1、专项练习圆第1讲圆的有关概念与性质教学目标 教学目标：1.掌握圆的基本概念 2.掌握圆的有关定理以及推论 重点考点：圆的有关定理及其推论知识点框架一、和圆有关的基本概念圆的定义：圆的定义：（旧）（1）在同一平面内，一条线段OP绕它的固定端点O旋转一周，另一个端点P所形成的的图形叫做圆。定点O就是圆的圆心，线段OP就是圆的半径，点o为圆心的圆记为O，读为圆O.平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点就是圆心，定长就是半径。确定圆的两要素：确定圆的两要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部圆的内部（简称圆内）；不含圆心的部
2、分叫做圆的外部圆的外部（简称圆外）弧：弧：圆上任意两点之间的 叫做圆弧，简称弧弦：弦：联结圆上任意两点的 叫做弦知识点框架直径：直径：过圆心的弦就是直径 半圆：半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆等圆：等圆：能够互相重合的两个圆叫等圆.等弧：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 .（不同于长度相等的弧）大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 圆心角：圆心角：以 为顶点的角叫做圆心角弦心距：弦心距：圆心到 的距离叫做弦心距知识点框架二圆的对称性二圆的对称性1.圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆又是中心对称图 形，又是旋转对称图形，即旋
3、转任意角度都和自身重合.圆心是对称中心.2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 四等定理：在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条弧（劣或优弧）、两条弦、两条弦的 弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等总结：总结：知一推三（买一送三）：在同圆或等圆中已知中的一组相等，可推出 其余三组.3.点和圆的位置关系（点在圆上、点在圆内、点在圆外）两条弦心距两条弦两条弧两个圆心角知识点框架三、垂径定理三、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂
4、直于弦，并且平分弦所对的弧.总结：知二推三平分劣弧平分优弧平分弦垂直于弦过圆心练习一、和圆有关的基本概念一、和圆有关的基本概念例1.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径（）(2)半圆是弧（）(3)过圆心的线段是直径（）(4)过圆心的直线是直径（）(5)半圆是最长的弧（）(6)直径是最长的弦（）(7)长度相等的弧是等弧（）例2.下列说法中，正确的是（）A.如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧和弦也相等 B.如果两条弧的长度相等，那么这两条弧是等弧 C.如果两条弧所对的圆心角相等，那么这两条弧是等弧 D.在同圆或等圆中，弦相等所对的弧也相等练习变式训练1：在两个圆中，如果有两条弦相
5、等，那么这两条弦的弦心距的关系是（）（A）一定相等 （B）一定不相等 （C）不一定相等 （D）一定互相平行变式训练2：.在O，如果 2 ，那么弦AB与弦CD之间的长度关系是（）A.弦AB等于弦CD的2倍 B.弦AB大于弦CD的2倍 C.弦AB小于弦CD的2倍 D.弦AB和弦CD的关系不定例3.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A菱形B等腰梯形C矩形D正方形ABCD练习例4.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？变式训练1：已知O的半径为5 cm，弦AB=6 cm，CD=8 cm，且ABCD，则AB、CD之间的距离为 .练
6、习二、圆中关系（一）点与圆的位置关系练习例1.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？（2）若以A点为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求A的半径r的取值范围？（直接写出答案）变式训练1：如图，在ABC中，ACB=90，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心、cm长为半径画圆，则A，B，M三点，在圆内的是点_，在圆外的是点_，在圆上的是点_5练习变式训练2：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.例
7、2.已知：点P直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则半径r的取值范围是（）A.r1 B.r2C.2r3D.1r5例3.一点P和O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，则这个圆的半径是 .变式训练1：已知点O内一点P到圆上所有点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，那么O的半径长等于 .练习三、圆的对称性-圆心角、弧、弦的关系例1.如图1，AB是O的直径，COD=34，则AEO的度数是（）A.51 B.56 C.68 D.78 图1 图2变式训练1：如图2，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，则BCD等于（）A
8、.105 B.120 C.135 D.150练习变式训练2：如图，在 O中，D、E分别是半径 OA、OB的中点，C是 AB上一点，CD=CE.（1）求证：AC=BC；（2）若 AOB=120,CD=，求半径 OA的长四、垂径定理例1.如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于点P，CD10厘米，APPB15，那么O的半径是（）A.6厘米B.3 厘米C.8厘米D.5 厘米353练习变式训练1：如图，O的弦AB8厘米，弦CD平分AB于点E若CE2厘米ED长为（）A.8厘米B.6厘米C.4厘米D.2厘米例2.已知如图所示，O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .变式训练1：如图，在扇形MON中，半径
9、MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.例3.过O内一点M最长的弦为10，最短的弦长为8，则OM .作业布置1.下列说法正确的是()A.半圆是弧，弧也是半圆 B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径C.弦是直径 D.直径是圆中最长的弦2.已知O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与O的位置关系是()A.点P在O内 B.点P的O上 C.点P在O外 D.点P在O上或O外3.已知O的半径为3 cm，O所在的平面内有一点P，当PO=_时，点P在O上；当PO_时，点P在O内；当PO_时，点P在O外.4.点P
10、到O上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则O的半径为_cm.作业布置5.下列命题，其中正确的有()两个端点能够重合的弧是等弧；面积相等的两个圆是等圆；弦是圆上任意两点之间的部分；同圆或等圆中，劣弧比优弧短.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，若O的半径为5，AB8，则CD的长是()A.2 B.3 C.4 D.57.如图，O的直径CD10 cm，AB是O的弦，且ABCD，垂足为P，AB8 cm，则sinOAP的值是()A.B.C.D.34453543作业布置8.如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，已知CD6，EB1，则O的半径为_.
11、9.如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()A.2 r B.r3C.r5 D.5r3171717292作业布置10.如图，扇形OAB的圆心角为90，点C，D是 的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是()A.AEEFFB B.ACCDDBC.ECFD D.DFB7511.如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为()A.2 cm B.cm C.2 cm D.2 cm12.如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足
12、为M.若AB12，OMMD58，则O的周长为()A.26 B.13 C.D.AB33596539 105第2讲知识点框架五、圆周角定理及其推论1.一条弧所对应的圆周角度数等于它所对的圆心角度数的 。推论1：同弧或等弧所对的 相等.推论2：直径所对的圆周角是 。90的圆周角所对应的弦是 。推论3：圆内接四边形的对角 .六、确定圆的条件1.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆2.三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形3.如果一个圆经过一
13、个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形练习例1.如图1，AB是O的直径，C30，则ABD（）A.30B.40C.50D.60变式训练1：如图，AB是O的直径，ACD15，则BAD的度数为（）A.75B.72C.70D.65变式训练2：如图，点A，B，C都 在O上，若ABO=65，则BCA=（）A.25 B.32.5 C.30 D.45 变式训练3：如图，ABC内接于O，AO=2，BC=2 ，则BAC的度数为 .3练习例2.如图1，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是平行四边形，则ADC的大小为 变式训练1：如图2,经过原点O的P与x,y轴分别
14、交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则ACB=变式训练2：如图3,O是ABC的外接圆,连接OA、OB,OBA=50,则C的度数为 变式训练3：如图4，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2 ，BCD=30，则O的半径为_。2练习变式训练4：如图，AD、AC分别是直径和弦，CAD=30，B是AC上一点，BOAD，垂足为O，BO=5 cm，则CD等于 cm。例3.如图,O的半径是2,直线l与O相交于A、B两点,M、N是O上的两个动点,且在直线l的异侧,若AMB=45,则四边形MANB面积的最大值是 .练习题型一：确定圆的条件例1.下列关于确定一个圆的说法中，正确的是（）A
15、.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个点能确定一个圆题型二：三角形外接圆、外心例2.下列说法中，真命题的个数是（）任何三角形有且只有一个外接圆；任何圆有且仅有一个内接三角形；三角形外心不一定在三角形内；三角形外心到三角形三边的距离相等；经过三点确定一个圆。（）A.1 B.2 C.3 D.4练习变式训练1：三角形的外心具有的性质是（）A到三边距离相等 B到三个顶点距离相等 C外心在三角形外 D外心在三角形内变式训练2：已知a、b、c是ABC三边长，外接圆的圆心在ABC一条边上的是（）Aa=15，b=12，c=1Ba=5，b=12
16、，c=12 Ca=5，b=12，c=13 Da=5，b=12，c=14例3.一个圆的内部接一个边长为12cm的等边三角形，则这个圆的半径为 。变式训练：等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍 A B CD变式训练：在ABC中，BC=24，外心O到BC的距离为6，则ABC的外接圆的直径为 。3233312练习例4.如图，ABC是O的内接三角形，C=30，O的半径为5，若点P是O上一点，在ABC中，PB=AB，则PA的长为 。变式训练：如图，O是ABC的外接圆，直径AD=4，ABC=DAC，则AC的长为 。作业布置1.如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E。（1）
17、求证：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=4，求ABC的外接圆的半径。2.如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点，（不与B、C重合），PE是ABP的外接圆O的直径。（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值。第3讲教学目标 教学目标：1.掌握直线与圆的位置关系 2.掌握切线的性质与判定 3.掌握切线长定理及推论 重点考点：切线的性质与判定知识点框架七、直线与圆位置关系：1当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线唯一的公共点叫做切点当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆
18、相交这时直线叫做圆的割线2根据直线与圆公共点个数的情况，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.如果的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，直线l与相交 dR；直线l与相切 d=R；直线l与相离 dR.知识点框架3切线的判定和性质（1）切线定义：直线和圆只有一个公共点时，这时，我们说这条直线和圆相切。（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的直径.（3）切线的判定：方法1：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.方法2：经过半径（或直径）外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 证明方法：数量法条件题中没有给点在圆上的作垂直证半径位置法已知点在圆上连半径证垂直-练习题型一：直线和圆的位
19、置关系例1.已知O的半径为8cm，若一条直线到圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A相离 B相切 C相交 D相交或相离变式训练1：O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP=5 cm，则直线l与O的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D相切或相交变式训练2：知O的面积为9，若点O到直线l的距离为，则直线l与O的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D无法确定练习题型二：切线的性质例1.如图1，已知AOB=30，M为OA边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作M若点M在OA边上运动，则当OM=_cm时，M与OB相切变式训练1：如图2，在平面直角坐标系中，P 圆心坐标是（3
20、，a），被半径为3，函数y=x的图象P截得的弦AB的长为4 ，则a的值是 。变式训练2：如图3，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P，圆心点P（-3，0）为圆心，将P沿x轴的正半轴方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为 。2练习例2.如图4，AC经过O的圆心，AB与O相切与点B，若A=50，则C的度数为 。变式训练1：如图5，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是 。例3.如图6，O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切,若正方形ABCD的边长为2，则O的半径为 。练习例4.(1)如图(1),OA、O
21、B是O的两条半径,且OAOB,点C是OB延长线上任意一点,过点C作CD切O于点D,连接AD交OC于点E.求证:CD=CE；(2)若将图(2)中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交O于B,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)若将图(3)中的半径OB所在直线向上平行移动到O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?练习变式训练1：如图，在ABC中，BAC30，以AB为直径的O经过点C.过点C作O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且BC=CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC（1）判断OB和BP的
22、数量关系,并说明理由；（2）若O的半径为2，求AE的长变式训练2：如图，已知AB是O的直径，CD与O相切与C，BE平行OC。（1）求证：BC是ABE的平分线；（2）若DC=8，O的半径OA=6，求CE的长。练习题型三：切线的判定例1.下列直线中一定圆的切线的是（）A.与圆有公共点的直线 B.到圆心的距离等于半径的直线 C.垂直于圆的半径的直线 D.过圆的直径端点的直线变式训练1：如图能，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，若要使DE是O的切线，无边无际补充一个条件，则需补充的条件不正确的是（）A.DE=DO B.AB=AC C.CD=DB D.ACOD练习例2.如图,AB是O的直径
23、,C是O上一点,BAC=30,在AB的延长线上取一点P,连接PC.当时 ,求证:PC是O的切线.变式训练1：如图，以ABC的边AB为直径的O经过BC的中点D，过D作DEAC于E（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是O的切线变式训练2：如图，AB是O直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为0的切线；(2)若O半径为2，CT=，求AD的长.ABPB213作业布置1.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于P.弦CE平分ACB,交直径AB于点F,连结BE.(1)求证:
24、AC平分DAB;(2)探究线段PC,PF之间的大小关系,并加以证明;(3)若tanPCB=,BE=5 ,求PF的长.342作业布置2.如图所示，AB是圆O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线一点E作圆O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K。（1）求证：KE=GE。（2）若KG2=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由。（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2 ，求FG的长。355第4讲与圆有关的计算教学目标 教学目标：1.熟练掌握弧长的计算公式；2.熟练掌握扇形面积公式;3.灵活运用正多边形的性质进行相关计算 重点考点：弧长、扇形面积的计算；正多边形与圆有关的
25、计算知识点框架一、圆的周长与弧长公式（1）圆的周长：若圆的半径是r，则圆的周长C=2r（2）弧长公式：若一条弧所对的圆心角是n，半径是r，则弧长 补充：在应用公式时，n和180不再写单二、扇形的面积公式；弓形面积（1）（n是圆心角度数，r是半径）（2）（l是弧长，r是半径）180n rl2360n rS扇形12Srl扇形知识点框架（3）弓形面积：SSS扇形弓形SSS扇形弓形221rS弓形知识点框架三、圆内接正多边形1、正多边形和圆的有关概念（1）中心：正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心（2）半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径（3）中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正
26、多边形的中心角（4）边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距练习题型一：弧长、扇形面积1.如图1，在扇形AOB中，AC为弦,AOB=130，CAO=60，OA=6，的长为_。2.如图2，在ABC中，AB=2,BC=4,ABC=30，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D,则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.3.如图3,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.BC3262346433432343322332练习4.如图,在ABC中,AB=AC,ABC=45,以AB为直径的O交BC于点D,若 BC=4 ,则图中阴影
27、部分的面积为()A.+1 B.+2 C.2+2 D.4+15.如图所示,AB为半圆O的直径,C,D是弧AB上的三等分点,若O的半径为1,E为线段AB上任意一点,则图中阴影部分的面积为 .6.120 的圆心角所对的弧长是6，则此弧所在的圆的半径是_.7.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两段弧，则劣弧所对的圆周角等于_.8.如图,ABC内接于O,A=60,BC=6 ,则 的长为_.23BC练习9.如图，三角板ABC中,ACB=90,B=30,AC=2 ,三角板绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A落在AB边的起始位置上时即停止转动,则B点转过的路径长为()A.B.C.2 D.310.如图，
28、扇形AOB的圆心角为直角，若OA=4cm，以AB为直径作半圆M，则阴影部分的面积为 .11.如图，AB是O的切线，B为切点，AC经过点O,与O分别相较于点D,C.若ACB=30,AB=,则阴影部分的面积为_.12.如图，AB为O的切线，切点为B，连接AO，AO与O交于点C，BD为O的直径，连接CD。若A=30，O的半径为2，则图中阴影部分的面积为_.3332433练习题型二、正多边形与圆有关的计算1.如图,O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是()A.R2-r2=a2 B.a=2Rsin36 C.a=2Rtan36 D.r=Rcos3
29、62.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆半径为_.3.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为_.4.已知，正六边形外接圆的周长为12，则这个正六边形的面积为_.5.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_.作业布置1.如图，四边形ABCD是菱形，A=60，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.2.如图，AB是O的直径，弦CDAB，CBD=30，CD=2 ，则阴影部分的面积为()A.4 B.8 C.8 D.1623323322333作业布置3.如图，点A、B、C在O上，若BAC=45，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A.-4 B.-1 C.-2 D.-2 4.如图，在ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是A上的一点，且EPF=45，则图中阴影部分的面积为（）A.4-B.4-2 C.8+D.8-22323下节课见！
