1、专题综合强化第二部分 专题五二次函数的综合探究专题分析专题分析 二次函数的综合探究是云南省常考题型，常考的类型二次函数与线段问题云南2020.23，昆明2020.22；曲靖2018.23,2016.23(2)；二次函数与角度问题；二次函数与面积问题云南2017.21；昆明2018.22,2016.23(2)；二次函数与特殊三角形的存在性问题昆明2016.23(3)；二次函数与特殊四边形的存在性问题曲靖2018.23,2016.23(3)；二次函数与相似三角形的存在性问题(昆明2015.23)常考题型常考题型 精讲精讲 夺冠技法夺冠技法题型题型1反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数的综
2、合理解并记住常见的理解并记住常见的“将军饮马将军饮马”模型辅助线添加方法，对常见的轴模型辅助线添加方法，对常见的轴对称图形对称图形(如等腰三角形，正方形，圆如等腰三角形，正方形，圆)的对称轴要灵活运用的对称轴要灵活运用常见考法有：常见考法有：(1)“将军饮马将军饮马”与坐标系结合；与坐标系结合；(2)利用菱形的对角利用菱形的对角线；线；(3)利用圆的直径利用圆的直径下表给出几何最值问题中的几种中考题型及解题作图方法下表给出几何最值问题中的几种中考题型及解题作图方法：夺冠技法夺冠技法类型类型1二次函数与线段问题二次函数与线段问题典例精析典例精析 例1如图，直线yxb分别与x轴，y轴相交于A，B两
3、点，经过A，B两点的抛物线yx22xc与x轴的另一交点为C(1,0)(1)求抛物线的解析式；【解答】将点C坐标代入yx22xc中，得012c，解得c3，所以抛物线的解析式为yx22x3.(2)点D为线段AO上的一动点，过点D作x轴的垂线PD，PD分别与抛物线yx22xc，直线yxb相交于P，E两点，设点D的横坐标为m.在点D的运动过程中，求线段OE的最小值；当DEBE时，求点D的坐标；在点D的运动过程中，求线段PE的最大值；(3)若F为抛物线的顶点，Q为y轴上一点，是否存在FQAQ的值最小的情况，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【解答】存在由(1)，可得F的坐标为(1,4)，作点
4、A关于y轴的对称点A，连接AF，AF与y轴相交于Q，此时，AQFQ的值最小，可得A的坐标为(3,0)由A(3,0)，F(1,4)得直线AF的解析式为yx3，点Q的坐标为(0,3)(4)若M为抛物线对称轴上一动点，求BCM周长的最小值及此时M的坐标【解答】由(1)可得抛物线的对称轴为直线x1，由抛物线的对称轴可知，A，C两点关于直线x1对称，直线AB与直线x1的交点为M，此时，BCM周长最小，即CBCMBCMCBMBCAB，针对训练针对训练 1.(2020昆明盘龙区一模)如图，以D为顶点的抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为yx3.(1)求抛物线的表达式；(2)
5、求DBC的面积；(3)在直线BC上有一点P，使POPA的值最小，求点P的坐标(3)如答图，作点O关于BC的对称点O，则O(3,3)O与O关于BC对称，POPO.OPAPOPAP.当A，P，O在一条直线上时，OPAP有最小值2(2020黔西南)已知抛物线yax2bx6(a0)交x轴于点A(6,0)和点B(1,0)，交y轴于点C(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PDPE取最大值时，求点P的坐标；(3)如图2，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分AMN的边MN时，
6、求点N的坐标(2)由(1)知，抛物线的解析式为yx25x6，C(0,6)，OC6.A(6,0)，OA6，OAOC，OAC45.PD平行于x轴，PE平行于y轴，DPE90，PDEDAO45，PED45，PDEPED，PDPE，PDPE2PE，当PE的长度最大时，PEPD取最大值(3)如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF.点F在线段MN的垂直平分线AC上，FMFN，NFCMFCly轴，MFCOCA45，MFNNFCMFC90，NFx轴类型类型2二次函数与角度问题二次函数与角度问题典例精析典例精析 例2如图所示，平面直角坐标系中，直线yx3交坐标轴于B，C两点，抛物线yax2bx
7、3经过B，C两点，且交x轴于另一点A(1,0)点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作DQCO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q.(1)求抛物线解析式；(2)当BC平分DCO时，求出点D的坐标；【解答】由(1)得OBOC，OBCOCB45，当BC平分DCO时，可得OCD90；此时CDx轴，易得抛物线的对称轴为直线x1.又C(0,3)，点D的坐标为(2,3)(3)设点P的横坐标为m，当DCPACO时，求出m的值；(4)在抛物线上取一点E，问是否存在BCE90的情形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由针对训练针对训练 1.如图，抛物线yx2axa1与x轴交于A，B两点(点B在正半轴上
8、)，与y轴交于点C，OA3OB点P在CA的延长线上，点Q在第二象限抛物线上，SPBQSABQ.(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BQ的解析式；(3)若PAQAPB，求点P的坐标解：(1)令yx2axa10，解得xa1或1，故点A，B的坐标分别为(a1,0)，(1,0)，OA3OB，故1a3，解得a2，故抛物线的解析式为yx22x3.(2)对于yx22x3，令x0，则y3，故点C(0，3)，SPBQSABQ，PBQ和ABQ底边BQ边上的高相等，故直线PCBQ，(3)设直线PB交AQ于点D，如答图，由直线BQ的表达式知ABQ45，由(2)知PCBQ，QAPAQB，BPAQBP，而PAQAPB，A
9、QBPBQ，DBDQ.PAQAPB，DPDA，PBAQ，而BQBQ，PBQAQB(SAS)，PQBABQ45，PQy轴，(1)求抛物线的解析式(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值(3)设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使AQM45？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由夺冠技法夺冠技法类型类型3二次函数与面积问题二次函数与面积问题模型模型问题背景问题背景代 数 模代 数 模型型(直角直角坐 标 系坐 标 系中 求 面中 求 面积积)如图如图1，在平面直角坐标系中，点，在平面直
10、角坐标系中，点A(xA，yA)，B(xB,0)，C(xC,0)如图如图2，在平面直角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)如图如图3，在平面直角坐标，在平面直角坐标系中系中，点，点A(xA,0)，B(xB，yB)，C(0，yC)，D(xD,0)模型模型问题背景问题背景宽 高 模宽 高 模型型(割补割补求面积求面积)如图如图4，已知，已知ABC，分别过，分别过B，A，C三点向水平直线三点向水平直线l作垂作垂线，垂足分别为线，垂足分别为D，E，F，AE交交BC于点于点K，设，设DFa，AKh.如图如图5，已知，已知ABC，过点，过点C作作CDl，交
11、，交AB的延长线于点的延长线于点D，设设EFa，CDh模型模型问题背景问题背景平行线构造模平行线构造模型型(转化求面转化求面积积)如图如图6，已知，已知ABC，过点，过点C作直线作直线AB的平行线的平行线l，在，在l上取一点上取一点D，连接，连接AD，BD如图如图7，已知，已知ABC，过点，过点C作直线作直线AB的平行线的平行线l，点，点E是是AB的中点，连接的中点，连接CE并延长，使并延长，使CEED，连接，连接AD，BD如图如图8，在平面直角坐标系中，抛物线交，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点轴于点A，B，点点C在在x轴下方的抛物线上，在抛物线上找一点轴下方的抛物线上，在抛物线上找一点
12、P，使点，使点P到到AC的距离与的距离与AE相等相等2如图，抛物线yax2bxc经过A(0,3)，B(1,0)，C(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，PAE的面积最大？并求出最大面积(2)A(0,3)，C(2,3)，抛物线的对称轴为直线x1，E(3,0)设直线AE的解析式为ykx3，3k30，解得k1，直线AE的解析式为yx3.典例精析典例精析 例3如图，已知抛物线yax22xc(a0)，与y轴交于点A(0,6)，与x轴交于B(6,0)，C两点点P是抛物线上的动点(1)求这条抛物线的解析式；(
13、2)求直线AB的解析式；(3)当P为抛物线的顶点时，求ABP的面积；(4)当点P在AB上方运动时，四边形OAPB的面积是否存在最大值若存在，求出点P的横坐标与四边形OAPB面积的的最大值，若不存在，请说明理由；(5)当ABP的面积等于AOC的面积时，求点P的坐标；(6)设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S.第三步：由等底等高的三角形面积相等，可得另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，可求PE的解析式，即可求解【解答】【解答】如答图，设如答图，设AB上方的抛物线上有点上方的抛物线上有点P，过点过
14、点P作作AB的平行线交对称轴于点的平行线交对称轴于点C，且与抛物线，且与抛物线只有一个交点为只有一个交点为P.设直线设直线PC解析式为解析式为yxb，针对训练针对训练 1(2020云南模拟)如图，已知抛物线yax2bx5经过A(5,0)，B(4，3)两点，与x轴的另一个交点为C(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B，C不重合)，连接PB，PC，设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值2(2020武威)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA2OC8OB点P是第三象限内抛物线上的一动点(1)求此
15、抛物线的表达式；(2)若PCAB，求点P的坐标；(3)连接AC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标夺冠技法夺冠技法类型类型4二次函数与特殊三角形的存在性问题二次函数与特殊三角形的存在性问题【解题思路】方法一：代数法由于动点P在x轴上，设P(m,0)，用两点距离公式表示出AB，AP，BP，然后列方程可得方法二：“两圆一线”法精确定位，可直接计算出圆与x轴交点坐标，“一线”与x轴交点坐标可用勾股定理构建方程求解模型二：“两定一动”型(直角三角形)2如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,4)，在坐标轴上找一点C，使ABC为直角三角形，求满足条件的所有C点坐标【解题思路】本题可采用“
16、代数法”，借助两点距离公式，用勾股定理建立等量模型，分类讨论求解，也可采用“一圆两线”法方法一：代数法利用两点距离公式分别表示出AB，AC，BC，然后利用勾股定理建立等量关系即可解决问题方法二：“一圆两线”法精确画图后，利用相似或勾股定理求出符合条件的点的坐标一、等腰三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题典例精析典例精析 例4如图，抛物线yx2mxn与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D已知A(1,0)，C(0,3)连接CD(1)求抛物线的解析式(2)判断ACD的形状，并说明理由(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点
17、P的坐标；如果不存在，请说明理由(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由【解答】存在B(3,0)，C(0,3)，直线BC的解析式为yx3.设点P(m，m3)(0m3)C(0,3)，D(1,0)，CP22m2，DP2(m1)2(m3)2，CD210.PCD是等腰三角形，(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】存在由(1)知，点E坐标为(1,4)，对称轴为直线x1.如答图2，若以CE为底边，则P1EP1C设点
18、P1的坐标为(x，y)，则(x1)2(y4)2x2(3y)2，即y4x.二、直角三角形存在性问题二、直角三角形存在性问题典例精析典例精析 例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)动点E在y轴上移动，当EAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点E的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶
19、点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】存在设点P(1，m)B(3,0)，C(0,3)，BC218，PB2m2(13)2m24，PC212(m3)2m26m10.当以点C为直角顶点时，BC2PC2PB2，即18m26m10m24，解得m4.P(1,4)当以点B为直角顶点时，BC2PB2PC2，即18m24m26m10，解得m2.P(1，2)(5)作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N，问在x轴上是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由三、特殊三角形的存在性问题三、特殊三角形的存在
20、性问题典例精析典例精析 例6如图，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N.(1)若抛物线经过点(2,3)，求抛物线的解析式；【解答】【解答】将点将点(2,3)代入代入yax22ax3a，得得4a4a3a3，解得，解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.(2)连接AC，CN，试判断ACN的形状，并说明理由；【解答】ACN为等腰三角形理由如下：令ax22ax3a0，解得x11，x23，即A(1,0)，B(3,0)，OA1.根据题意，得抛物线的对称轴为直线x1，点N的坐标为(1,0)，即ONOA1.又C
21、OB90，ACNC，ACN为等腰三角形(3)点P是抛物线对称轴上一动点当点P在x轴上方，且POB为等腰三角形时，求点P的坐标；若点P位于抛物线上，且APB为等边三角形，求a的值；若OCOB，当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，求点P的坐标针对训练针对训练 1(2020枣庄)如图，抛物线yax2bx4交x轴于A(3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.(1)求抛物线的表达式(2)过点P作PNBC，垂足为N.设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时，PN有最大
22、值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由，2在平面直角坐标系中，二次函数yax2bx2的图象与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(1)求这个二次函数的解析式(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(3)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(3)存在如答图2，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2，正方
23、形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4 为符合题意要求的点过点Q1 点作Q1Dy轴于点D，过点Q2 作Q2Ex轴于点E.夺冠技法夺冠技法类型类型5二次函数与特殊四边形的存在性问题二次函数与特殊四边形的存在性问题图图4如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(2,2)，C(0,3)在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形方法一：四顶点坐标公式法解：如答图1，分别过A，B，C三点作对边的平行线，三条平行线互相交于点D1，D2，D3，连接AD1交BC于点E.方法二：平移法解：如答图2，分别过A，B，C三点作对边的平行线，三条平行线互相交于点D1，D2，D3.
24、四边形ABD1C为平行四边形，点A先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得点D2(3,1)；过点B作BGD3G于G，ACBD3，COABGD390，ACOD3BG.四边形ACBD3为平行四边形，ACBD3.典例精析典例精析 例7(2)若点D在x轴上方，且四边形ACBD为平行四边形，求点D的坐标(3)若点M在对称轴上，点N在抛物线上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的点M，N的坐标(4)将抛物线C1 绕R(m,0)旋转180得到抛物线C2，抛物线C1，C2 的顶点分别为M，N，与x轴的交点从左到右依次为S，T，若四边形AMTN为矩形，求m的值针对训练针
25、对训练 1(2020甘孜)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A,B两点的抛物线yx2bxc与x轴的正半轴相交于点C(1,0)(1)求抛物线的解析式(2)若P为线段AB上一点，APOACB,求AP的长(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA2，OC6，连接AC和BC(1)求抛物线的解析式(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE，求BCE面积的最大值及此时
26、点E的坐标(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由(2)如答图1，过点E作EGx轴于点G，交直线BC于点F.令y0，即x2x60，解得x2或3，B(3,0)由点B，C的坐标，可得直线BC的解析式为y2x6.设E(t，t2t6)(0t3)，则F(t，2t6)，EF2t6(t2t6)t23t，夺冠技法夺冠技法类型类型6二次函数与相似三角形的存在性问题二次函数与相似三角形的存在性问题典例精析典例精析 例8如图，抛物线yax24xc交x轴于A(1,0)，B两点，交y轴于点C(0,3)，顶点为P.(1)
27、求抛物线的解析式(2)求直线BC的解析式(3)连接PA，PB，求证：OBCPAB(4)连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P，B，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由针对训练针对训练(1)求抛物线的表达式(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由(2)对于yx2x2，令x0，得y2，故点C(0,2)，由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为yx2，设点D的坐标为(m，m2m2)，则点F(m，m2)，DFm2m2(m2)m22m.10，DF有最大值，此时m1，D(1,2)(1)求抛物线的解析式；(2)当PBA2OAB时，求点P的坐标；(3)过点P作PMy轴，分别交直线AB，x轴于点C，D，若以点P，B，C为顶点的三角形与以点A，C，D为顶点的三角形相似，求点P的坐标(2)如答图1，点A关于y轴的对称点为A，连接AB，则ABAB，BAOBAO.当直线AB交抛物线于P时，则PBABAOBAO2BAO.A(4,0)，A(4,0)设直线AB的解析式为ykxb(k0)
