1、微专题微专题7辅助圆模型辅助圆模型第8章1.构造等腰三角形构造等腰三角形已知已知AB是是O的一条弦的一条弦,连接连接OA,OB,则则A=B.考向突破考向突破【模型分析】【模型分析】在与圆相关的题目中在与圆相关的题目中,不要忽略隐含的已知不要忽略隐含的已知条件条件.我们通常连接半径构造等腰三角形我们通常连接半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理性质及圆中的相关定理,解决角度的计算问题解决角度的计算问题.真题特训真题特训例例1如图如图,CD是是O的直径的直径,EOD=84,AE交交O于点于点B,且且AB=OC,求求A.【解析】【解析】如图如图,连接连接OB.AB=
2、OC,OC=OB,AB=BO.BOC=A.EBO=BOC+A=2A.而而OB=OE,E=EBO=2A.根据三角形外角的性质根据三角形外角的性质,得得A+E=EOD.EOD=84,A=28.练习练习1如图如图,AB经过经过O的圆心的圆心,点点B在在O上上,若若AD=OB,且且B=54,试求试求A的度数的度数.【解析】【解析】如图如图,连接连接OC,OD.B=54,OC=OB,AOC=2B=108.又又AD=OB=OD,A=AOD.OC=OD,OCA=ODC=A+AOD=2A.A+OCA+AOC=A+2A+108=180,A=24.2.构造直角三角形构造直角三角形如图如图1,已知已知AB是是O的直
3、径的直径,点点C是圆上一点是圆上一点,连接连接AC,BC,则则ACB=90.如图如图2,已知已知AB是是O的一条弦的一条弦,过点过点O作作OEAB,则则OE2+AE2=OA2.【模型分析】【模型分析】(1)如图如图1,当图形中含有直径时当图形中含有直径时,构造直径所构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路对的圆周角是解决问题的重要思路,在证明有关问题中注意在证明有关问题中注意90的圆周角的构造的圆周角的构造.(2)如图如图2,在解决求弦长、弦心距、半径问题时在解决求弦长、弦心距、半径问题时,在圆中常在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线作弦心距或连接半径作为辅助线,利用弦心距、半径和半弦利用弦心
4、距、半径和半弦组成一个直角三角形组成一个直角三角形,再利用勾股定理进行计算再利用勾股定理进行计算.例例2已知已知O的直径的直径AB和弦和弦CD相交于点相交于点E,AE=2,BE=6,DEB=60.求求CD的长的长.【解析】【解析】如图如图,过过O作作OFCD于点于点F,连接连接OD.练习练习3如图如图,AB是是O的直径的直径,AB=AC,BC交交O于点于点D,AC交交O于点于点E,BAC=45.(1)求求EBC的度数的度数;(2)求证求证:BD=CD.【解析】【解析】(1)AB=AC,BAC=45,ABC=ACB=67.5.AB是直径是直径,AEB=90.EBC=90-67.5=22.5.(2
5、)如图如图,连接连接AD,AB是直径是直径,ADB=90.又又AB=AC,BD=CD.3.与圆的切线有关的辅助线与圆的切线有关的辅助线【模型分析】【模型分析】(1)已知切线已知切线:连接过切点的半径连接过切点的半径.如图如图,已知直已知直线线AB是是O的切线的切线,点点C是切点是切点,连接连接OC,则则OCAB.(2)证明切线证明切线:当已知直线经过圆上的一点时当已知直线经过圆上的一点时,连半径连半径,证垂证垂直直;如图如图,已知过圆上一点已知过圆上一点C的直线的直线AB,连接连接OC,证明证明OCAB,则则直线直线AB是是O的切线的切线.如果不知直线与圆是否有交点时如果不知直线与圆是否有交点
6、时,作垂直作垂直,证明垂线段长证明垂线段长度等于半径度等于半径;如图如图,过点过点O作作OCAB,证明证明OC等于等于O的半径的半径,则直线则直线AB是是O的切线的切线.例例3如图如图,OA,OB是是O的半径的半径,且且OAOB,P是是OA上任意上任意一点一点,BP的延长线交的延长线交O于于Q,过过Q点的切线交点的切线交OA的延长线于的延长线于R.求证求证:RP=RQ.【解析】【解析】如图如图,连接连接OQ,则则OQ=OB.OQB=OBQ.RQ为为O的切线的切线,OAOB,BPO=90-OBQ,BQR=90-OQB.BPO=QPR=BQR.RP=RQ.练习练习5如图如图,ABC内接于内接于O,
7、过过A点作直线点作直线DE,当当BAE=C时时,试确定直线试确定直线DE与与O的位置关系的位置关系,并证明你的并证明你的结论结论.【解析】【解析】直线直线DE与与O相切相切,理由如下理由如下:如图如图,连接连接AO并延长并延长,交交O于点于点F,连接连接BF.BAE=C,C=F,BAE=F.AF为为O的直径的直径,ABF=90.F+BAF=90.BAE+BAF=90.FADE.又又AO是是O的半径的半径,直线直线DE与与O相切相切.练习练习6如图如图,在在ABC中中,以以AB为直径的为直径的O分别与分别与BC,AC相交于点相交于点D,E,BD=CD,过点过点D作作O的切线交的切线交AC于点于点
8、F.求证求证:DFAC.【解析】【解析】如图如图,连接连接OD.DF是是O的切线的切线,D为切点为切点,ODDF.BD=CD,OA=OB,OD是是ABC的中位线的中位线.ODAC.DFAC.4.定点定长作圆定点定长作圆【模型分析】【模型分析】平面内平面内,点点O为定点为定点,点点A为动点为动点,且且OA长度固长度固定定,则点则点A的轨迹在以点的轨迹在以点O为圆心为圆心,OA长为半径的圆上长为半径的圆上(如图如图1).依据的是圆的定义依据的是圆的定义,圆是所有到定点的距离等于定长的点的圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合集合.推广推广:矩形矩形ABCD,点点E为为AB的中点的中点,如图如图2,
9、点点E为定点为定点,点点F为为线段线段BC上的动点上的动点(不含点不含点B),将将BEF沿沿EF折叠得到折叠得到BEF,则点则点B的运动轨迹为以点的运动轨迹为以点E为圆心为圆心,以线段以线段BE的长为半径的的长为半径的一段圆弧一段圆弧.例例4如图如图,已知已知O的半径为的半径为30 cm,弦弦AB=36 cm,则则sinOAB=.例例5如图如图,已知半圆已知半圆O的直径的直径AB=3,弦弦AC与弦与弦BD交于点交于点E,ODAC,垂足为点垂足为点F,AC=BD,则弦则弦AC的长为的长为.【解析】【解析】连接连接OC.例例6如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=3,BC=2,M是是AD边的中
10、点边的中点,N是是AB边上的动点边上的动点,将将AMN沿沿MN所在直线折叠所在直线折叠,得到得到AMN,连接连接AC,则则AC的最小值为的最小值为.【解析】【解析】四边形四边形ABCD是矩形是矩形,AB=3,BC=2,AB=CD=3,BC=AD=2.M是是AD边的中点边的中点,AM=AM=1.点点A在以点在以点M为圆心为圆心,AM为半径的圆上为半径的圆上.如图如图,当点当点A在线段在线段MC上时上时,AC有最小值有最小值.【解析】【解析】如图如图,取取BC的中点的中点M,连接连接AM,OM,AO.AC BC=3 8,假设假设AC=3k,BC=8k,则则CM=BM=4k.ACB=COB=90,【
11、解析】【解析】如图如图,在在RtAOB中中,根据勾股定理得根据勾股定理得,AB=5.PAB中中,AB=5是定值是定值,要使要使PAB的面积最大的面积最大,应使应使O上的点到上的点到AB的距离最大的距离最大.过点过点O作作OCAB于于C,CO的延长线交的延长线交O于于P,此时此时SPAB的面的面积最大积最大.【答案】【答案】1116练习练习8如图如图,在边长为在边长为2的菱形的菱形ABCD中中,A=60,M是是AD边的中点边的中点,N是是AB边上的一动点边上的一动点,将将AMN沿沿MN所在直线翻所在直线翻折得到折得到AMN,连接连接AC,则则AC长度的最小值是长度的最小值是.练习练习9如图如图,
12、ABO为等边三角形为等边三角形,OA=4,动点动点C在以点在以点O为为圆心圆心,OA为半径的为半径的O上上,点点D为为BC的中点的中点,连接连接AD,则线段则线段AD长的最小值为长的最小值为.5.四点共圆四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称之为四个点则称之为四个点共圆共圆,一般简称为一般简称为“四点共圆四点共圆”.四点共圆常用的判定方法有四点共圆常用的判定方法有:(1)若四个点到一个定点的距离相等若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆则这四个点共圆.【模型分析】【模型分析】如上图如上图,若若OA=OB=OC=OD,则则A,B,C,D四点四点在
13、以点在以点O为圆心、为圆心、OA为半径的圆上为半径的圆上.例例9如图如图,菱形菱形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于相交于O点点,E,F,G,H分别是分别是AB,BC,CD,DA的中点的中点.求证求证:E,F,G,H四个点四个点在以在以O为圆心的同一个圆上为圆心的同一个圆上.(2)若一个四边形的一组对角互补若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形的四个顶点则这个四边形的四个顶点共圆共圆.【模型分析】【模型分析】如上图如上图,在四边形在四边形ABCD中中,若若A+C=180(或或B+D=180),则则A,B,C,D四点在同一四点在同一个圆上个圆上.例例10如图如图,在梯形在梯形ABCD中中
14、,ABDC,ABCD,K,M分别在分别在AD,BC上上,DAM=CBK.求证求证:C,D,K,M四点共圆四点共圆.【解析】【解析】连接连接KM,由由DAM=CBK易知易知A,B,M,K四点共四点共圆圆.于是有于是有DAB=CMK.DAB+ADC=180,CMK+KDC=180.C,D,K,M四点共圆四点共圆.练习练习10如图如图,在在ABC中中,ADBC,DEAB,DFAC.求求证证:B,E,F,C四点共圆四点共圆.【解析】【解析】DEAB,DFAC,AED+AFD=180,A,E,D,F四点共圆四点共圆.AEF=ADF.ADBC,ADF+CDF=90.又又CDF+FCD=90,ADF=FCD
15、.AEF=FCD.AEF+BEF=180,BEF+FCB=180.B,E,F,C四点共圆四点共圆.(3)若四边形的一个外角等于它的内对角若四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四则这个四边形的四个顶点共圆个顶点共圆.【模型分析】【模型分析】如上图如上图,在四边形在四边形ABCD中中,CDE为外角为外角,若若B=CDE,则则A,B,C,D四点在同一个圆上四点在同一个圆上.例例11如图所示如图所示,已知四边形已知四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,过点过点A和和点点B的圆与的圆与AD,BC分别交于分别交于E,F点点.求证求证:C,D,E,F四点共圆四点共圆.【解析】【解析】连接连接EF
16、,四边形四边形ABFE是圆内接四边形是圆内接四边形,A+BFE=180.又四边形又四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形,A+D=180.BFE=D.C,D,E,F 四点共圆四点共圆.(4)两个点在一条线段的同旁两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线并且和这条线段的两端连线所夹的角相等所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆那么这两个点和这条线段的两个端点共圆.【模型分析】【模型分析】如图如图,点点A,D在线段在线段BC的同侧的同侧,若若A=D,则则A,B,C,D四点在同一个圆上四点在同一个圆上.例例12已知已知:如图如图,ABC和和CBD,共有底边共有底边CB,A=D.求证求证:A,B,C,D四点共圆四点共圆.(5)同斜边的直角三角形的顶点共圆同斜边的直角三角形的顶点共圆.如图如图,若若A=C=90,则则A,B,C,D四点共圆四点共圆.【模型分析】【模型分析】可以直接根据圆的定义先证明可以直接根据圆的定义先证明A,B,C,D四点四点到某一定点的距离相等到某一定点的距离相等.取斜边的中点取斜边的中点O,再连接再连接AO,CO,利用利用斜边中点等于斜边一半证斜边中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD.
