1、 1 2023 年哈三中高三学年 第一次高考模拟考试 数学 试卷答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B B D A C BD AC AD BC 二、填空题：13.10 14.2 15.31 16.34;12 三、解答题：17.（1）2sinsin2sin2,4sinsin1cos21cos,(0,sin1 coscos),23,cos()BCBCBbcR bcRBCAAAACBC （2）22,3,2sinsinsin()sin()333131cossin2(cossin)222233sincos223tan3CDAB CBCDADCD
2、ADDACCBBBBBBBBB 即 2 18.（1）1211131227(4)()ada adad，0d，112ad 21nan（2）1(21)222(21)(23)2321nnnnnbnnnn 122233nnTn 19.（1）取AD中点O，连接,OB OP PAD为等边三角形，,1,3OPAD OAOP 又,PADABCDPADABCDAD OPPAD平面平面平面平面平面 OPABCD平面，又,OBABCDOPOB平面 ,/,PBBC BCADPBAD 又,OPAD OPPOB PBPOB OPPBP平面平面 ADPOB平面，又,OBPOBADOB平面 3,6OBPB 设点A到平面PBC的
3、距离为h 则1133PBCABCShSOP 62h（2）分别以,OA OB OP为xyz轴,轴,轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 O z y x E D C B A P 3 则(0,0,3),(2,3,0),(1,0,0),(1,0,0)PCAD 设PEPC，则(2,3,33),(21,3,33)EAE ,OPABCDABCD平面平面的法向量1(0,0,1)n 130cos,10 AE n，解得13，23 2(,3)333E 平面ADE的法向量2(0,2,1)n 平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为125cos,5n n 20.（1）设事件A=“摸出的两个球中恰好有一个红球”1135
4、281528()PC CCA X可取0,1,2，23528(0 1,),2kkCPkCkXC X的分布列为 33()284E X （2）设事件B=“丁取到红球”，事件C“甲、乙、丙三人中至少有 1 人取出白球”211234444433388832112344444433338888432777445432497777()()()C CC CCCCCCC CC CCCCCP BCP C BP BC X 0 1 2 P 514 1528 328 4 21.（1）22143yx（2）222234120,(34)8801yxmymyxmy 121212122288,4343myyy yyymy ymm
5、 若存在常数t，使得四边形BBAA11的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x轴上，设该定点为(,0)D s，则11,A B DA B D共线，共线 设11(,),A x y22(,),B xy11(,),A t y，则122111(,),(,)ABxt yyADsty，则1221()()()y xtyyst 1212121221212121()(1)2my yytyyyytytyysyyyyyy 则12,3,2tts 同理，1,A B D共线，3,2ts 存在常数3t，使得四边形BBAA11的对角线交于一定点，该定点为(2,0)22.（1）当0a 时,()ln1.xg xxexx 方法
6、一：()g x定义域(0,),)()(1)(1xg xxex 令2()()1)1(,0 xxh xeh xehxxx在(0,)上递增 1(1)10,)202(,()hehehx 在(1,1)2上有唯一零点0 x 即000(1)0 xh xex 在0)()0(0,xh x 上,即0()0,()(0,)g xg xx在递减 在0(,)x 上,()0,()0,()h xg xg x即在0(,)x 上递增 5 0000l1nxxexx 0min000000()(ln1 110)xg xgxxxexxx 方法二：先证：1,0=xexx当时,取“”lnln1xxxxexxe(存在0 x使00ln0 xx)0ln1xxexx 成立 （2）2()11axxfx,依题意,(1)01fa 即2()ln1,(21)()(1)f xxxxfxxxx ()f x在(0,1)递增,(1,)递减.max()(1)1f xf 在(1,)上,2ln11xxx,即(ln1)xx x,ln1xxx 取11xn,则1ln(1)111nnn,即111)1ln(nnn 111111).ln(1)ln(11)2 ln(1)223nnnn 而1111111231213nn 22212132112(21)2(32)2(1)21nnnnn 1211ln(1 1)2ln(1)ln(1)21ln(1)1(12)2nkknnnknn
