1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|12x4，Bx|yln（x1），则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|0x2 2 （5 分）若复数 = (2 2) + ( + 2)为纯虚数，则: 2007 1: 的值为（ ） A1 B1 Ci Di 3 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1010，S3030，则 S20（ ） A20 B10 C20
2、 或10 D20 或 10 4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 + 2 2 + 4 0 2 4 0 ，若 x2+y2+2xk 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ） A40 B9 C8 D7 2 5 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足 = = 5;1 2 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在 ABC 内任取一点 M，则点
3、M 落在APQ 内的概率为（ ） A5;1 2 B5 2 C5;1 4 D5;2 2 6 （5 分）已知 =（tan，1） ， =（1，2） ，其中 为锐角，若 + 与 夹角为 90，则 1 2:2 =（ ） A1 B1 C5 D1 5 7 （5 分） “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干” ，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、 第 2 页（共 20 页） 亥叫做“十二地支” “天干”以“甲”字开始， “地支”以“子”字开始，两者按干支顺 序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙 亥、
4、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到 60 个组合，周而复始， 循环记录 2010 年是 “干支纪年法” 中的庚寅年， 那么 2020 年是 “干支纪年法” 中的 （ ） A己亥年 B戊戌年 C庚子年 D辛丑年 8 （5 分）数列an满足 a11，:1= 2 1( )，则 a2019（ ） A1 B2019 C2020 D1 9 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（31 2 ）（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 10 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x1，1时，f
5、（x）x2，那么函数 g（x）f（x）|lgx|的零点共有（ ） A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 11 （5 分）如图，四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，BCBD2，点 E 是 CD 的 中点， 若直线 AB 与平面 ACD 所成角的正切值为 2 4 ， 则点 B 到平面 ACD 的距离为 （ ） A 2 3 B2 3 C22 3 D4 3 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）1f（x） ，f（0）0，f（x）是 f（x） 的导函数，则不等式 exf（x）ex1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A （0，+） B （，1）（0，+）
6、 C （，0）（1，+） D （1，+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）（x2）lnx，则函数 f（x）在 x1 处的切线方程为 14 （5 分） （ 3x）5的展开式中，xy2的系数为 第 3 页（共 20 页） 15 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点分别为 F1、F2，过点 F1的直线与 椭圆交于 P，Q 两点若PF2Q 的内切圆与线段 PF2在其中点处相切，与 PQ 相切于点 F1，则椭圆的离心率为 16 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，BCCD2，BCCD
7、，ABADAC= 6，则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 asin: 2 =bsinA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PBC 为等边三角形，点 O 为 BC 的中点，AC PB，平面 PBC平面 ABC （1）求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小； （2）求证：平面 PAC平面 PBC； （3）已知 E 为 PO
8、的中点，F 是 AB 上的点，AFAB若 EF平面 PAC，求 的值 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，(1， 2 2 )为 椭圆上一点，且|PF1|= 32 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线 l：x2，过点 F2的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线分 别交直线 l、直线 AB 于 M、N 两点，当MAN 最小时，求直线 AB 的方程 20 （12 分）已知正四棱锥 PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任 取两条，按下列方式定义随机变量 的值： 若这两条棱所在的直线相交，则 的值是
9、这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ； 第 4 页（共 20 页） 若这两条棱所在的直线平行，则 0； 若这两条棱所在的直线异面，则 的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制） （1）求 P（0）的值； （2）求随机变量 的分布列及数学期望 E（） 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx (1) +2 （1）若 a4，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在区间（0，1内单调递增，求实数 a 的取值范围； （3）若 x1、x2R+，且 x1x2，求证： （lnx1lnx2） （x1+2x2）3（x1x2） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小
10、题分，每小题 10 分）分） 22（10分） 在直角坐标系xOy中， 直线l： = 3 + = （t为参数） 与曲线C： = 2 2 = 2（m为 参数）相交于不同的两点 A，B （）当 = 4时，求直线 l 与曲线 C 的普通方程； （）若|MA|MB|2|MA|MB|，其中 M（3，0） ，求直线 l 的倾斜角 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|x1|+|ax+1|，g（x）|x+1|+2 （）若 = 1 2，求不等式 f（x）2 的解集； （）设关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解集为 A，若集合（0，1A，求 a 的取值范 围 第 5 页（共 20 页
11、） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|12x4，Bx|yln（x1），则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|0x2 【解答】解：集合 Ax|12x4x|0x2， Bx|yln（x1）x|x1， ABx|1x2 故选：B 2 （5 分）若复数 = (2 2) + ( + 2)为纯虚数，则: 2007 1: 的值为（ ） A1 B1 Ci Di 【
12、解答】解： = (2 2) + ( + 2)为纯虚数， 2 2 = 0且 + 2 0，故 = 2 : 2007 1: = 2:2007 1:2 = 2; 1:2 = 故选：D 3 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1010，S3030，则 S20（ ） A20 B10 C20 或10 D20 或 10 【解答】解：由等比数列的性质可得：S10，S20S10，S30S20成等比数列， (20 10)2=10（30S20） ， 解得 S2020，或 S2010， S20S10q10S100， S200， S2020， 故选：A 4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 + 2
13、 2 + 4 0 2 4 0 ，若 x2+y2+2xk 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ） A40 B9 C8 D7 2 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：变量 x，y 满足约束条件 + 2 2 + 4 0 2 4 0 的可行域如图， x2+y2+2x 是点（x，y）到（1，0）的距离的平方减 1， 故最小值为点 P 到 （1， 0） 的距离的平方加 1， zx2+y2+2x 的最小值为： (12 2 )2 1 = 7 2 若 x2+y2+2xk 恒成立，即7 2 kk 的最大值为：7 2 故选：D 5 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问
14、题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足 = = 5;1 2 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在 ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ） A5;1 2 B5 2 C5;1 4 D5;2 2 【解答】解：设 BCa， 由点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点， 所以 BQ= 51 2 ，CP= 51 2 ， 所以 PQBQ+CPBC（5 2）a， 第 7 页（共 20 页） SAPQ：SA
15、BCPQ：BC（5 2）a：a= 5 2， 由几何概型中的面积型可得： 在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为 =5 2， 故选：B 6 （5 分）已知 =（tan，1） ， =（1，2） ，其中 为锐角，若 + 与 夹角为 90，则 1 2:2 =（ ） A1 B1 C5 D1 5 【解答】解： =（tan，1） ， =（1，2） ， + =（tan+1，3） =（tan1） ， 若 + 与 夹角为 90， 则（ + ） （ ）0， 即（tan+1） （tan1）30， 由 为锐角，解得：tan2 则 1 2:2 = 2+2 2+2 = 2+1 2+1 1， 故选：A 7
16、 （5 分） “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干” ，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、 亥叫做“十二地支” “天干”以“甲”字开始， “地支”以“子”字开始，两者按干支顺 序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙 第 8 页（共 20 页） 亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到 60 个组合，周而复始， 循环记录 2010 年是 “干支纪年法” 中的庚寅年， 那么 2020 年是 “干支纪年法” 中的 （ ） A己亥年 B戊戌年 C庚子年 D辛丑年 【解答】解：天干是以
17、10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，2010 年 是“干支纪年法”中的庚寅年，则 2020 的天干为庚，地支为子， 故选：C 8 （5 分）数列an满足 a11，:1= 2 1( )，则 a2019（ ） A1 B2019 C2020 D1 【解答】解：数列an满足 a11，:1= 2 1( )，a22111，a321 11， an1， 所以 a20191 故选：A 9 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（31 2 ）（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：根据题意，函
18、数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，则有 f（x）f（x+2） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x+2）f（x） ， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（31 2 ）f（ 1 2 +16）f（ 1 2）f（ 1 2） 1 2（32 1 2）1； 故选：A 10 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x1，1时，f（x）x2，那么函数 g（x）f（x）|lgx|的零点共有（ ） A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 【解答】解：根据题意，函数 yf（x）满足 f（x）f（x+2） ，则函数 yf（x
19、）是周期 为 2 的周期函数， 设 h（x）|lgx|，则函数 g（x）f（x）|lgx|的零点个数即图象 yf（x）与 yh（x） 的交点个数， 由于 f（x）的最大值为 1，所以 x10 时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点， （1， 第 9 页（共 20 页） 3） ， （3，5） ， （5，7） ， （7，9）上各有两个交点， 在（9，10）上有一个交点，故共有 10 个交点，即函数零点的个数为 10； 故选：D 11 （5 分）如图，四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，BCBD2，点 E 是 CD 的 中点， 若直线 AB 与平面 ACD 所成角的正切值为 2 4
20、 ， 则点 B 到平面 ACD 的距离为 （ ） A 2 3 B2 3 C22 3 D4 3 【解答】解：如图，四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直， 以 B 为原点，BC 为 x 轴，BD 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， BCBD2，点 E 是 CD 的中点， 设 BAt，则 A（0，0，t） ，B（0，0，0） ，C（2，0，0） ，D（0，2，0） ， =（0，0，t） ， =（2，0，t） ， =（2，2，0） ， 设平面 ACD 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 + = 0 = 2 + 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，2 ） ， 直线
21、 AB 与平面 ACD 所成角的正切值为 2 4 ， 直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为1 3， 第 10 页（共 20 页） | | | | | = 2 (;)22: 4 2 = 1 3，解得 t4， （t4，舍） ， 平面 ACD 的法向量 =（1，1，1 2） ， =（0，0，4） ， 点 B 到平面 ACD 的距离为： d= | | | | = 2 9 4 = 4 3 故选：D 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）1f（x） ，f（0）0，f（x）是 f（x） 的导函数，则不等式 exf（x）ex1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A （0
22、，+） B （，1）（0，+） C （，0）（1，+） D （1，+） 【解答】解：设 g（x）exf（x）ex， （xR） ， 则 g（x）exf（x）+exf（x）exexf（x）+f（x）1， f（x）1f（x） ， f（x）+f（x）10， g（x）0， yg（x）在定义域上单调递增， exf（x）ex1， g（x）1， 又g（0）e0f（0）e01， g（x）g（0） ， 第 11 页（共 20 页） x0， 不等式的解集为（0，+） ； 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）（x2）
23、lnx，则函数 f（x）在 x1 处的切线方程为 x+y1 0 【解答】解：() = + 2 ， f（1）1，f（1）0， 故切线方程为：y（x1） ，即 x+y10 故答案为：x+y10 14 （5 分） （ 3x）5的展开式中，xy2的系数为 270 【解答】 解： （ 3x） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1C 5 （ ） 5r （3x） rC 5 （3） ry5 rx2r5，r0，1，5， 令 r3，有 T4C 5 3（3）3y2x270xy2， xy2的系数为270 故填：270 15 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点分别为 F1、F2，过点 F1的
24、直线与 椭圆交于 P，Q 两点若PF2Q 的内切圆与线段 PF2在其中点处相切，与 PQ 相切于点 F1，则椭圆的离心率为 3 3 【解答】解：可设PF2Q 的内切圆的圆心为 I，M 为切点，且为中点， 可得PF2Q 为等腰三角形， 设|PF1|m，|PF2|n，可得 m+n2a， 由切线的性质可得 m= 1 2n， 解得 m= 2 3 ，n= 4 3 ， 设|QF1|t，|QF2|2at， 由 t2at 2 3 ，解得 t= 2 3 ， 则PF2Q 为等边三角形， 第 12 页（共 20 页） 即有 2c= 3 2 4 3 ， 即有 e= = 3 3 ， 故答案为： 3 3 16 （5 分）
25、在三棱锥 ABCD 中，BCCD2，BCCD，ABADAC= 6，则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为 9 2 【解答】解：由 ABADAC= 6， 可得 A 在底面 BCD 的垂足为三角形 BCD 的外接圆的圆心，而 BCCD2，BCCD， 所以斜边 BD 的中点 E 即为外接圆的圆心， 连接 AE，CE， 则 CEBEDE= 2 2 = 2，AE面 BDC， AEBD，且 AE= 2 2=(6)2 (2)2=2，外接球的球心在 AE 上， 设外接球的球心为 O，连接 OC， 则 OCOAOBOD 为外接球的半径， 设外接球的半径为 R， 则在三角形 OCE 中，OC2CE2+（AEOA）
26、2， 即 R2（2）2+（2R）2，解得 R= 3 2， 所以外接球的体积 V= 4 3 3 = 9 2 ， 故答案为：9 2 第 13 页（共 20 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 asin: 2 =bsinA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 【解答】解： （1）asin: 2 =bsinA，即为 asin; 2 =acos 2 =bsinA， 可得 sinAcos 2 =sinBsinA2sin
27、2cos 2sinA， sinA0， cos 2 =2sin 2cos 2， 若 cos 2 =0，可得 B（2k+1），kZ 不成立， sin 2 = 1 2， 由 0B，可得 B= 3； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c1， 由余弦定理可得 b= 2+ 1 2 1 3 = 2 + 1， 由三角形ABC为锐角三角形， 可得a2+a2a+11且1+a2a+1a2， 且1+a2a2a+1， 解得1 2 a2， 可得ABC 面积 S= 1 2asin 3 = 3 4 a（ 3 8 ， 3 2 ） 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PBC 为等边三角形，点 O 为 BC 的中点，A
28、C PB，平面 PBC平面 ABC （1）求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小； （2）求证：平面 PAC平面 PBC； （3）已知 E 为 PO 的中点，F 是 AB 上的点，AFAB若 EF平面 PAC，求 的值 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： （1）PBC 是等边三角形，点 O 为 BC 的中点， POBC， 平面 PBC平面 ABC，平面 PBC平面 ABCBC， PO平面 PAC，PO平面 ABC， PBC 是直线 PB 和平面 ABC 所成角， PBC 是等边三角形，PBC60， 直线 PB 和平面 ABC 所成角为 60 证明： （2）由（1）得 PO平面 A
29、BC， AC平面 ABC，POAC， ACPB，PB平面 PBC，PO平面 PBC，PBPOP， AC平面 PBC， AC平面 PAC，平面 PAC平面 PBC 解： （3）过点 E，F 分别作 ESBC，FTBC， 交 PC，AC 于 S，T，连结 ST，则 ESFT， 直线 ES 与直线 FT 确定一个平面， EF平面 PAC，EF平面 ESTF， 平面 PAC平面 ESTFST， EFST， 四边形 ESTF 是平行四边形，ESFT， E 为 PO 的中点，ESBC，ES= 1 2OC， O 是 BC 的中点，ES= 1 4BC， FTBC， = = = 1 4， 第 15 页（共 20
30、 页） = 1 4 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，(1， 2 2 )为 椭圆上一点，且|PF1|= 32 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线 l：x2，过点 F2的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线分 别交直线 l、直线 AB 于 M、N 两点，当MAN 最小时，求直线 AB 的方程 【解答】解： （1）由题意，可知 F1（c，0） ，则1 =（c1， 2 2 ） |1 |=( 1)2+ ( 2 2 )2= 32 2 ， 解得 c1 a2b2c21 点(1， 2 2 )为椭圆上一点， 1 2 + 1 22
31、 =1 联立 2 2= 1 1 2 + 1 22 = 1，解得 2= 2 2= 1 椭圆 C 的标准方程为 2 2 + 2= 1 （2）由题意，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 则 N（1:2 2 ，1:2 2 ） 当直线 AB 的斜率不存在时，则 lAB：x1 第 16 页（共 20 页） 此时 M（2，0）点 N 即为右焦点 F2，即 N（1，0） A（1， 2 2 ） 此时 tanMAN= | | = 3 2 2 =32 当直线 AB 的斜率存在时，设斜率为 k，很明显 k0则 lAB：yk（x1） 由题意，联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ， 消去 y，整理得（2k2+
32、1）x24k2x+2（k21）0 则16k48（2k2+1） （k21）8（k2+1）0， x1+x2= 42 22+1，x1x2= 2(21) 22+1 1:2 2 = 22 22:1， 1:2 2 =k（1:2 2 1）k（ 22 22:1 1）= 22+1 点 N 坐标为（ 22 22:1， ; 22:1） 线段 AB 的垂直平分线的斜率为 1 ， 第 17 页（共 20 页） 线段 AB 的垂直平分线的直线方程为 y 22+1 = 1 （x 22 22+1） 设点 M 坐标为（xM，yM） 点 M 在直线 l：x2 上，即 xM2 yM= 1 （2 22 22+1）+ 22+1 = 5
33、2+2 (22+1) 点 M 坐标为（2， 52:2 (22:1)） |MN|= ( 22 22+1 + 2)2+ ( 52+2 (22+1) + 22+1) 2 = 2(32+1) 22+1 1 + 1 2 |AB|= 1 + 2(1+ 2)2 412 = 1 + 2( 42 22+1) 2 4 2( 21) 22+1 = 22(2+1) 22+1 |AN|= 2(2+1) 22+1 在 RtMAN 中，tanMAN= | | = 2(32+1)1+ 1 2 2(2+1) = 2(3 2+1)2 2(2+1) 令 tk2，则 t0；令 m= (3+1)2 (+1) = 92+6+1 2+ 0
34、 则（m9）t2+（m6）t10， （m6）24（m9）m（m8）0， 解得 m8 当 m8 时，tanMAN 取最小值28 =4 此时(3:1) 2 (:1) =8，解得 t1即 k1 综上所述，可知 tanMAN 的最小值为 4，此时 k1 直线 AB 的方程为：yx1 或 yx+1 20 （12 分）已知正四棱锥 PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任 取两条，按下列方式定义随机变量 的值： 若这两条棱所在的直线相交，则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ； 若这两条棱所在的直线平行，则 0； 若这两条棱所在的直线异面，则 的值是这两条棱所在直线所成角
35、的大小（弧度制） 第 18 页（共 20 页） （1）求 P（0）的值； （2）求随机变量 的分布列及数学期望 E（） 【解答】解： （1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形， PAC，PBD 为等腰直角三角形 的可能取值为：0， 3， 2， 在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条基本事件总数 n= 8 2 =28 种情况， 当 0 时有 2 种，当 = 3时有 34+2420 种，当 = 2时有 2+46 种 P（0）= 2 28 = 1 14 （2）P（0）= 2 28 = 1 14 P（= 3）= 20 28 = 5 7， P（= 2）= 6 28 = 3 14 随机
36、变量 的分布列如下表： 0 3 2 P 1 14 5 7 3 14 E（）0 1 14 + 3 5 7 + 2 3 14 = 29 84 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx (1) +2 （1）若 a4，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在区间（0，1内单调递增，求实数 a 的取值范围； （3）若 x1、x2R+，且 x1x2，求证： （lnx1lnx2） （x1+2x2）3（x1x2） 【解答】解： （1）f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）= 1 3 (+2)2 = 2+(43)+4 (+2)2 ， a4 时，f（x）= 28+4 (+2)2 ， 由 f（x
37、）0，解得：0x423或 x4+23， 由 f（x）0，解得：423x4+23， 故 f（x）在（0，423）递增，在（423，4+23）递减，在（4+23，+）递增； （2）由（1）得：f（x）= 2+(43)+4 (+2)2 ， 第 19 页（共 20 页） 若函数 f（x）在区间（0，1递增， 则有 x2+（43a）x+40 在（0，1内恒成立， 即 3a 4 +x+4 恒成立， 又函数 y= 4 +x+4 在 x1 时取得最小值 9，故 a3； （3）证明：当 x1x2时，不等式显然成立， 当 x1x2时，x1，x2R+，要原不等式成立， 只要 ln1 2 3(1;2) 1:22 =
38、3(1 2;1) 1 2:2 成立即可， 令 t= 1 2（0，1） ， 故只要 lnt 3(1) +2 0 即可， 由（2）可知函数 f（x）在（0，1递增， 故 f（x）f（1）0， 故 lnt 3(1) +2 0 成立， 故原不等式成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10分） 在直角坐标系xOy中， 直线l： = 3 + = （t为参数） 与曲线C： = 2 2 = 2（m为 参数）相交于不同的两点 A，B （）当 = 4时，求直线 l 与曲线 C 的普通方程； （）若|MA|MB|2|MA|MB|，其中 M（3，0
39、） ，求直线 l 的倾斜角 【解答】 解： （） 当 = 4时， 直线 l： = 3 + = （t 为参数） 化为 = 3 + 2 2 = 2 2 ， 消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 yx3； 由曲线 C： = 2 2 = 2 （m 为参数） ，消去参数 m，可得曲线 C 的普通方程为 y22x； （）将直线 l： = 3 + = （t 为参数）代入 y22x， 得2 2 2 23 = 0 1+ 2= 2 2，12 = 23 2 第 20 页（共 20 页） 由|MA|MB|2|MA|MB|，得|t1t2|2|t1+t2|， 即| 23 2 | = 2| 2 2 |，解得|cos|=
40、 3 2 直线 l 的倾斜角为 6或 5 6 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|x1|+|ax+1|，g（x）|x+1|+2 （）若 = 1 2，求不等式 f（x）2 的解集； （）设关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解集为 A，若集合（0，1A，求 a 的取值范 围 【解答】解： （）若 = 1 2，则| 1| + | 2 + 1|2， 等价于 1 3 2 2或 2 1 2 2 2 或 21 3 2 2 （3 分） 解得0 4 3， 所以原不等式的解集为*|0 4 3+（5 分） （）由题意可知，对于 x（0，1， 不等式|x1|+|ax+1|x+1|+2 恒成立， 可化为 1x+|ax+1|x+3， 化简得|ax+1|2x+2（7 分） 所以2x3ax2x+1， 即2 3
