1、引例引例1.1.已知，如图在等腰已知，如图在等腰ABC中，中，AB=AC，O是底边是底边BC上上的一点，的一点，ODAB于于D,OEAC于于E.AB=AC=6，OD=2，OE=3，（1 1）求）求ABC的面积；的面积；ADCBEO（一）（一）（3 3）在（）在（2）的前提下）的前提下BM与与OD，OE有有什么数量关系什么数量关系.M（2）在（）在（1）的前提下）的前提下，若若BM是一腰上的高是一腰上的高，求求 BM的长的长 BM=OE+ODS ABC =S ABO+S ACOS ABC=15BM=5变式变式1 1已知，如图（已知，如图（2 2）在等腰）在等腰ABC中，中，AB=AC，O是是BC
2、边边上的任一点（上的任一点（O不与不与B，C重合），重合），ODAB于于D,OEAC于于E，BMAC于于M,上述关系上述关系BM=OE+OD 能能成立吗？成立吗？ADCBEOM图图(2)(2)S ABC =S ABO+S ACO1212121ACBM=ACOEAB OD+BM=OD +OE结论：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高。结论：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高。AEMBDOCS ABC =S ABO+S ACO212121ACBM=ACOEAB OD+BM=OD +OEBFCADEOP变式变式2矩形矩形ABCD中，中，AB=3,BC=4,对角线
3、对角线AC与与BD交交于点于点O。点。点P在在BC边上，边上，PEBD,PFAC,则则 PE+PF=K变式变式3菱形菱形ABCD中，中，AB=3,ABC=60度，点度，点P在对在对角线角线DB上，上，PEAD,PFAB,则则 PE+PF=BCDEFPAk变式变式4正方形正方形ABCD中，中，Ac=4,对角线对角线AC与与BD交交于点于点O。点。点P在在AB边上，边上，PEBD,PFAC,则则 PE+PF=BACDPEFO变式变式5在等腰在等腰ABC中，中，AB=AC，O是底边是底边CB延长线延长线上上的任一点，的任一点，ODAB于于D,OEAC于于E，BMAC于于M,关系式关系式OE+OD=B
4、M能成立吗？能成立吗？ADCBEO M 变式变式5在等腰在等腰ABC中，中，AB=AC，O是线段是线段CB延长线延长线上上的任一点，的任一点，ODAB于于D,OEAC于于E，BMAC于于M,OE,OD,BM关系如何？关系如何？ADCBEO M BM=OE -ODS ABC S ACO S ABO=-ACBM=2121 21ACOE-AB ODADBFPECM如图如图1，在等边，在等边ABC中，中，P是内部任意一点，是内部任意一点，PDAB于于D,PEAC于于E，PFBC于于E，AM BC于于M,PD、PE、PF与与AM有怎样的关系？有怎样的关系？M图图1图图2如图如图2，当点，当点P在三角形的
5、外部时，其余条件不变，在三角形的外部时，其余条件不变，PE、PD、PF与与AM有怎样的关系？有怎样的关系？Company Logo天空的幸福是穿一身蓝天空的幸福是穿一身蓝森林的幸福是披一身绿森林的幸福是披一身绿阳光的幸福是如钻石般耀眼阳光的幸福是如钻石般耀眼老师的幸福是因为知识在延续老师的幸福是因为知识在延续愿我们努力进取，永不言败愿我们努力进取，永不言败 如图如图1，平行四边形，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，根据，根据“平行四边形平行四边形的对角线互相平分的对角线互相平分”可知：可知：OA=OC。ACBOD图1ACBED图2F（1）若）若AE、CF分别是分别
6、是ABD与与CDB的的角平分线角平分线（如图（如图2），求证，求证AE=CF。ACBED图3F（2）若）若AE、CF分别是分别是ABD与与CDB的的高线高线（如图（如图3），AE与与CF还相等吗？还相等吗？请写出你的结论。请写出你的结论。ACBED图4FACBFD图5EACBED图6F（3）点）点E、F是直线是直线BD上的两个点，若上的两个点，若 AECF（如图（如图4、图、图5、图、图6），AE与与CF还相等吗？还相等吗？BE=DF即即ABD与与CDB中中BD边上的边上的中线中线相等。相等。某中学课外活动小组准备用长为某中学课外活动小组准备用长为30米的篱笆围建一个面积米的篱笆围建一个面积为
7、为72平方米的矩形生物苗圃园。其中一边靠墙（充分利用）墙平方米的矩形生物苗圃园。其中一边靠墙（充分利用）墙长为长为18米。米。（1）若建成如图）若建成如图1所示的苗圃园，它的长和宽各应是多少米？所示的苗圃园，它的长和宽各应是多少米？(2）若建成由两个矩形组成的苗圃园（）若建成由两个矩形组成的苗圃园（如图如图2），它的长和宽），它的长和宽各应是多少米？各应是多少米？（3）若建成由两个矩形组成的苗圃园，并在和墙平行的边上各）若建成由两个矩形组成的苗圃园，并在和墙平行的边上各开一个开一个1.5米的门（米的门（如图如图3），它的长和宽各应是多少米），它的长和宽各应是多少米苗圃园图118米 甲 乙图21
8、8米图318米门门甲乙 对一道题进行适当的演变、延伸、拓展，不仅提高了学生的应变能力、探究能力还能激发学生思维的广阔性，发散性。这就要求教师要深入细致的研究新课标，研究教材，深入研究习题潜在的功能。一滴水可以折射太阳光辉，一道题也常常散发出智慧的光芒，只要我们在教和学的过程中做题一道、变式一类、猜想一串、探讨一番，定能打开学生智慧的大门，为他们创造更美好的明天。变式题作为数学学习中的一种常见的问题形式，为学生提供了一个求异思变的空间，培养学生敢于思考、敢于联想、敢于质疑的品质，培养学生自主探究能力和创新精神，深受广大教师的青睐。同时，变式题也是各地市中考常见的题型，更让我们加大了对变式题的研究
9、力度。因此，教学中，从最简单、最基本的问题开始，对例题习题进行变通推广，对学生进行变式训练，是每名数学教师必备的素质。教学中的变式题不是解决一个问题，而是解决一类问题，教学生一道题，会一类题；做一道题，会一串题。已知，正方形已知，正方形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，将另一个正方形的一个，将另一个正方形的一个定点与点定点与点O重合，使重合，使OE、OG分别交分别交AB、BC（或它们的延长线）于点（或它们的延长线）于点M、N。当当OEAB时（如图时（如图1），易证），易证:BM+BN=BC。ACBGDOEF图1NMACBGDOEF图2NM（1）当旋转到）当旋转到OE与与AB不垂直时不
10、垂直时（如图（如图2），线段，线段BM、BN和和BC之间有怎样的之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明数量关系？写出猜想，并加以证明ACBGDOEF图3NM（2）当正方形）当正方形OEFG绕点绕点O旋转到旋转到如图如图3的位置时，线段的位置时，线段BM、BN和和BC之间又之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 2006年黑龙江省中考试题年黑龙江省中考试题26题题 已知已知AOB=90，在，在AOB的平分线的平分线OM上有一点上有一点C，将一个三角板的直角顶，将一个三角板的直角顶点与点与C重合，它的两条直角边分别与重合，它的两条直角边分别与OA、OB(
11、或它们的反向延长线或它们的反向延长线)相交于点相交于点D、E 当三角板绕点当三角板绕点C旋转到旋转到CD与与OA垂直垂直时时(如图如图1)，易证：易证：OD+OE=OC 当三角板绕点当三角板绕点C旋转到旋转到CD与与OA不垂直时不垂直时，在，在图图2、图、图3这两种情况下，上述结这两种情况下，上述结论是否还成立论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样之间又有怎样的数量关系的数量关系?请写出你的猜想，不需证明请写出你的猜想，不需证明2 图1 图2 图3 图1 图2 图Company Logo天空的幸福是穿一身蓝天空的幸福是穿一
12、身蓝森林的幸福是披一身绿森林的幸福是披一身绿阳光的幸福是如钻石般耀眼阳光的幸福是如钻石般耀眼老师的幸福是因为知识的延续老师的幸福是因为知识的延续愿我们努力进取，永不言败愿我们努力进取，永不言败 ABCDEFGH（四）（四）变式变式1ABCDEFHGOW变式变式2DAHBEFCG变式变式3ABCDEFGHOABCDEFGHDAHBEFCGABCDEFHGOABCDEFGHO A B C B1 C1 D D1 A1 D2 C2 B3 A3 C3 B2 D3 A2（图 13）（二）学生问老师（二）学生问老师:“您今年多大了？您今年多大了？”老师说：老师说：“我象你这我象你这么大时，你才出生；而当你到
13、了我这么大时，我已经么大时，你才出生；而当你到了我这么大时，我已经36岁岁了。了。”则学生和老师的年龄分别多大？则学生和老师的年龄分别多大？老师学生yxx036y0036yxxxy解：设学生和老师现在的年龄分别为解：设学生和老师现在的年龄分别为x岁，岁，y岁岁年龄差年龄差y-xx-036-y（一）方案设计星期天，小明和七名同学共星期天，小明和七名同学共8人去人去郊游。途中他用郊游。途中他用20元钱去买饮料，元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶元一杯，奶茶3元一杯元一杯星期天，小明和七名同学共星期天，小明和七名同学共8人去郊游。途中他用人去郊游。途
14、中他用20元钱去买饮料，元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶元一杯，奶茶3元一杯元一杯（1）如果用）如果用20元钱全部购买饮料，（不考虑其它因素）有哪几种元钱全部购买饮料，（不考虑其它因素）有哪几种购买方案？购买方案？23203102100 xyxyxy方程的正整数解为72xy解解:设买设买x杯可乐杯可乐,y杯奶茶杯奶茶44xy16xy共有共有4种方案种方案(方案略方案略)2x+3y=20解：设购买解：设购买a 杯可乐杯可乐,则应购则应购(8-a)杯奶茶杯奶茶23(8)2082aaao星期天，小明和七名同学共星期天，小明和七名同学共8人去郊游。途
15、中他用人去郊游。途中他用20元钱去买饮元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶元一杯，奶茶3元一杯元一杯o（2）如果每人只购买一杯饮料，且至少两个人喝奶茶，有哪几种）如果每人只购买一杯饮料，且至少两个人喝奶茶，有哪几种购买方案？购买方案？4a 6a的整数值为的整数值为4,5,6有有3种方案种方案(方案略方案略)解：设购买解：设购买x杯可乐杯可乐,则应购则应购(8-x)杯奶茶杯奶茶,商店所获利润为商店所获利润为W元元o星期天，小明和七名同学共星期天，小明和七名同学共8人去郊游。途中他用人去郊游。途中他用20元钱去买饮元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶元一杯，奶茶3元一杯元一杯o（3）如果商店售出一杯可乐可获利）如果商店售出一杯可乐可获利0.8元，售出一杯奶茶可获利元，售出一杯奶茶可获利0.5元，如何购买才能保证每人一瓶饮料且使商店获利最少？元，如何购买才能保证每人一瓶饮料且使商店获利最少？0.80.5(8)Wxx0.34x 2x+3(8-x)20 x4又又0.30 W随随x的增大而增大的增大而增大 当当x=4时时,W最小最小(方案略方案略)
