1、高三：直线与圆专题讲义目录8.1 直线与圆的方程28.1 直线与圆的方程【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30B60C30或150 D60或1203.将直线绕点按逆时针方向旋转，所得的直线方程为_【知识点一：直线的倾斜角与斜率】一、直线的倾斜角1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间
2、所成的角叫做直线的倾斜角一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是.3倾斜角与直线形状的关系倾斜角直线【理解】(1)倾斜角定义中含有三个条件：轴正向；直线向上的方向；小于的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.二、直线的斜率1斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值值叫做这条直线的斜率常用小写字母表示，即.2斜
3、率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率3斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度。【理解】1倾斜角与斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看
4、所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论【典型例题】例1.下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 例2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30B60C30或150 D60或120例3.将直线绕点按逆时针方向旋转，所得的直线方程为_例4.已知直线的倾斜角为，斜率为，
5、那么“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件练1.设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时为45，当135180时为135练2.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_；(2)过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(3)已知过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为1，则m的值为_练3.直线经过两点，那么直线倾斜角的取值范围是A. B. C. D. 【知识点二：直线的方程】一、直
6、线的点斜式方程1.定义：直线过定点，斜率为，则把方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式2.说明：如图所示，过定点，倾斜角是的直线没有点斜式，其方程为,或.关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点和斜率；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程与方程不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线(3)当取任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线二、直线的斜截式方程1.定义：如图所示，直线的斜率为，且与轴的交点为，则方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式2.说明：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程【理解
7、】斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当k0时，即为一次函数；当时，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程截距不是距离，可正、可负也可为零三、直线的两点式方程经过两点，且的直线方程，叫做直线的两点式方程。四、直线的截距式方程直线与轴交点；与轴交点，其中，则得直线方程，叫做直线的截距式方程。五、直线的一般式方程1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于，的二元一次方程表示(2)每个关于，的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于，的二元一次方程(其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式【理解】1求直
8、线的一般式方程的策略(1)当时，方程可化为，只需求，的值；若，则方程化为，只需确定，的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式2直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤移项得；当时，得斜截式：.(2)一般式化为截距式的步骤把常数项移到方程右边，得；当时，方程两边同除以，得；化为截距式：.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式六. 两条直线的平行与垂直1.平行的条件（1）当两条不重合的直线
9、的斜率均不存在时，；（2）直线有斜截式方程时，则.（3）若直线：，则.2.垂直的条件：（1） 若直线的斜率为0，直线的斜率不存在，则；（2）若两条直线分别有斜率，则. （3）直线：，则.七、两条直线的交点直线，直线直线与直线相交，则方程组有唯一解，此时交点为八、两点间的距离两点间的距离公式为.九、点到直线的距离点到直线的距离为.十、 两条平行直线的距离 两条平行直线的距离转化为点到直线的距离求解；两平行直线与 的距离可用公式求解.【典型例题】考点一： 直线的点斜式方程例1. (1)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，则直线
10、l的点斜式方程为_(3)求过点P(1,2)且与直线y2x1平行的直线方程为_练1. 求证：不论为何值时，直线总过第二象限考点二： 直线的斜截式方程例2.(1)倾斜角为150，在y轴上的截距是3的直线的斜截式方程为_(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程练2. 根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在轴上的截距是5；(2)倾斜角为，在轴上的截距是2；(3)倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3.考点三： 直线的两点式方程例3.(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2,7)，则直线l的方程为_(2)若点P(3
11、，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.练3. 已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.考点四： 直线的截距式方程例4.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程练4. 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程考点五： 直线的一般式方程例5. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是，经过点；(2)经过点，平行于轴；(3)在轴和轴上的截距分别是；(4)经过两点 练5. (1)求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2xy100垂直的直线l的方程考点六
12、：两条直线位置关系的判定例1.“”是直线平行于直线的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例2.已知直线与直线平行，则实数的取值为A. B.C. D. 例3.已知直线，.若，则实数的值是A. 0B.2或-1C. 0或-3D. -3例4.已知直线，则“”是“” A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例5 .直线过点且倾斜角为,直线过点且与直线垂直,则直线与直线的交点坐标为_.例6 .已知三条直线：，：，：，试判断这三条直线能否构成一个三角形？若不能，求出对应的实数的值，并指出原因练1 .已知直线，.若，则实数的值是A
13、. 或B.或C. D. 练2 .若，是两条平行直线，则的值是A. 或B.C. D. 的值不存在练3 .“” 是“直线与直线相互垂直”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件练4 .设三条直线和围成直角三角形，则的值是_。考点七：与直线有关的距离、对称问题例1.已知直线：和两个定点，在直线上取一点M，使最小，求点M的坐标_例2 .直线关于点对称的直线方程方程是A. B.C. D. 例3 .点在直线上，且点到直线的距离为，则点的坐标为A. B.C. 或D. 或例4.已知直线经过点，则原点到点的距离可以是ABCD练1 .已知点，则点到直线的距离为_练2 .点关于直线
14、对称的点的坐标为_练3 .到直线距离为的点的轨迹方程为_【知识点三：圆的方程】一、圆的标准方程圆的标准方程：在平面直角坐标系中，圆心，半径长为的圆的标准方程是.当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为r的圆圆的几何要素：圆心和半径；二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系如下位置关系判断方法几何法代数法点在圆上点M在圆A上点在圆上点在圆内点M在圆A内点在圆内点在圆外点M在圆A外点在圆外考点一： 圆的标准方程例1. 若一圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径分别为A.B.C.D.例2. 根据下列条件求圆的标准方程：（1）圆心为，且经过点；（2）圆心在直线上，且过点，；（3）圆心为，且与直线相切；练1. 在
15、平面直角坐标系内有三个定点.记ABC的外接圆为E.求圆E的标准方程.考点二：点与圆的位置关系例1. 若圆的半径为5，点的坐标为，点的坐标为，则点的位置为A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不确定例2.若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是A. B.C.D.练1. 已知点在圆的内部，求实数的取值范围练2. 使圆上点与点的距离最大的点的坐标是( )A. B.C.D.【知识点四：圆的一般方程】当时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程表示的圆的圆心为，半径长为.温馨提示：(1) x2，y2项的系数均为1；(2) 没有xy项；(3) D2E24F0.考点一：圆的一般方程例1. 圆的圆心为
16、A.B.C.D. 例2. 方程表示一个圆，则实数的取值范围是_. 练1. 圆的圆心坐标和半径分别是A.B.C.D. 练2 .方程表示的图形是A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在 练3.已知圆，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是A.(0，1)B.(1，1)C.(1,0)D.(1,1) 考点二：圆相关的对称问题例1.已知点P是圆C：上任意一点，P点关于直线的对称点在圆C上，则实数等于A.10B.10C.20D.20 例2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A BCD 练1.若直线始终平分圆的周长，则mn的取值范围是A.(0,1)B.(0,1C.(，1)D.(，1练2. 设圆的方程为,直线的
17、方程为，求关于对称的圆的方程.考点三：圆相关的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如知形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如形式的最值问题，转化为动点到定点的距离的平方的最值问题例1. 已知实数满足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最小值；（3）求的最大值和最小值.练1. 已知实数满足，则的最大值是_.练2. 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值练3.已知，则的最大值为A.9B.14C.146D.146【小试牛刀】1下列命题如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；如果两直线平行，则它们的斜率相等；如果两直线的斜率之积
18、为1，则它们垂直；如果两直线垂直，则它们的斜率之积为1.其中正确的为( )ABC D以上全错2.（圆的圆心到直线的距离为A1B2CD23. 已知圆的方程是，则点P(3,2)满足A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外4. 已知，则以AB为直径的圆的方程是A.B. C. D. 5. 圆关于原点(0,0)对称的圆的方程是A. B.C. D. 6.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A.B.C.D.7. 已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.8. (1)求经过点(1,1)，且与直线y2x7平行的直线的方程；(2)求经过点(2，2)，且与直线y3x5垂直的直线的方程9.求过点且
19、在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程【巩固练习基础篇】1. 直线1在两坐标轴上的截距之和为()A1B1C7 D7 2. 三角形的顶点坐标为A(0，5)，B(3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程3. 在轴上求一点,使以点,和为顶点的三角形的面积为10.4. 直线l过点(1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为_5. 斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为_6. 在轴上求一点,使以点,和为顶点的三角形的面积为10.7.“”是“直线与平行”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8若直线是圆的一条对称轴，则的值为ABCD9. 圆x2y22x
20、2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是()A1 B2C1 D2210. 将圆：平分的直线方程可以是（ ）A.B.C.D. 11. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）A.B. C.D. 12.已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当l1l2时，求m的值13.求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程14.过两点的直线的倾斜角为，求的值.15. 直线(1a2)xy10的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 16.下列说法正确的有()若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若l1l2，则k1k2；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线
21、的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行A1个B2个C3个 D4个17.已知两点，经过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是_18. 直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A.0，) B.0，)C.0， D.0，(，)19.已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值20.已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为_【巩固练习提高篇】1. ，直线与线段有一个公共点，那么A. 最小值为B. 最小值为C最大值为D. 最大值为2.（设,若直线与轴相交于点,与
22、轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A. B. 2C. 3D. 43.在平面直角坐标系中，从点P（3,2）向直线kxy2k0作垂线，垂足为M，则点Q（2,4）与点M的距离|MQ|的最小值是A B. C. D. 17yHxGEFOBCA4.在平面直角坐标系中，已知点，分别以ABC的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为_5. ，直线与线段有一个公共点，那么 （A）最小值为（B）最小值为（C）最大值为（D）最大值为6. 点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，求的取值范围7. 已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值8. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为_.9.已知,若点在线段上,则的最大值为A1B3C7D810.在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，三点若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）39阳光总在风雨后！
