1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合 A3，4，5，6，集合 B 5，6，7，8，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A3，4，7，8 B3，4，5，6，7，8 C1，2，9 D5，6 2 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 3 （5 分）已知向量 =（1，2） ， + =（m，4） ，若
2、 ，则 m（ ） A3 B2 C2 D3 4 （5 分） 九章算术 均输中有如下问题： “今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等， 上下人差均等，问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 10 钱，甲、 乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列， 问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，乙所得为（ ） A4 3钱 B7 3钱 C8 3钱 D10 3 钱 5 （5 分）已知 (0， 4)，a（sin） sin，b（sin）cos，c（cos）sin，则 a，b， c 的大小关系（ ） Abac Bbca Cabc Dcba
3、 6 （5 分） 直线 x+y+a0 与圆 x2+y22x+4y+30 有两个不同交点的一个必耍不充分条件是 （ ） A2a3 B1a3 C2a0 D0a3 7 （5 分）下列四个命题正确有（ ）个 （1）ab，bcac （2）ab，bcac 第 2 页（共 19 页） （3）a，bab （4）ab，ba A1 B2 C3 D4 8 （5 分）直线 l：x+3y+m0 与圆 C：x2+y24x+10 交于 A，B 两点，若线段 AB 的长 恰等于圆 C 的半径，则 m 值是（ ） A1 B5 C1 或5 D5 9 （5 分） 已知集合 A1， 1， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点集 K （
4、x， y） |xA， yA， 在 K 中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2） 210 的内部的概率为（ ） A1 4 B1 2 C3 4 D1 3 10 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C7 D23 3 11 （5 分） 已知四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上， ABADCD， BCA
5、D， ABC60，PAB 是等边三角形，若四棱锥 PABCD 体积的最大值93，则球 O 的 表面积为（ ） A56 B54 C52 D50 12 （5 分）函数() = 2 + 2(0) 4 + 1( 0) 的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 + 4 0 2 + 2 0 0 ，则 zx+2y 的最大值为 14 （5 分）在等比数列an中，若 a5+a74（a1+a3） ，则6 2 = 15 （5 分）已知 alog22 3，b3 2 3，c25
6、 1 3，则 a，b，c 的大小关系是 16 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x）是 f（x）的导函数，且 f（2）3，f（x） 1，则不等式 f（x）x+1 的解集为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 3 页（共 19 页） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin+ 2 （1）求 A； （2）若 b+c2，求 a 取最小值时ABC 的面积 S 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，AB6，BC23，AC 26，D，
7、E 分别为线段 AB，BC 上的点，且 AD2DB，CE2EB，PDAC （1）求证：CD平面 PAB； （2）若 PA 与平面 ABC 所成的角为 4，求三棱锥 PABC 的体积 19 （12 分）某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是 水养培育的品种为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取 500 只麻鸭统 计了它们一个季度的产蛋量（单位：个） ，制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的 产蛋量在85，105的频率为 0.66 （1）求 a，b 的值； （2）估计麻鸭产蛋量的平均数和中位数（以各组区间的中点值代表该组的取值） （所得 结果保留整数） （
8、3）若以正常产蛋 90 个为标准，大于 90 个认为是良种，小于 90 个认为是次种根据 统计得出两种培育方法的22列联表如下， 请完成表格中的统计数据， 并判断是否有99.5% 的把握认为产蛋量与培育方法有关 良种 次种 总计 旱养培育 160 260 水养培育 60 总计 340 500 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 第 4 页（共 19 页） P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20（12 分）
9、 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1 （ab0） 的左右焦点分别为 F1， F2， 离心率为1 2， 点 A 在 椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若 存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知椭圆 c： 2 2 + 2 3 =1（a10）的右焦点 F 在圆 D： （x2）2+y21 上， 直线 l：xmy+3（m0 交椭圆于 M、N 两点 （）求椭圆 C 的方程；
10、 （）若 （O 为坐标原点） ，求 m 的值； （） 设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1（N1与点 M 不重合） ， 且直线 N1M 与 x 轴交于点 P， 试问PMN 的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2+|2的值 23已知函数 f（x）|x+t
11、|+|x1|2，tR （1）当 t1 时，解不等式 f（x）2； （2）若不等式 f（x）t20 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合 A3，4，5，6，集合 B 5，6，7，8，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A3，4，7，8 B3，4，5，
12、6，7，8 C1，2，9 D5，6 【解答】解：全集 I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合 A3，4，5，6，集合 B 5，6，7，8， AB3，4，5，6，7，8，AB5，6， I（AB）1，2，3，4，7，8，9， 由图象可知阴影部分对应的集合为（AB）I（AB）3，4，7，8， 故选：A 2 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 【解答】解： = 2020+3 1+ = 1+3 1+ = (1+3)(1) (1+)(1) = 2 + ， z 的虚部是 1 故选：D 3 （5 分）已知向量 =（1，2） ， + =（m，4） ，若
13、，则 m（ ） A3 B2 C2 D3 【解答】解：向量 =（1，2） ， + =（m，4） ， =（m1，2） ， 若 ，则 m1+220，m3， 故选：A 4 （5 分） 九章算术 均输中有如下问题： “今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等， 第 7 页（共 19 页） 上下人差均等，问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 10 钱，甲、 乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列， 问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，乙所得为（ ） A4 3钱 B7 3钱 C8 3钱 D10 3 钱 【解答】解：设甲、乙、丙
14、、丁、戊所得依次成等差数列an，公差为 d 由题意可得：a1+a2a3+a4+a5，a1+a2+a3+a4+a510， 2a1+d3a1+9d，2a1+d5， 联立解得：a1= 8 3，d= 1 3 a2= 8 3 1 3 = 7 3钱 故选：B 5 （5 分）已知 (0， 4)，a（sin） sin，b（sin）cos，c（cos）sin，则 a，b， c 的大小关系（ ） Abac Bbca Cabc Dcba 【解答】解：a（0， 4） ， 0sinacosa1， y（sin）x单调递减； （sin）sin（sin）cos， ba； yxsin单调递增， （sin）sin（cos）sin
15、； ac； cab 故选：A 6 （5 分） 直线 x+y+a0 与圆 x2+y22x+4y+30 有两个不同交点的一个必耍不充分条件是 （ ） A2a3 B1a3 C2a0 D0a3 【解答】解：依题意，圆的标准方程为（x1）2+（y+2）22， 圆心（1，2） ，半径 = 2， 第 8 页（共 19 页） 因为直线与圆有两个不同的交点， 所以圆心到直线的距离 = |12+| 2 2， 所以|a1|2，1a3，求其必要不充分条件， 即（1，3）为其真子集， 故选：A 7 （5 分）下列四个命题正确有（ ）个 （1）ab，bcac （2）ab，bcac （3）a，bab （4）ab，ba A1
16、 B2 C3 D4 【解答】解：根据平行公理，即平行线的传递性，可知（1）正确； 根据垂直于同一条直线的两条直线 a，c 可以平行、相交、异面；即（2）不正确； 根据直线与平面平行的定义可知，直线 a 与平面 没有公共点，即直线 a 与平面 的直 线平行或异面，即（3）不正确； 根据 ab，b，直线 a 也可能在平面 内，可知（4）不正确 故正确的命题是（1） 故选：A 8 （5 分）直线 l：x+3y+m0 与圆 C：x2+y24x+10 交于 A，B 两点，若线段 AB 的长 恰等于圆 C 的半径，则 m 值是（ ） A1 B5 C1 或5 D5 【解答】解：直线 l：x+3y+m0 与圆
17、 C：x2+y24x+10 交于 A，B 两点，若线段 AB 的长恰等于圆 C 的半径， 圆的圆心（2，0） ，半径为3， 所以（|2+| 1+3 ）2+（ 3 2 ）2（3）2 解得 m1 或5 故选：C 9 （5 分） 已知集合 A1， 1， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点集 K （x， y） |xA， yA， 在 K 中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2） 第 9 页（共 19 页） 210 的内部的概率为（ ） A1 4 B1 2 C3 4 D1 3 【解答】解：由题意可得 K（1，1） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，1），其中在
18、 圆（x2）2+（y+2）210 内的点有（1，1） ， 记 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1，1） ，从 ABCD4 个点中取出 2 个的 所有取法有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种情况， 其中两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2）210 的内部的有 AD，BD，CD 共 3 种情况 概率 p= 3 6 = 1 2 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M，N，|PF1|
19、2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C7 D23 3 【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a， |PF1|4a，|PF2|2a， MF2N60，F1PF260， 由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60， c= 3a， e= = 3 故选：B 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分） 已知四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上， ABADCD， BCAD， ABC60，PAB 是等边三角形，若四棱锥 PABCD 体积的最大值93，则球 O 的 表面积为（ ） A56 B54 C52 D50 【
20、解答】解：四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，如图：四棱锥 PABCD 体积的最大值93，只有平面 PAB 与底面 ABCD 垂直，并且底面 ABCD 面积取得最大值 时，几何体的体积最大，因为 ABADCD，BCAD，ABC60，可得 ABCD 是 正六边形的一半，设 ABADCDa， 则四棱锥的体积的最大值为：1 3 3 2 3 2 3 2 =93， 解得 a23 此时，底面 ABCD 的外心为 E，外接球的球心为 O，外接球的半径为 R， 所以 R=(1 3 3 2 23)2+ (23)2= 13， 所以外接球的表面积为：4 (13)2=52 故选：C 12 （5 分）函
21、数() = 2 + 2(0) 4 + 1( 0) 的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：当 x0 时，y4x+1，此时图象如下： 第 11 页（共 19 页） 此时很明显有 1 个零点 当 x0 时，ylnxx2+2x 令 y0，即 lnxx2+2x0，lnxx22x等号两边函数图象如下： 此时很明显有 2 个零点 分段函数 f（x）一共有 3 个零点 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 + 4 0 2 + 2 0 0 ，则 zx+2y 的最大值为 6 【解答】
22、解：作出实数 x，y 满足约束条件 + 4 0 2 + 2 0 0 对应的平面区域如图： （阴影 部分） 第 12 页（共 19 页） 由 zx+2y 得 y= 1 2x+ 1 2z， 平移直线 y= 1 2x+ 1 2z， 由图象可知当直线 y= 1 2x+ 1 2z 经过点 A 时，直线 y= 1 2x+ 1 2z 的截距最大， 此时 z 最大 由 + 4 = 0 2 + 2 = 0，解得 A（2，2） ， 代入目标函数 zx+2y 得 z22+26 故答案为：6 14 （5 分）在等比数列an中，若 a5+a74（a1+a3） ，则6 2 = 4 【解答】解：在等比数列an中，a5+a7
23、4（a1+a3） ， 5+7 1+3 =q44， 6 2 =q44 故答案为：4 15 （5 分）已知 alog22 3，b3 2 3，c25 1 3，则 a，b，c 的大小关系是 abc 【解答】解：2 2 3 21 = 0，a0， b3329，c325，而 238， cb2， abc， 故答案为：abc 16 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x）是 f（x）的导函数，且 f（2）3，f（x） 第 13 页（共 19 页） 1，则不等式 f（x）x+1 的解集为 （，2） 【解答】解：令 g（x）f（x）x，对 g（x）求导，得 g（x）f（x）1， f（x）1， g（x）0
24、，即 g（x）在 R 上为减函数， f（2）3， g（2）f（2）2321， 不等式 f（x）x+1 可化为不等式 f（x）x1， 即 g（x）g（2） ， 由 g（x）在 R 上为减函数得 x2， 不等式的解集为x|x2 故答案为： （，2） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin+ 2 （1）求 A； （2）若 b+c2，求 a 取最小值时ABC 的面积 S 【解答】解： （1）因为已知 asinBbsin+ 2 所以 asinBbs
25、in（ 2 2） ，即 asinBbcos 2， 由正弦定理得 sinAsinBsinBcos 2， 由于 C 为ABC 的内角，所以 sinB0， 所以 sinAcos 2，即 由于 B 为ABC 的内角， cos 2 0， 2 = 1 2，解得 A= 3 （2）在ABC 中由余弦定理知： a2b2+c22bccosA= ( + )2 3 ( + )2 3(+ 2 )2， 所以 a1 等号当仅当 bc1 时等号成立 此时 S= 1 2 = 3 4 第 14 页（共 19 页） 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，AB6，BC23，AC 26，D，E 分别
26、为线段 AB，BC 上的点，且 AD2DB，CE2EB，PDAC （1）求证：CD平面 PAB； （2）若 PA 与平面 ABC 所成的角为 4，求三棱锥 PABC 的体积 【解答】解： （1）证明：连 DE，由题意知 AD4，BD2 因为 AC2+BC2AB2，所以ACB90 所以 = = 23 6 = 3 3 在BCD 中，由余弦定理得 CD2BC2+BD22BCBDcosDBC = 4 + 12 2 2 23 3 3 = 8 所以 = 22CD2+AD2AC2，所以CDA90，所以 CDAB， 又因为平面 PAB平面 ABC， 故 CD平面 PAB （2）解：由（1）知 CD平面 PAB
27、，又 PD平面 PAB， 所以 CDPD，又 PDAC，ACCDC， 所以 PD平面 ABC 又 PA 与平面 ABC 所成的角为PAD，即 = 4， 所以 PDAD4，= 62， 从而三棱锥 PABC 的体积为= 1 3 = 82 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是 水养培育的品种为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取 500 只麻鸭统 计了它们一个季度的产蛋量（单位：个） ，制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的 产蛋量在85，105的频率为 0.66 （1）求 a，b 的值； （2）估计麻鸭产蛋
28、量的平均数和中位数（以各组区间的中点值代表该组的取值） （所得 结果保留整数） （3）若以正常产蛋 90 个为标准，大于 90 个认为是良种，小于 90 个认为是次种根据 统计得出两种培育方法的22列联表如下， 请完成表格中的统计数据， 并判断是否有99.5% 的把握认为产蛋量与培育方法有关 良种 次种 总计 旱养培育 160 260 水养培育 60 总计 340 500 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024
29、6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由产蛋量在85，105的频率为 0.66，可得产蛋量在85，105的数量为 第 16 页（共 19 页） 5000.66330（只） ， 所以产蛋量在75，85的数量为 0.0061050030（只） ； 产蛋量在85，95的数量为 0.02410500120（只） ； 产蛋量在115，125的数量为 0.0081050040（只） ； 所以 a（330120）500100.042， b（5003303040）500100.02； （2）计算平均数为 =0.0061080+0.0241090+0.04210100+0.0210 110+
30、0.00810120100， 中位数是 95+ 0.5(0.006+0.024)10 0.042 =95+ 100 21 100， 所以估计麻鸭产蛋量的平均数为 100，中位数也为 100； （3）根据题意补充列联表如下， 良种 次种 总计 旱养培育 100 160 260 水养培育 60 180 240 总计 160 340 500 计算 K2= 500(10018060160)2 260240160340 10.3937.879， 所以有 99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关 20（12 分） 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1 （ab0） 的左右焦点分别为 F1， F2， 离
31、心率为1 2， 点 A 在 椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若 存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 【解答】解： （）由 = 1 2得 a2c，|AF1|2，|AF2|2a2， 由余弦定理得，|1|2+ |2|2 2|1| |2| = |12|2， 解得 c1，a2，b2a2c23， 所以椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1 第 17 页（共 19 页） （）存在这样的点 M
32、符合题意 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，N（x0，y0） ， 由 F2（1，0） ，设直线 PQ 的方程为 yk（x1） ， 由 2 4 + 2 3 = 1 = ( 1) 得（4k2+3）x28k2x+4k2120， 由韦达定理得1+ 2= 82 42+3，故0 = 1+2 2 = 42 42+3， 又点 N 在直线 PQ 上，0= 3 42+3，所以( 42 42+3 ， 3 42+3) 因为 MNPQ，所以= 0 3 42+3 42 42+3 = 1 ，整理得 = 2 42+3 = 1 4+ 3 2 (0， 1 4)， 所以存在实数 m，且 m 的取值范围为(0， 1 4)
33、21 （12 分）已知椭圆 c： 2 2 + 2 3 =1（a10）的右焦点 F 在圆 D： （x2）2+y21 上， 直线 l：xmy+3（m0 交椭圆于 M、N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 （O 为坐标原点） ，求 m 的值； （） 设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1（N1与点 M 不重合） ， 且直线 N1M 与 x 轴交于点 P， 试问PMN 的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由 【解答】解： （）由圆 D： （x2）2+y21，令 y0，解得 x3 或 1 10，取右焦点 F（3，0） ，得 a23+321210 椭圆 C 的方程为
34、 2 12 + 2 3 = 1 （）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 联立 = + 3 2 12 + 2 3 = 1，消去 x 化为（m 2+4）y2+6ny30， 得到1+ 2= 6 2+4，12 = 3 2+4 x1+x2m（y1+y2）+6= 24 2+4，12 = 212+ 3(1+ 2) + 9 = 36122 2+4 ， = 0 x1x2+y1y20， 代入得3612 23 2+4 = 0， 化为2= 11 4 ， 解得 = 11 2 ， 即 m 为定值 第 18 页（共 19 页） （）M（x1，y1） ，N1（x2，y2） ， 直线 N1M 的方程为 1= 21 21
35、( 1)， 令 y0，则 = 1(21) 2+1 + 1= 12+21 12 = 212+3(1+2) 1+2 = 6 2+4 18 2+4 6 2+4 =4， P（4，0） ，得到|FP|1 = 1 2| |1 2| = 1 2 1 (1+ 2)2 412 = 1 2 362 (2+4)2 + 12 2+4 = 23 2+1 (2+4)2 = 23 1 (2+1)+ 9 2+1+6 23 1 12 =1， 当且仅当2+ 1 = 9 2+1，即 = 2时取等号 故PMN 的面积存在最大值 1 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的
36、参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2+|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 所以 |2|2 |2+|2 = 1 1 |2+ 1 |2 = 1 1 12+ 1 22 = 1 3 4
37、 2+1 4+ 3 4 2+1 4 = 4 5 23已知函数 f（x）|x+t|+|x1|2，tR （1）当 t1 时，解不等式 f（x）2； （2）若不等式 f（x）t20 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （1）函数 f（x）|x+t|+|x1|2， 当t1时，f（x）|x+1|+|x1| 2= ( + 1) ( 1) 2， 1 ( + 1) ( 1) 2， 11 ( + 1) + ( 1)， 1 = 2 2， 1 0， 11 2 2， 1 ， 不等式 f（x）2 等价于 1 2 2 2，或 11 0 2 ，或 1 2 2 2； 解得 x2，或 x，或 x2； 所以不等式 f（x）2 的解集为x|x2 或 x2； （2）f（x）|x+t|+|x1|2|（x+t）（x1）|2|t+1|2； 所以不等式 f（x）t20 恒成立，即|t+1|2t20 恒成立； 所以|t+1|t+4 恒成立； 当 t1 时，不等式化为 t+1t+4，此时 t； 当 t1 时，不等式化为（t+1）t+4，解得 t 5 2； 综上知，实数 t 的取值范围是（， 5 2
