1、 华文大教育联盟华文大教育联盟 2019 届高三第二次质量检测考试届高三第二次质量检测考试 理科数学理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡上交. 一一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.设全集UR，集合 Ay yx，则 UA （ ） A.0,
2、B.,0 C.0, D.,0 2.若a为实数，则复数1zaiai在复平面内对应的点在（ ） A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 3.国家统计局统计了我国近 10 年（2009 年2018 年）的GDP（GDP是国民经济核算的核心指标，也是 衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图. 根据该折线统计图，下面说法错误的是（ ） A.这 10 年中有 3 年GDP的增速在9.00%以上 B.从 2010 年开始GDP的增速逐年下滑 C.这 10 年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长 D.2013 年2018 年GDP的增速相对于 2009 年2
3、012 年，波动性较小 4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若26cb，60C ，则B （ ） A.45 B.45或 135 C.30 D.30或 150 5.函数 2 3 ln1x f x x 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得2p是素数，素数对,2p p称为孪生素数. 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ） A. 1 15 B. 2 15 C. 2 45 D.
4、 4 45 7.执行下面的程序框图，若输入1a ，则输出的S （ ） A.1 B.1 C.3 D.2 8.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 ,0Fc， 2 ,0F c， 过点 2 F作x轴的垂线， 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P， 线段 2 PF的中点M到原点的距离为2c， 则此双曲线的渐近线 方程为（ ） A.2yx B. 1 2 yx C.4yx D. 1 4 yx 9.如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABBC，且异面直线 1 BD与 1 AA所成角的余弦值为 6 3 ， 则该长方体外接球体积为（ ） A.24 B.8 6
5、 C.6 6 D.8 10.已知函数 53 2sin 2 488 f xxx ，若 12 xx，且 12 f xf x，则当 12 0x x 时， 12 xx的取值范围是（ ） A.0, 4 B., 4 C. 3 , 44 D., 4 11.若定义在R上的函数 f x满足 2fxf x， 且当1x时， x x fx e ， 则满足 1f af a 的a的取值范围是（ ） A.2, B. 1 , 2 C.3, D. 3 , 2 12.如图，已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 ,0Fc， 2 ,0F c，P是椭圆C上 一点，O为坐标原点，若 12 60FPF，
6、且 2 2 3 POa，则椭圆C的离心率是（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 6 3 D. 2 3 二、填空题二、填空题 13.已知向量a，b满足6a ，2b ， 1abb，则向量a，b的夹角的大小为_. 14.已知实数x，y满足不等式组 , , 330, yx yx xy 则zxy的最大值为_. 15.在平面直角坐标系xOy中，已知02，点1tan,1tan 1212 P 是角终边上一点，则的 值是_. 16.如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且ABCD.若平面SAD平面 SBCl.现有以下四个结论： /AD平面SBC； /l AD； 若E是底面圆周上的动点
7、，则SAE的最大面积等于SAB的面积； l与平面SCD所成的角为 45. 其中正确结论的序号是_. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作题为必考题，每个试题考生都必须作 答答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题（一）必考题 17.在等比数列 n a中，公比0q ，其前n项和为 n S，且 2 3S ， 4 15S . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 21 log nn ba ，若数列 n b的前n项和为 n T，则
8、 2 n b，2 n T， 2 1n b 是否成等比数列？并说明理由. 18.如图，在三棱柱 111 ABCABC中，AB 侧面 11 BCC B， 1 ACAB. （1）求证：平面 1 ABC 平面 1 ABC； （2）若2ABBC， 1 60BCC，求二面角 11 BACB的余弦值. 19.在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最 多竞猜 3 次，每次竞猜的结果相互独立.猜中一道“科技”类试题得 4 分，猜中一道“生活”类试题得 2 分， 两类试题猜不中的都得 0 分.将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于 4 分就认为通过游戏的
9、竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完 3 次为止.竟猜的方案有以下两种：方案 1：先猜一道“科 技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题； 方案 2：连猜三道“生活”类试题. 设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为 0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为 0.6. （1）你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大？并说明理由. （2）职工甲选择哪一种方案所得平均分高？并说明理由. 20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C： 2 20ypx p的准线为l，其焦点为F，点B是抛物线C上 横坐标为 1 2 的一点，若点B到l的距离等于BO. （1）求抛物线C的方程； （2） 设A是抛物线C上
10、异于顶点的一点， 直线AO交直线l于点M， 抛物线C在点A处的切线m交直线l 于点N，求证：以点N为圆心，以MN为半径的圆经过x轴上的两个定点. 21.已知函数 2 113 ln 424 fxxa xx ， lng xx. （1）求证： 2 1 1 1 4 f xa x ； （2）用max, p q表示p，q中的最大值，记 max,h xf xg x，讨论函数 h x零点的个数. （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. 22.选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos , 3 sin x y （
11、为参数） ，直线l的参数方程为 1cos , sin xt yt （t为参数）. （1）求曲线C和直线l的普通方程； （2）设1,0M，直线l与曲线C交于A，B两点，若2AMMB，求直线l的斜率. 23.选修 45：不等式选讲 已知函数 2121f xxx ，且不等式 4f x 的解集为M. （1）求M； （2）若xM，yM，求证：1 11 xy yx . 参考答案参考答案 1.D 解析：0yx，则0,A，所以 U ,0A . 2.B 解析：因为 22 1zaia iaai ，且 2 10a ，所以复数z在复平面内对应的点在虚轴上. 故选 B. 3.B 解析： 由题图可知， 这 10 年中有
12、3 年GDP的增速在9.00%以上， 则选项 A 正确； 2017 年相比于 2016 年GDP的增速上升，则选项 B 错误；这 10 年GDP增速均超过6.5%，则选项 C 正确；显然选项 D 正确. 4.A 解 析 ： 因 为bc， 所 以BC. 又 因 为60C ， 所 以60B. 由 正 弦 定 理 ， 得 sin2sin602 sin 26 bC B c ，所以45B. 5.A 解析： 由题意可知 f x为奇函数， 则可排除选项 B； 当0x时， 0f x ， 则可排除选项 D； 当1x 时， 1ln2f，当3x 时， ln10 3 27 f， ln10 ln2 27 ，即 13ff
13、，结合选项则可排除选项 C. 故选 A. 6.D 解析：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个.根据素数对,2p p为 孪生素数，则由不超过 30 的素数组成的孪生素数对为3,5，5,7，11,13，17,19，共有 4 组，能 够组成孪生素数的概率为 2 10 44 45 P C .故选 D. 7.D 解析：第一次循环，得0 1 44S ，1a，3k ；第二次循环，得4131S ， 1a ，2k ； 第三次循环， 得1 1 23S ，1a，1k ； 第四次循环， 得3112S ， 1a ，0k ；第五次循环，0k ，不满足1k ，则输出2S
14、. 8.A 解析：由题意，知双曲线的渐近线方程为 b yx a ，易求点P的坐标为, bc c a ，中点M的坐标为 , 2 bc c a .因为 2 2 22 2 2 bc OMcc a ，所以 22 4ab，即2 b a .故选 A. 9.B 解析：因为异面直线 1 BD与 1 AA所成角的余弦值为 6 3 ，且 11 /AA DD，则 1 6 cos 3 DD B.在 1 RtDDB中，设 1 DDx.因为 2222 2 2BDABADABBC，所以 2 1 8BDx，所以 2 6 3 8 x x ， 所以4x， 则长方体外接球直径为 1 2 6BD ， 半径为6R ， 3 4 68 6
15、 3 V. 10.D 解析：方法一：令2 4 tx ，则 3 , 22 t ，结合sinyt的图象可知 12 tt ，即 12 22 44 xx ，所以 12 4 xx .因为 2 2 12121212 44 4 xxxxx xx x ，且 2 12 15 0 64 x x ，所以 12 , 4 xx .故选 D. 方法二：函数 53 2sin 2 488 f xxx 的图象如图所示， 作/AB x轴， 且设点 11 ,A x y， 点 22 ,B x y.当 1 0x ， 2 4 x 时， 12 min 4 ABxx ； 当 1 3 8 x ， 2 5 8 x 时， 12 max ABxx.
16、故选 D. 11.D 解析： 当1x时， 1 0 x x fx e ， 则 f x在,1内是增函数.由 2fxf x， 得 f x 的图象关于直线1x 对称， 所以 f x在1,内是减函数.将 f x的图象向左平移 1 个单位长度， 得到 函 数 1ygxfx的 图 象 ， 则 g x为 偶 函 数 ， 且 在0,内 是 减 函 数 . 12 12f af ag a ， 1 11f af ag a ， 从 而 1f af a等 价 于 21g ag a，即21g ag a，所以21aa，解得 3 2 a .故选 D. 12.C 解析：设 1 PFm， 2 PFn.由椭圆的定义，得2mna. 在
17、 12 PFF中，由余弦定理，得 2 22 2cos602mnmnc . 2 ，得 22 34mnac. 将代入，得 2222 48 33 mnac. 在 1 POF中，由余弦定理，得 2 22 1 2cosPOcPOcFOPm . 在 2 POF中，由余弦定理，得 2 22 2 2cosPOcPOcF OPn . ，得 2 2 222222 1648 222 933 a mnPOccac，化简，得 22 23ac，故 6 3 e . 13.30 解析：因为 1abb，所以 2 1a bb ，所以 2 123a b ， 所以 33 cos, 262 a b a b a b ，所以向量a，b的夹
18、角为 30. 14.3 解析：画出可行域，如图所示，当直线2yx通过点 33 , 22 A 时，z最小，z最大，所以 max 33 3 22 z . 15. 3 解析： 1tantantan 12412 tantantan 4123 1tan1tantan 12412 .因为02，且点P在 第一象限，所以为锐角，则 3 . 16. 解析：由AB和CD是圆O的直径及ABCD，得四边形ACBD为正方形，则/AD BC，从 而/AD平面SBC，则正确.又因为AD 平面SAD，且平面SAD平面SBCl，所以/l AD，则 正确.因为 1 sin 2 SAE SSA SEASE ，当ASB为钝角时，ma
19、x SAESAB SS ；当ASB为锐角或直 角时，max SAESAB SS ，则不正确.由/l AD，得l与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的 角，即为ADO，又因为45ADO，故正确. 17.解： （1）由 2 3S 及 4 15S ，得 12 3aa， 1234 15aaaa， 两式相减，得 34 12aa，即 2 12 12qaa，所以 2 4q . 由0q ，得2q ，所以 11 23aa，解得 1 1a . 所以数列 n a的通项公式为 1 2n n a . （2）由（1）知 212 loglog 2n nn ban ， 所以 1 2 n n n T ， 所以 2 22
20、 222 1 211 nnn Tn nnnb b ， 所以 2 n b，2 n T， 2 1n b 成等比数列. 18.解： （1）如图，设 11 BCBCG，连接AG. 因为三棱柱的侧面 11 BCC B为平行四边形，所以G为 1 BC的中点. 因为 1 ACAB， 所以 1 ABC为等腰三角形，所以 1 BCAG. 又因为AB 侧面 11 BCC B，且 1 BC 平面 11 BCC B， 所以 1 ABBC. 又因为ABAGA， 所以 1 BC 平面 1 ABC.又因为 1 BC 平面 1 ABC， 所以平面 1 ABC 平面 1 ABC. （2）由（1）知 1 BC 平面 1 ABC，
21、所以 11 BCBC. 以G为坐标原点，以 1 GC的方向为x轴正方向，以 1 GB的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系Gxyz. 由 11 BCBC易知四边形 11 BCC B为菱形.因为2ABBC， 1 60BCC， 所以 1 1GBGC， 1 3GCBG，则可得0,0,0G， 1 1,0,0C， 1 0, 3,0B，1,0,2A . 所以 1 2,0, 2AC ， 11 1,3,0BC . 设平面 11 ABC的法向量, ,nx y z， 由 1 11 0, 0, n AC n BC 得 220, 30, xz xy 取1z ，则1x ， 3 3 y ，所以 3 1,1 3
22、 n . 由（1）知 1 0, 3,0GB 为平面 1 ABC的法向量. 则 1 1 1 3 0, 3,01,1 3 17 cos, 777 3 3 GB n GB n GBn ， 易知二面角 11 BACB为锐角，故其余弦值为 7 7 . 19.解：猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”类试题记作事件A；猜中一道“生活”类 试题记作事件B，猜错一道“生活”类试题记作事件B，则 0.5P A ， 0.5P A ， 0.6P B ， 0.4P B . （1）若职工甲选择方案 1，通过竞猜的概率为： 40.50.5 0.6 0.60.68P XP AP ABB. 若职工甲选择方案 2，
23、通过竞猜的概率为： 40.6 0.60.4 0.6 0.60.6 0.4 0.60.648P XP BBP BBBP BBB. 因为0.680.648，所以职工甲选择方案 1 通过竞猜的可能性大. （2）职工甲选择方案 1 所得平均分高.理由如下： 若职工甲选择方案 1，X的可能取值为 0，2，4， 则 00.5 0.4 0.40.08P XP ABBP A P B P B， 22 0.5 0.6 0.40.24P XP ABBP ABBP A P B P BP A P B P B， 40.68P X ， 数学期望0 0.082 0.244 0.683.2E X . 若职工甲选择方案 2，X的
24、可能取值为 0，2，4， 则 03 3 00.40.064P XC， 12 3 20.6 0.40.288P XC，40.648P X ， 数学期望0 0.0642 0.2884 0.6483.168E X . 因为3.23.168，所以职工甲选择方案 1 所得平均分高. 20.（1）解：由题意，得BFBO，则BOF为等腰三角形. 因为点B的横坐标为 1 2 ，所以线段OF的中点的横坐标为 1 2 ， 从而点F的横坐标为 1，即1 2 p ，所以2p ， 故所求抛物线C的方程为 2 4yx. （2）证明：设切线m的方程为ykxb，由 2 , 4 ykxb yx 得 222 220k xkbxb
25、， （*） 由题意知 2 22 4240kbk b ，即 1 b k . 所以方程（*）的根为 2 1 x k ，从而 2 12 ,A kk ，直线OA的方程为2ykx. 由 1 , 1 ykx k x 得 1 1,Nk k ，由 2, 1 ykx x 得1, 2Mk ， 所以以点N为圆心，以MN为半径的圆的方程为 22 211 1xykk kk ， 令0y ，得 22 211 1xkk kk ，解得1x 或3x， 所以圆N经过x轴上的两个定点1,0和3,0. 21.（1）证明：设 2 1 11 1ln1 4 xf xax xx ，定义域为0,， 则 22 111x x xxx . 当01x时
26、， 0x；当1x 时， 0x，故 x在0,1内是减函数，在1,内是增函数， 所以1x 是 x的极小值点，也是 x的最小值点，所以 min 10xx，所以 2 1 1 1 4 f xa x . （2）解：函数 f x的定义域为0,， 2 3233 21111121 2222 xxxx fx xxxxx . 当01x时， 0fx；当1x 时， 0fx. 所以 f x在0,1内是减函数，在1,内是增函数， 所以1x 是 f x的极小值点，也是 f x的最小值点，即 min 1f xfa. 若0a，则 22 1 31113 4244 xx f xg x xxx . 当01x时， f xg x；当1x
27、时， f xg x；当1x 时， f xg x. 所以 ,01, ,1, f xx h x g xx 于是 h x只有一个零点1x . 若0a，则当01x时， f xg x，此时 0h xf xa； 当1x 时， 0f xa， 0g x ，此时 0h x . 所以 h x没有零点. 若0a，则当01x1 时，根据（1）知， 2 1 1 1 4 fxa x . 而 1 01 21a ，所以 2 11 21 10 421 faa a . 又因为 min 10f xfa，所以 f x在0,1上有一个零点 0 x， 从而一定存在 0,1 cx，使得 f cg c，即 2 113 0 424 a cc
28、，所以 2 311 442 a cc . 当xc时， 222 1131111 20 42442424 cx cx g xf xa xxxxcccxcx ， 所以 g xf x，从而 ,0, , f xxc h x g xxc 于是 h x有两个零点 0 x和 1. 故当0a时， h x有两个零点. 综上，当0a时， h x有一个零点；当0a时， h x没有零点；当0a时， h x有两个零点. 22.解： （1）曲线C的普通方程为 22 1 43 xy . 当cos0时，直线l的普通方程为1x ， 当cos0时，直线l的普通方程为tantan0xy. （2）显然1,0M在直线l上，将直线l的参数
29、方程代入 22 1 43 xy ， 化简，得 22 3sin6 cos90tt， 则 12 2 6cos 3sin tt ， 12 2 9 3sin t t ， 由2AMMB，得 12 2tt ，代入上式，得 22 2 22 2 6cos 2, 3sin 9 2, 3sin tt tt 消去 2 t，解得 5 tan 2 .所以直线l的斜率为 5 2 或 5 2 . 23.（1）解：当 1 2 x 时，不等式 4f x 变为21 1 24xx ，解得1x，此时 1 1 2 x . 当 11 22 x时，不等式 4f x 变为21 1 24xx ，此不等式恒成立，此时 11 22 x. 当 1 2 x 时，不等式 4f x 变为21 214xx ，解得1x，此时 1 1 2 x. 综上，不等式的解集M是1,1. （2）证明：由题意，得1,1x ，1,1y ，则01x，01y. 方法一：设xy， 1 1 111111 xyxyxyy yxyyyy . 方法二：要证明1 11 xy yx ， 只要证明 22 1xyxy . 因为01x，01y，所以 22 xyxy. 又因为 1110xyxyxy，所以1xyxy ， 所以 22 1xyxy 成立， 故1 11 xy yx 成立.
