400名患者，有的服药，有的
34、不服药，经过一段时间，有的有效，有的无效，结果如表所示，试判断此方剂治疗风热外感症是否有效。B(服药服药)B(未服药未服药)合计合计A（有效）127190317A（无效）335083合计160240400解解 若事件A与事件B独立，就说明有效与服药无关，方剂未起作用。317()0.793,400P A127(|)0.794,160P A B()(|),两者几乎相等，认为事件，相互独立P AP A BAB所以该方剂对风热外感症没有确实疗效。例例 某人向一圆形靶射击，假定不会脱靶，且某人向一圆形靶射击，假定不会脱靶，且击中圆形靶各处的机会都均等，记击中圆形靶各处的机会都均等，记 A A=“击中左半部击中左半部”B B=“击中下半部击中下半部”问问A A，B B是否相互独立？是否相互独立？解：按几何概型有解：按几何概型有P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(AB)=0.25P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(AB)=0.25P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.25/0.5=0.5P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.25/0.5=0.5P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.25/0.5=0.5P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.25/0.5=0.5A A，B B相相互独立互独立!总结总结 作业：P36 6
