1、专题一：函数与导数一、函数的图象与性质一、单项选择题1(2022哈尔滨检测)下列既是奇函数，又在(0，)上单调递增的是()AysinxBylnxCytanxDy2(2022西安模拟)设f(x)若f(x)3，则x的值为()A3B1C3D1或33(2022常德模拟)函数f(x)的图象大致是()4(2022张家口检测)已知函数f(x)，则()A函数f(x)是奇函数，在区间(0，)上单调递增B函数f(x)是奇函数，在区间(，0)上单调递减C函数f(x)是偶函数，在区间(0，)上单调递减D函数f(x)非奇非偶，在区间(，0)上单调递增5(2021全国乙卷)设函数f(x)，则下列函数中为奇函数的是()Af
2、(x1)1Bf(x1)1Cf(x1)1Df(x1)16设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)等于()A1B2C0D.7已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，且当x0时，f(x)则方程f(x)1的解的个数为()A4B6C8D108(2022河北联考)若函数f(2x1)(xR)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是()A函数f(x)的周期为4B函数f(x)的图象关于点(1,0)对称Cf(2021)0Df(2022)0二、多项选择题9下列函数中，定义域与值域相同的是()AyBylnxCyDy10(2022淄博检测)函数D(x)被称为狄利克雷函
3、数，则下列结论成立的是()A函数D(x)的值域为0,1B若D(x0)1，则D(x01)1C若D(x1)D(x2)0，则x1x2QDxR，D(x)111下列可能是函数f(x)(其中a，b，c1,0,1)的图象的是()12已知函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，且对xR，有f(x)f(x)4.当x(0,2时，f(x)x2，则下列说法正确的是()A8是f(x)的周期Bf(x)的最大值为5Cf(2023)1Df(x2)为偶函数三、填空题13(2022泸州模拟)写出一个具有下列性质的函数f(x)_.定义域为R；函数f(x)是奇函数；f(x)f(x)14已知函数f(x)ln(x)1，则f(ln5)f_
4、.15已知函数f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_16(2022济宁模拟)已知函数f(x)e|x1|sin，则使得f(x)f(2x)成立的x的取值范围是_二、基本初等函数、函数与方程一、单项选择题1幂函数f(x)满足f(4)3f(2)，则f等于()A.B.3C.D.32(2022泸州模拟)若logab1，其中a0且a1，b1,则()A0a1bB1abC1baD1bbcBcabCbacDbca6(2022聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一
5、次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg20.30，lg30.48)()A6B7C8D97(2022湖南联考)已如函数f(x)2xlg，则()Af(1)f(1)0Cf(1)f(2)08设x1，x2分别是函数f(x)xax和g(x)xlogax1的零点(其中a1)，则x14x2的取值范围为()A(4，) B4，)C(5，) D5，)二、多项选择题9记函数f(x)xlnx的零点为x0，则关于x0的结论正确的为()A0x0B.x01Cx00Dx0010已知实数a
6、，b满足等式2022a2023b，下列式子可以成立的是()Aab0Bab0C0abD0ba11(2022济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且周期为2，且当x0,1时，f(x)x2.若函数g(x)f(x)xa恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围可以是()A.B.C.D.12(2022长沙模拟)已知正数x，y，z满足3x4y12z，则()A.B6z3x4yCxy4z三、填空题13(2022成都模拟)已知两个条件：a，bR，f(ab)f(a)f(b)；f(x)在(0，)上单调递减请写出一个同时满足以上两个条件的函数_14(2022广州模拟)据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害在
7、所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过_天，蝗虫数量会达到4000亿只(参考数据：lg20.30)15已知函数f(x)|lnx|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在区间m2，n上的最大值是2，则的值为_16函数f(x)若关于x的方程2f2(x)af(x)10有6个不相等的实数根，则a的取值范围是_三、导数的几何意义及函数的单调性一、单项选择题1(2022张家口模拟)已知函数f(x)2xlnx，则
8、函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为()A2xy20B2xy10C2xy10D2xy102已知函数f(x)x2f(0)xf(0)cosx2，其导函数为f(x)，则f(0)等于()A1B0C1D23(2022重庆检测)函数f(x)excosx(x(0，)的单调递增区间为()A.B.C.D.4(2022厦门模拟)已知函数f(x)(x1)exmx在区间x1,2上存在单调递增区间，则m的取值范围为()A(0，e) B(，e)C(0,2e2) D(，2e2)5(2021新高考全国)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则()AebaBeabC0aebD0bbcBacbCbacDcba二、多
9、项选择题7若曲线f(x)ax2xlnx存在垂直于y轴的切线，则a的取值可以是()AB0C.D.8已知函数f(x)lnx，x1x2e，则下列结论正确的是()A(x1x2)f(x1)f(x2)0B.f(x1)f(x2)0Def(x1)f(x2)x1x2三、填空题9(2022保定模拟)若函数f(x)lnxm在(1，f(1)处的切线过点(0,2)，则实数m_.10已知函数f(x)x2cosx，则不等式f(2x1)3，则实数a的取值范围是_四、解答题13(2022滁州模拟)已知函数f(x)x22xalnx(aR)(1)若函数在x1处的切线与直线x4y20垂直，求实数a的值；(2)当a0时，讨论函数的单调
10、性14(2022湖北八市联考)设函数f(x)ex(ax1)ln(ax1)(a1)x.(e2.71828为自然对数的底数)(1)当a1时，求F(x)exf(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围四、函数的极值、最值一、单项选择题1下列函数中，不存在极值的是()AyxByxexCyxlnxDy2x3x2下列关于函数f(x)(3x2)ex的结论，正确的是()Af(3)是极大值，f(1)是极小值Bf(x)没有最大值，也没有最小值Cf(x)有最大值，没有最小值Df(x)有最小值，没有最大值3已知函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(
11、x2)|t，则实数t的最小值是()A20B18C3D04(2022南充检测)已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1处取得极值0，则mn等于()A2B7C2或7D3或95(2022晋中模拟)已知函数f(x)2xlnxx2ax3(a0)，若f(x)0恒成立，则a的取值范围为()A4，) B(4，)C(0,4) D(0,46(2022昆明模拟)若函数f(x)x24xalnx有两个极值点，设这两个极值点为x1，x2，且x12Cf(x1)3二、多项选择题7(2022新高考全国)已知函数f(x)x3x1，则()Af(x)有两个极值点Bf(x)有三个零点C点(0,1)是曲线yf(x)的对称中心D直线y2
12、x是曲线yf(x)的切线8(2022河北名校联盟调研)若存在正实数m，n，使得等式4ma(n3e2m)(lnnlnm)0成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是()AB.C.D2三、填空题9函数f(x)xln|x|的极值点为_10已知函数f(x)xlnxx2a2，若函数yf(x)与yf(f(x)有相同的值域，则实数a的取值范围是_11(2021新高考全国)函数f(x)|2x1|2lnx的最小值为_12(2022全国乙卷)已知xx1和xx2分别是函数f(x)2axex2(a0且a1)的极小值点和极大值点若x1x2，则a的取值范围是_四、解答题13(2022西安交大附中模拟)已知函数f(x)
13、x33axa(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在区间0,3上的最大值与最小值之差g(a)14.(2022许昌模拟)已知函数f(x)cosx.(1)求函数f(x)的图象在x0处的切线方程；(2)证明：函数f(x)在区间上存在唯一的极大值点x0.(参考数据：7e216，)五、导数的综合应用1.导数与不等式的证明1(2022吕梁模拟)已知函数f(x)exx1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当x0时，求证：f(x)x1x2cosx.2(2022鹤壁模拟)设函数f(x)ln(ax)xe.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当ae时，证明：f(ex)0时，函数f(
14、x)作出函数f(x)的图象，如图所示，又由方程f(x)1的解的个数，即为函数yf(x)与y1的图象交点的个数可知，当x0时，结合图象，函数yf(x)与y1的图象有5个交点，又因为函数yf(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以当x0时，g(x)excos，g(x)exsin，当00，当x2时，exe2，sin，所以g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减从而可知f(x)在(1，)上单调递增，在(，1)上单调递减所以当f(x)f(2x)时，有|x1|2x1|，解得0x0，即(x3)(3x)0，解得3x0，当x(3,0)时，f(x)0，C错误；f(1)f(2)f(2)f(1
15、)0，D正确8C令f(x)0，得x1，即，所以x1是y与yax(a1)图象的交点的横坐标，且显然0x11)图象的交点的横坐标，因为yax与ylogax关于yx对称，所以交点也关于yx对称，所以有x1，所以x14x2x1，令yx，易知yx在(0,1)上单调递减，所以x14x215.9BC10.ABD11.BD12ABD设3x4y12zt，t1，则xlog3t，ylog4t，zlog12t，所以logt3logt4logt12，A正确；因为log1291，则6z3x，因为log81641，则3x4y，所以6z3x4z，D正确；因为，则xy4z，所以xy4z2，C错误13f(x)x(答案不唯一)14
16、5415.e216(2，3)解析函数f(x)的图象如图所示，令tf(x)，则关于x的方程2f2(x)af(x)10有6个不相等的实数根，等价于关于t的方程2t2at10在0,1)上有2个不相等的实数根，则解得2a0，2ax10有正根，即2a2有正根，即函数y2a与函数y2，x0的图象有交点，令t0，则g(t)t2t2，g(t)g，2a，即a.8BCDf(x)lnx是增函数，(x1x2)f(x1)f(x2)0，A错误；f(x1)f(x2)(lnx1lnx2)ln(x1x2)ln，fln，由x1x2e，得，又f(x)lnx单调递增，f(x1)f(x2)e时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x1)
17、h(x2)，即0，C正确；令g(x)ef(x)x，则g(x)1，当xe时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x1)g(x2)，即ef(x1)x1ef(x2)x2ef(x1)f(x2)3.不妨设x1x2，则f(x1)f(x2)3(x1x2)，即f(x1)3x1f(x2)3x2，设F(x)f(x)3x，则F(x1)F(x2)，又x10)，对于方程2x22xa0，记48a.当0，即a时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增；当0，即0a0，故x2x10.当x(0，x1)(x2，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(x1，x2)时，f(x)0，函数f(x)单调递减综上所述，当a时，函数
18、f(x)在(0，)上单调递增；当0a0，解得xe1，令F(x)0，解得1x0在上恒成立，可得ae，依题意可得f(x)exaln(ax1)10在上恒成立，设g(x)f(x)exaln(ax1)1，g(x)ex，易知g(x)在上单调递增，故g(x)g(1)ee，由h(a)ln(a1)0，得x或x；由f(x)3x210，得x0，f(2)(2)3(2)150)，则tlnt3e2lnt，设g(t)tlnt3e2lnt，则g(t)1lnt，因为函数g(t)在(0，)上单调递增，且g(e2)0，所以当0te2时，g(t)e2时，g(t)0，则g(t)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，从而g(
19、t)ming(e2)4e2，即4e2，解得a或a0且a1，所以显然x0，所以e.令g(x)，则g(x).令g(x)0，得x.故当x时，g(x)0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减所以g(x)极小值g(lna)2，也是最小值因为f(x)有极小值点xx1和极大值点xx2，故f(x)0有两个不同的根xx1，xx2，故g(x)的图象与直线ye有两个交点，所以ge，即(lna)2e，又所以(lna)21.由题意易知当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0.若a1，则当x时，f(x)，不符合题意，所以0a1，则1lna0，所以a.方法二由题意，f(x)2axlna2ex，根据f(x)
20、有极小值点xx1和极大值点xx2可知，xx1，xx2为f(x)0的两个不同的根，又x1x2，所以易知当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0.由f(x)0，可得axlnaex.若a1，则当x时，f(x)，不符合题意，舍去若0a1，令g(x)axlna，h(x)ex，在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图所示因为f(x)0有两个不同的根，所以g(x)与h(x)的图象有两个交点，则过原点且与g(x)的图象相切的直线l的斜率ke.不妨设直线l与g(x)的图象的切点坐标为(x0，)，因为g(x)ax(lna)2，所以k可得x0，从而k(lna)2e，又所以e(lna)2e，则
21、(lna)21，又0a1，所以1lna0时，x(，)(，)时，f(x)0；x(，)时，f(x)0；故f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，)上单调递减(2)由(1)可知：当a0时，f(x)在0,3上单调递增，g(a)f(3)f(0)279a；当3，即a9时，f(x)在0,3上单调递减，g(a)f(0)f(3)9a27；当03，即0a9时，f(x)在0，)上单调递减，在(，3上单调递增，于是f(x)minf()2aa，又f(0)a，f(3)278a.故当0a3时，g(a)279a2a；当3a9时，g(a)2a，综上可得，g(a)14(1)解因为f(x)cos x，在x0处的切点为(0,0)，
22、求导得f(x)sin x，所以切线斜率为f(0)1，所以函数f(x)的图象在x0处的切线方程为yx.(2)证明因为f(x)cosx，所以f(x)sinx，因为当x时，函数y1sinx，y2均单调递减，所以f(x)sinx在区间上单调递减，因为e20，因为所以f0，当x时，f(x)0，解得x0，f(x)在(0，)上单调递增，令f(x)ex10，解得x0，g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0.当x0时，f(x)x1x2cos x.2(1)解函数f(x)ln(ax)xe的定义域为(，a)，所以f(x)1，因为当xa时，f(x)0，即f(x)在(，a)上单调递减，故函数f(x)的单调递减区
23、间为(，a)，无单调递增区间(2)证明当ae时，f(x)ln(ex)xe，要证f(ex)ex，即证ln xxex，即证10)，则g(x)，所以当0x0，当xe时，g(x)0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以g(x)g(e)1. 设h(x)，h(x)，则当0x1时，h(x)1时，h(x)0，所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)h(1)e，又1e，所以当ae时，f(ex)ex.2.恒成立问题与有解问题1解(1)f(x)2axln xax，g(x)2xb，函数f(x)与g(x)在x1处有相同的切线，即(2)欲使f(x)g(x)恒成立，即
24、ax2ln xx2bx成立，即axlnxxb成立，b使f(x)g(x)恒成立，axlnxx恒成立，当x1时，有1成立，aR，当x(1，e时，a，令G(x)，则G(x)，令m(x)ln xx，则m(x)1，且m0，当1x0，当xe时，m(x)0，mln0，m(e)0，当x(1，e时，m(x)0，即G(x)0，G(x)在(1，e上单调递增，当xe时，G(x)有最大值，且G(e)，a，综上所述，a的取值范围是.2解(1)由题意得x1，f(x)a.当a0时，f(x)0，故函数f(x)在区间(1，)上单调递增；当a0时，在区间上，f(x)0，在区间上，f(x)0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)由f(x)ex1，可得ln(x1)ax1ex0，设g(x)ln(x1)ax1ex，g(0)0，则g(x)aex.设h(x)g(x)aex，则h(x)ex0，所以函数g(x)在区间0，)上单调递减，则g(x)g(0)a.当a0时，g(x)0，g(x)在区间0，)上单调递减，所以g(x)g(0)0恒成立；当a0，因为g(x)在区间0，)上单调递减，所以x0(0，)，在区间(0，x0)上，有g(x)0，所以g(x)在区间(0，x0)上单调递增，所以在区间(0，x0)上g(x)g(0)0，不合
