1、 高三数学试卷（高三数学试卷（文文科）科） 第第卷卷 一一、选择题、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设 2 1 2zi， 2 52zi ，则 12 zz（ ） A.2 i B.3 2i C.3 i D.2 2i 2.若集合1,Am， 2, 1Bmm，且AB，则m（ ） A.0 B.1 C.1 D.0 或 1 3.已知椭圆 22 16 6 xy m m 的焦距为 2，则m（ ） A.37 B.37 C.7 D.49 4.设等比数列 n a的前 6 项和为 6，且公比2q ，则 1 a （ ） A. 2 21 B
2、. 1 7 C. 4 21 D. 5 21 5.2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解 到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数） （ ） A.6 天 B.7 天 C.8 天 D.9 天 6.若函数 2 logf xxxa的定义域为1,，则3fa （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.执行如图所示的程序框图，若输入的5t ，则输出的K （ ） A.1 B.2
3、 C.3 D.4 8.函数 3 24f xxx的极大值点为（ ） A.2 2 B.32 2 C.2 2 D.32 2 9.若函数 2cos 21 3 f xx 在0,m上的最小值小于零，则m的取值范围为（ ） A. 24 , 33 B. 2 , 3 C. 2 , 33 D., 3 10.设向量2CAOB，2 5OA ，1OA OB，则OA OC（ ） A.14 B.16 C.18 D.20 11.在四面体ABCD中，AB 平面BCD，BCBD，2ABBD，E为CD的中点，若异面直线AC 与BE所成的角为 60，则BC （ ） A.2 B.2 C.2 2 D.4 12.已知双曲线C： 22 22
4、 10,0 yx ab ab ， 直线xa与C的交点为A，B（B在A的下方） ， 直线xa 与C的一条渐近线的交点D在第一象限，若 4 3 AB BD ，则C的离心率为（ ） A. 3 2 B.2 C.1 17 4 D.7 第第卷卷 二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数 35 x f x 的值域为_. 14.设x，y满足约束条件 10, 10, 30, xy xy x 则当2zxy取得最大值时，y _. 15.若某正方体的外接球的表面积为12，则这个正方体内切球的半径为_. 16.定义 p n为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如555
5、1p，932p，17143p.在 等差数列 n a中， 2 9a ， 10 25a，则 n a _，数列 n p a的前 100 项和为_. 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题（一）必考题 17.某连锁超市旗舰店在元旦当天推出一个购物满百元抽奖活动，凡是一次性购物满百元者可以从抽奖箱中 一次性任意摸出 2 个小球 （抽奖箱内共有 5 个小球， 每
6、个小球大小形状完全相同， 这 5 个小球上分别标有 1， 2，3，4，5 这 5 个数字）. （1）列出摸出的 2 个小球的所有可能的结果. （2）已知该超市活动规定：摸出的 2 个小球都是偶数为一等奖；摸出的 2 个小球都是奇数为二等奖.请分别 求获得一等奖的概率与获得二等奖的概率. 18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 平面ABCD. （1）证明：平面PAD 平面PCD. （2）若1AD ，2AB ，E为AB的中点，且四面体PBCE的体积为 1 2 ，求线段PE的长. 19.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 22 2sin2sinsinsincos21CAAB
7、B. （1）求cosC； （2）若2a，3c ，求ABC的面积. 20.在直角坐标系xOy中，过点2,0的直线l与抛物线 2 4yx交于A，B两点. （1）证明：直线OA与OB的斜率之积为定值. （2）已知点0, 1M，且AMB为锐角，求l的斜率的取值范围. 21.设函数 ln x a f xx e ，曲线 yf x在点 1,1f处的切线斜率为 1 1 e . （1）证明： f x有且只有一个零点. （2）当0,x时， k fx ex 恒成立，求整数k的最小值. （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答. 22.选修 44：坐标系与参数
8、方程 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 42 2cos , 12 2sin x y （为参数） .以坐标原点O为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L的极坐标方程为 7 0 4 . （1）求曲线C的极坐标方程与射线L的直角坐标方程； （2）若射线L与曲线C交于A，B两点，求 22 OAOBOBOA. 23.选修 45：不等式选讲 已知0a，函数 1f xax， 2g xax. （1）若 f xg x，求x的取值范围； （2）若 2 107 a f xg x对xR恒成立，求a的最大值与最小值之和. 参考答案参考答案 1.D 因为 1 2 13z ， 2 52zi ，所以 12
9、 22zzi . 2.A 1mm， 2 mm，0m或 1，显然1m，0m. 3.C 依题意可得 2 61cm， ，则7m. 4.A 由题意可得 6 1 61 1 2 636 1 2 a Sa ，即 1 2 21 a . 5.B 因为 2 23 45 86 107 169 16 10 10 12 4 7 70 x ， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天. 6.C 因为 2 logf xxxa的定义域为, a ，所以1a ，所以 2 33 log 24fa . 7.D 10K ，1i ；11K ，2i ；9K ，5i ；45K ，输出4K . 8.A 2 324fxx，当2 2x 或2
10、 2x 时， 0fx；当2 22 2x时， 0fx. 故 3 24f xxx的极大值点为2 2. 9.D 因为0,xm，所以2,2 333 xm .又cosyx在,0 3 上单调递增，在0,上单调 递减，且 00f，所以2 33 m ，解得 3 m . 10.C 因为2CAOAOCOB，所以2OAOBOC，所以 2 22OAOAOBOCOA OBOA OC，则 2 2 52 1 OA OC ，解得18OA OC. 11.B 取AD的中点F，连接EF，BF，则/EF AC，BEF为异面直线AC与BE所成的角，所以 60BEF.设BCx，则 2 4 2 x BEEF ，2BF ，从而BEF为等边三
11、角形，则 2 4 2 2 x ，解得2x. 12.B 将xa代入 22 22 1 yx ab ，得 22 2 2 a c y b ，即 ac y b ，则 2ac AB b . 将xa代入 a yx b ，得 2 a y b ，则 2 aca BD bb .因为 4 3 AB BD ，所以 2 24 3 ac aca ，即 24 13 e e ， 解得2e. 13.5, 30 x ， 35 x f x的值域为5,. 14.4 作出不等式组表示的可行域（图略） ，当直线2zxy经过点3,4时，z取得最大值. 15.1 设这个正方体的棱长为a， 则这个正方体的外接球的半径为 3 2 a， 则 2
12、2 3 431 2 2 aa ， 即2a，故这个正方体内切球的半径为 1. 16.25n；227 因为 2 9a ， 10 25a，所以公差 259 2 102 d ，所以92225 n ann .因为 1 7a ， 100 205a，且 n a为奇数，所以当7 n a ，9，11，33，55，77，99，111 时，1 n p a； 当101 n a ，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199 时， 2 n p a.在 n a中，小于 100 的项共有 47 项，这 47 项中满足2 n p a的共有477
13、40项，故 n p a的前 100 项和为1 8240 173100 8 40 17227 . 17.解： （1）摸出的 2 个小球的所有可能的结果为1,2，1,3，1,4，1,5，2,3，2,4，2,5， 3,4，3,5，4,5. （2）由（1）知，摸出的 2 个小球的所有可能的结果共有 10 个， 摸出的 2 个小球都是偶数的所有可能的结果为2,4， 所以获得一等奖的概率为 1 10 . 摸出的 2 个小球都是奇数的所有可能的结果为1,3，1,5，3,5， 所以获得二等奖的概率为 3 10 . 18.（1）证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以ADCD. 因为PD 平面ABCD，所以PDA
14、D， 又CDPDD， 所以AD 平面PCD（证CD平面PAD亦可）. 因为AD 平面PAD，所以平面PAD 平面PCD. （2）解：因为E为AB的中点，1AD ，2AB ，所以BCE的面积为 11 1 1 22 ， 所以四面体PBCE的体积 111 322 P BCE VVPD ， 所以3PD. 因为PD 平面ABCD，所以PDAD， 所以 22 10PAPDAD. 易证AE 平面PAD，则AEPA， 又1AE ，所以 22 11PEPAAE. 19.解： （1）因为 22 2sin2sinsinsincos21CAABB， 所以 222 2sin2sinsinsin1 cos22sinCAA
15、BBB ， 由正弦定理得 222 222caabb， 即 222 1 2 abcab， 故 222 1 1 2 cos 224 ab abc C abab . （2）由余弦定理得 222 2coscababC， 即 2 1 944 4 bb， 解得 121 2 b （负根舍去）. 因为 1 cos 4 C ，所以 15 sin 4 C ， 所以ABC的面积 1153 35 sin 28 SabC . 20.（1）证明：设l的方程为2xmy， 联立 2 4 , 2, yx xmy 得 2 480ymy， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 8y y . 因为 2 22 12
16、12 8 4 4416 yy x x ， 所以 12 12 8 2 4 OAOB yy kk xx 为定值. （2）解：由（1）知， 12 4yym. 因为 11 ,1MAx y， 22 ,1MBxy，且AMB为锐角， 所以0MA MB，且MA与MB不共线， 所以 1 2121 21212 1114 8410x xyyx xy yyym ， 且02m， 则 3 ,22, 4 m ， 故直线l的斜率的取值范围为 11 4 0, 22 3 . 21.（1）证明： f x的定义域为0,， 1 x a fx ex ， 则 1 111 a f ee ，解得1a . 11 0 x fx ex ，则 f x
17、在0,上单调递减， 1 10f e ， 1 10 e f e e ， f x有且仅有一个零点. （2）解：当1x 时， 1 1 k f ee ，由此可得1k . 当2k 时，下面证明 2 fx ex 对0,x恒成立. 证明： 2122 lnln xx x f xxxx exeexee . 令 x x g x e ，则 1 x x gx e ， g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 则 1 1g xg e . 令 2 lnh xxx e ， 1 lnh xx ， h x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增， 则 11 h xh ee . 从而 g xh x，又 g x
18、和 h x不在同一处取到最值，则 g xh x. 故当0,x时， 2 fx ex 恒成立，从而整数k的最小值为 2. 22.解： （1）由 42 2cos , 12 2sin, x y 得 22 418xy， 即 22 8290xyxy， 故曲线C的极坐标方程为 2 8 cos2 sin90. 射线L的直角坐标方程为0yx x. （2）将 7 4 代入 2 8 cos2 sin90， 得 2 22 8290 22 ，即 2 5 290， 则 12 5 2， 12 9 ， 所以 22 1212 45 2OAOBOBOAOA OBOAOB . 23.解： （1）因为 f xg x，所以12axax ， 两边同时平方得 2222 2144a xaxa xax ， 即63ax， 当0a时， 1 2 x a ； 当0a时， 1 2 x a . （2）因为 12123f xg xaxaxaxax ， 所以 f xg x的最小值为 3， 所以2 1073 a ，则32 1073 a ， 解得lg2lg5a， 故a的最大值与最小值之和为lg2lg5lg101.
