1、课后作业第21讲矩形、菱形、正方形BA1(2021原创)下列说法中不正确的是()A四边相等的四边形是菱形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C一组邻边相等的平行四边形是菱形 D菱形的对角线平分对角2(2020台州)下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形下列推理过程正确的是()A由推出，由推出B由推出，由推出C由推出，由推出D.由推出，由推出BD3(2020甘孜)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为()A3B.4C5 D64如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点E在边BC上若EA平分BED
2、，则BE的长为()A B.C.D.4359 3877【解析】四边形ABCD是矩形，ABCD3，ADBC4，D90，ADBC，DAEBEA.EA是BED的平分线，BEAAED，DAEAED，DEAD4.在RtDEC中，EC =BEBCEC4 .7722EDDC2243D5.(2020毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB6 cm，BC8 cm，则EF的长是()A2.2 cm B.2.3 cmC2.4 cm D2.5 cm 【解析】四边形ABCD是矩形，ABC90，BDAC，BOOD.AB6 cm，BC8 cm，由勾股定理，得AC
3、 10(cm)，BD10 cm，DO5 cm.点E，F分别是AO，AD的中点，EF是AOD的中位线，EF OD2.5 cm.1222+ABBC22686人教八下P67第1(3)题如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则BFC为()A45 B.55 C60 D.75C【解析】四边形ABCD是正方形，ABAD.又ADE是等边三角形，AEADDE，DAE60，ABAE，ABEAEB，BAE9060150，ABE(180150)215.又BAC45，BFCBACABE451560.7(2020益阳)如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，ABE是等边三角形，AC交BE
4、于点F，则下列结论不成立的是()ADAE30 BBAC45 C D BEFFB12ADAB32【解析】四边形ABCD是矩形，ABE是等边三角形，ABAEBE，EABEBA60，ADBC，DABCBA90，ABCD，ABCD，DAECBE30，故选项A不合题意；cos DAE ，故选项D不合题意；在ADE和BCE中，32ADAEADAB ADBC，DAECBE，AEBE，ADEBCE(SAS)，DECE CD AB.ABCD，CEFABF，故选项C不合题意，故选B.121212CEABEFBF8(2020乐山)如图，在菱形ABCD中，AB4，BAD120，O是对角线BD的中点，过点O作OECD于
5、点E，连接OA，则四边形AOED的周长为()A92 B9C72 D8B333【解析】四边形ABCD为菱形，ADAB4,ABCD.BAD120，ADBCDB30.O是对角线BD的中点，AOBD.在RtAOD中，AO AD2，OD OA2 .OECD，DEO90.在RtDOE中，OE OD ，DE OE3，四边形AOED的周长为42 39 .1233123333C9如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，连接 CE，AF.若四边形 AECF 是菱形，则 的值是()A B C DDEAE38233545【解析】设ABa，则AD2a，四边形ABCD是矩形，CDAB
6、a，D90.四边形AECF是菱形，AECE，设AECEx，则DE2ax，在RtCDE中，由勾股定理得DE2CD2CE2，即(2ax)2a2x2，解得x a，即AECE a，DE a，.34355454DEAE3a45a410(2020遵义)如图，在菱形ABCD中，AB5，AC6，过点D作DEBA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为()A B C4 DD125185245【解析】如答图，设AC与BD相交于点O.四边形ABCD是菱形，AC6，ACBD，OA AC3，BD2OB.AB5，OB 4，BD2OB8.S菱形ABCDABDE ACBD，DE .1212245第10题答图22ABOA16
7、825 12AC BDABC11如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点E，ACB52，AM平分BAC，交BC于点M，过点B作BFAM，垂足为F，则DBF的度数为()A43 B34 C33 D19【解析】四边形ABCD是矩形，ABC90，AEBE，BAC90ACB905238，ABDBAC38.AM平分BAC，BAMCAM BAC 3819.BFAM，ABF90BAM901971，DBFABFABD713833.121212(2020南充)如图，在面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EFBD于F，EGAC于G，则四边形EFOG的面积为()A B.C D
8、.B14S18S112S116S【解析】四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，S ACBD.EFBD于点F，EGAC于点G，四边形EFOG是矩形，EFOC，EGOB.点E是线段BC的中点，EF，EG都是OBC的中位线，EF OC AC，EG OB BD，矩形EFOG的面积为EFEG AC BD S.121214121414141813如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB4.若点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的面积为()A8 B6 C4 D6C33【解析】如答图，连接AC，BD交于点O.四边形ABCD是菱形，AC
9、BD.点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EHBD，FGBD，EFAC，HGAC，EHFG，EFHG，四边形EFGH是平行四边形ACBD，AOB90，BAOABO90.AEHABO，BEFEAO，AEOBEF90，HEF90，四边形EFGH是矩形在菱形ABCD中，ABC60，ABC是等边三角形，ACAB4，BD4 ，EF AC2，EH BD2 ，四边形EFGH的面积为22 4 .31212333第13题答图14(2020金华)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P，若GOGP，则 的值是(
10、)A1 B2C5 D2正方形正方形ABCDEFGHSS22154B【解析】四边形EFGH为正方形，EGH45，FGH90.OGGP，GOPOPG67.5，PBG22.5.又DBC45，GBC22.5，PBGGBC.BGPBGC90，BGBG，BPGBCG(ASA)，PGCG.设OGPGCGx，O为EG，BD的交点，EG2x，FG x.四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，BFCGx，BGx x，BC2BG2CG2x2(1)2x2(42 )x2，2 .2222正方形正方形ABCDEFGHSS22(42 2)2 xx215(2020舟山)如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：
11、_，使 ABCD是菱形ADDC(答案不唯一答案不唯一)16(2020无锡)如图，在菱形ABCD中，B50，点E在CD上，若AEAC，则BAE_115【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件ADDC.【解析】四边形ABCD是菱形，CA平分BCD，ABCD，BAEAEC180，BBCD180，BCD180B18050130，ACE BCD65.AEAC，AECACE65，BAE180AEC115.1217(2020江西名校联盟二模)如图，E，F是正方形ABCD边上的两点，EF2，以EF为边向正方形内作矩形EFGH，EH2.若矩形EFGH在正方
12、形内可随线段EF进行自由滑动，则正方形边长的最小值为_4【解析】矩形EFGH在正方形内随线段EF进行自由滑动，矩形EFGH的对角线EG不大于正方形ABCD的边长，即正方形边长的最小值为 4.18(2020益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE15，则BOE的度数等于_7522EHEF4 12【解析】四边形ABCD是矩形，ADBC，ACBD，OAOC，OBOD，BAD90，OAOB，DAEAEB.AE平分BAD，BAEDAE45AEB，ABBE.CAE15，DAC451530，BAC60，BAO是等边三角形，ABOB，ABO60，OBC90
13、6030.ABOBBE，BOEBEO (18030)75.1219(2020台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为_(用含a，b的代数式表示)ab【解析】如答图，连接DK，DN，DM，DT.KDNMDT90，KDMNDT.DKDN，DKMDNT45，DKMDNT(ASA)，SDKMSDNT，S四边形DMNTSDKN a，正方形ABCD的面积为4 abab.141420如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(6，0)，C(0，2 ).将矩形O
14、ABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_(2 ，6)3【解析】如答图，连接OB1，过点B1作B1HOA于点H，由题意，得OA6，ABOC2 ，则tan BOA ，BOA30，OBA60.由旋转的性质可知，B1OBBOA30，B1OH60.在AOB和HB1O中，3ABOA333 B1HOBAO，B1OHABO，OB1OB，AOBHB1O(AAS)，B1HOA6，OHAB2 ，点B1的坐标为(2 ，6).3321(2020张家界改编)如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.求证：DOEBOF.证明证明
15、：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，DOBO，EDOFBO，又又EFBD，EODFOB90.在在DOE和和BOF中，中，DOEBOF(ASA).,EDOFBODOBOEODFOB 22(2020自贡)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CEDF，连接AE和BF相交于点M.求证：AEBF.第22题图证明证明：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABBCCDAD.CEDF，BECF.AEBBFC(SAS)，AEBF.在在AEB和和BFC中，中，ABBCABEBCFBECF ,23(2020北京)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
16、E是AD的中点，点F，G在AB上，EFAB，OGEF.(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD10，EF4，求OE和BG的长第23题图(1)证明证明：四边四边形形ABCD是菱形，是菱形，BDAC，DAOBAO，OBOD.E是是AD的中点，的中点，AEOEDE AD，OE是是ABD的中位线，的中位线，OEFG.OGEF，四边形四边形OEFG是平行四是平行四边形边形EFAB，EFG90，四边形四边形OEFG是矩形是矩形12(2)解解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，BDAC，ABAD10，AOD90.E是是AD的中点，的中点，OEAE AD5.由由(1)知，知，四边形四边形OEFG是矩形
17、，是矩形，FGOE5.AE5，EF4，AF 3，BGABAFFG10352.12AEEF 2224.【创新题】(2020杭州)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设 (0).(1)若AB2，1，求线段CF的长；(2)连接EG，若EGAF；求证：点G为CD边的中点求的值CEEB(1)解：解：在正方形在正方形ABCD中，中，ADBC，DAGF.又又AG平分平分DAE，DAGEAG，EAGF，EAEF.AB2，B90，点，点E为为BC的中点，的中点，BEEC1，AE ，EF ，CFEFEC 1.22+ABBE555(2)证明
18、证明：EAEF，EGAF，AGFG.ADGFCG(AAS)，DGCG，即点即点G为为CD边的中点边的中点在在ADG和和FCG中，中，DGCFAGDFGCAGFG ,解：解：设设CD2a，则，则CGa，由由知，知，CFDA2a，EGAF，EGCCGF90，FCGF90，ECGGCF90，EGCF，EGCGFC，.GCa，FC2a，EC a，BEBCEC2a a a，.ECGCGCFCGCFC1212ECGC1232CEEBaa12321312C1如图，有一块边长为2 的正方形厚纸板ABCD，做成如图1所示的一套七巧板(点O为正方形纸板对角线的交点，点E，F分别为AD，CD的中点，GEBI，IHC
19、D)，将图1所示七巧板拼成如图2所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为()A2 B2 C3 D3222【解析】等腰直角三角形ACD中，ADCD2 ，AC4.又AGGOOHCH，FIEI1，EF2，NM213.2(2020牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，ADx轴且AD4，A60，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是()DA(0，2 )B(2，4)C(2 ，0)D(0，2 )或(0，2 )33332【解析】根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，点A，B，C都在坐标轴上，如答图BAD60，AD4，OAD30，OD2，A
20、O 2 OC.点C的坐标为(0，2 )，同理，当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为(0，2 )，点C的坐标为(0，2 )或(0，2 ).33333第2题答图22-AD OD224-23(2020滨州)如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N.若直线BA交直线CD于点O，BC5，EN1，则OD的长为()BAB.CD.132133134135第3题图【解析】EN1，AM2.由折叠的性质可得AM2.ADEF，AMBANM.AMBAMB，ANMAMB，ANAM2，AE3，AF2，如答图，过点M作MG
21、EF于点G，NGEN1，AG1.由勾股定理得MG ，BEDFMG ，OFBE23，解得OF ，OD .3333322212 332 33第3题答图D4两个含有30角的全等的直角三角板ABC和DEF按如图1所示的方式摆放，ACDE1 cm，其中点B，C，E，F在同一直线l上，三角板ABC固定，将三角板DEF沿直线l向左移动，如图2，下列说法错误的是()A四边形AFDB是平行四边形B将三角板DEF向左移动 cm时，四边形AFDB是矩形C.将三角板DEF向左移动 cm时，四边形AFDB是菱形D四边形AFDB有可能成为正方形333【解析】ABCEFD30，ABDF.又ABDF，四边形AFDB是平行四边
22、形，故A正确；当FC cm时，AC1 cm,ACF 90，tan CAF ，CAF30.BAC60，FAB 90，平行四边形AFDB是矩形，故B正确；当将三角板DEF向左移动 cm时，易知点C与点E重合，AD与BF互相垂直平分，平行四边形AFDB是菱形，故C正确；由选项B，C可知矩形与菱形不能同时存在，四边形AFDB不可能是正方形，故D错误333335(2020哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE.若CD2BE，DAEDEA，EO1，则线段AE的长为_2 2【解析】设BEx，则CD2x，四边形ABCD为菱形，ABADCD2x，OBOD，ACBD
23、.DAEDEA，DEDA2x，BD3x，OBOD x.OEBEBO，1x x，解得x2，即AB4，OB3，在RtAOB中，OA ，在RtAOE中，AE 2 .3232224372221(7)6(2020江西省名校联盟二模)在菱形ABCD中，ABC30，ACBD，点E在对角线BD上，AED45，P是菱形上一点若AEP是以AE为直角边的直角三角形，则tan APE的值为_ 33312或或 或或【解析】如答图，在菱形ABCD中，ABC30，ACBD，BAC75.连接CE并延长，交AB于点P1，当AED45时，有BAE30，AEC与AEP1为直角三角形在AEP1中，tan AP1Etan 60 ；在A
24、EC(即AEP2，此时点P2与点C重合)中，tan AP2Etan 451；在AEP3中，EAP390，此时CP1AP3.设OAa，那么ECAE a，EP1 ，AP3CP1 a，tan AP3E .综上所述，tan APE的值为 或1或 .33263a63a233233233 32623aaa第6题答图7(2020遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A，C不重合)，连接DE，作EFDE交射线BA于点F，过点E作MNBC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.(1)求证：EFDE；(2)当AF2时，求GE的长(1)证明证明：四边形四边形AB
25、CD是正方形，是正方形，AC是对角线，是对角线，ECM45.MNBC，BCMB90，NMC90，MNB90，MECMCE45，DMEENF90，MCME.CDMN，DMEN.DEEF，EDMDEM90，DEF90，DEMFEN90，EDMFEN.DMEENF(ASA)，EFDE.在在DME和和ENF中，中，EDMFENDMENDMEENF ,(2)如答图如答图1，当点，当点F在在AB上时上时，由，由(1)知，知，DMEENF，MENF.四边形四边形MNBC是矩形，是矩形，MCBN.MEMC，AB4，AF2，BNMCNF1.EMC90，CE .AFCD，DGCFGA，2.ABBC4，B90，AC4 .ACAGGC，AG ，CG ，GEGCCE .2CDAFCGAG24 238 238 235 23图12如答图如答图2，当点，当点F在在BA的延长线上时，的延长线上时，同理同理可得，可得，FNBN，AF2，AB4，AN1.ABBC4，B90，AC4 ，AFCD，GAFGCD，即，即 ，解得解得AG4 ，ANNE1，ENA90，AE ，GEGAAE5 .综上所综上所述，述，GE的长为的长为 或或5 .22222AFCDGAGC24AGAG 4 25 23
