1、专题综合强化第二部分 专题六二次函数纯代数问题此专题是近几年福建必考题型，常在解答题最后一道题中考查，作为解答题的压轴题常考类型有：(1)与抛物线有关的定值问题(2019.25)；(2)与抛物线有关的最值问题(2020.25,2017.25)；(3)抛物线中系数(含线段含线段)的取值范围(2017.25)；(4)抛物线在某一范围内的取值问题(2018B卷卷.25)；(5)抛物线中系数之间的关系式(2019.25,2018A卷卷.25)；这类问题综合性极高，涉及初高中部分的知识衔接题中经常会涉及一个或多个参数，计算量大，考查学生的动手计算能力在解题过程中，哪些参数是需要求的，哪些是不需要求的，极
2、考验学生的理解能力专题分析专题分析 常考题型常考题型精讲精讲 例例1(2020漳州二检漳州二检)已知抛物线yax2bx经过点(2,8)，(4,8)(1)求抛物线的解析式题型题型1与抛物线有关的定值问题与抛物线有关的定值问题典例精析典例精析 第一步：第一步：根据已知条件，将两个已知点代入抛物线的解析式，得出根据已知条件，将两个已知点代入抛物线的解析式，得出关于关于a和和b的二元一次方程组；的二元一次方程组；第二步：第二步：解方程组即可得到抛物线的解析式解方程组即可得到抛物线的解析式 解题思路解题思路(2)若点P(x1，y1)，Q(x2，y1)均在该抛物线上，且x1x24，求xx的取值范围 解题思
3、路解题思路 解题思路解题思路答图答图 1已知抛物线C：yax2bxc(a0)的顶点在第一象限，且与直线y1只有一个公共点(1)若抛物线的对称轴为直线x1，求a，c之间应当满足的关系式；针对训练针对训练(2)若b2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，OPQ是等腰直角三角形求抛物线的解析式；答图答图 例例2(2020福建福建)已知直线l1：y2x10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1x25时，总有y1y2.(1)求二次函数的表达式；题型题型2与抛物线有关的最值问
4、题与抛物线有关的最值问题典例精析典例精析 第一步：第一步：求出点求出点A，点，点B，点，点C坐标；坐标；第二步：第二步：利用待定系数法可求解析式利用待定系数法可求解析式 解题思路解题思路【解答】【解答】直线直线l1：y2x10交交y轴于点轴于点A，交，交x轴于点轴于点B，A(0,10)，B(5,0)二次函数的图象过二次函数的图象过A，B两点，交两点，交x轴于另一点轴于另一点C，BC4，点点C的坐标为的坐标为(9,0)或或(1,0)点点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当，当x1x25时，总有时，总有y1y2.当当x5时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大当二次函数的图象过点当二次函数的
5、图象过点C(9,0)时，则当时，则当5x3时，时，y随随x的增大而增大，符合题意，的增大而增大，符合题意，设二次函数的表达式为设二次函数的表达式为ya(x1)(x5)，二次函数二次函数的图象过点的图象过点A(0,10)，105a，a2，二次函数的表达式为二次函数的表达式为y2(x1)(x5)2x212x10.(2)若直线l2：ymxn(n10)，求证：当m2时，l2l1；利用反证法可得结论利用反证法可得结论 解题思路解题思路(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y2xq过点C且交直线AE于点F，求ABE与CEF面积之和的最小值 解题思路解题思路答图答图 针对训练针对训练(2)已知P是
6、线段BC上的个动点若PQx轴，交抛物线于点Q，当BPPQ取最大值时，求点P的坐标；答图答图1 答图答图2 2已知抛物线ya(xh)2k的顶点A在x轴上(1)若点A是抛物线最低点，且落在x轴正半轴上，直接写出a，h，k的取值范围；解：解：抛物线有最低点，抛物线有最低点，a0.抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(h，k)，且在，且在x轴正半轴上，轴正半轴上，h0，k0.(2)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上两点，若x1x20，则(x2x1)(y2y1)0；若x1x20，则(x2x1)(y2y1)0，且当y1的绝对值为4时，APQ为等腰直角三角形(其中其中PAQ90)求抛物线的解析式；
7、解：解：x1x20，(x2x1)(y2y1)0，当当x0时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，y2y1，a0，x1x20，(x2x1)(y2y1)0，当当x0时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，y2y1，对称轴为直线，对称轴为直线x0，h0.设PQ的中点为N，若PQ6，求点N纵坐标的最小值例例3已知，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为A(s，t)(其中其中s0)(1)若抛物线经过(2,2)和(3,37)两点，且s3.求抛物线的解析式；题型题型3抛物线中系数抛物线中系数(含线段含线段)的取值范围的取值范围典例精析典例精析 设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x3)2t，代入
8、，代入(2,2)和和(3,37)两点，解两点，解方程组求出方程组求出a，t，即可得解，即可得解 解题思路解题思路若n3，设点M(n，y1)，N(n1，y2)在抛物线上，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；把点把点M(n，y1)，N(n1，y2)代入抛物线的解析式，计算即可代入抛物线的解析式，计算即可【解答】【解答】M(n，y1)，N(n1，y2)在抛物线上，在抛物线上，y1n26n10，y2(n1)26(n1)10n24n5，y2y12n5.n3，y2y1.解题思路解题思路(2)若a2，c2，直线y2xm与抛物线yax2bxc交于点P和点Q，点P的横坐标为h，点Q的横坐标为h3，求出b和h的
9、函数关系式；根据点根据点P，Q在直线和抛物线上，列出表达式，计算即可在直线和抛物线上，列出表达式，计算即可 解题思路解题思路【解答】【解答】根据题意得根据题意得yP2hm，yQ2h6m，yQyP6，P，Q在抛物线上，在抛物线上，yQyP12h183b6，b4h4.(3)若点A在抛物线yx25xc上，且当2s3时，求a的取值范围根据点根据点A在抛物线在抛物线yx25xc上，抛物线上，抛物线ya(xs)2t经过经过(0，c)，列出表达式计算即可，列出表达式计算即可 解题思路解题思路1抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(1,0)(1)若ca，求a，b满足的关系
10、式；解：解：若若ac，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为yax2bxa.点点A(1,0)在抛物线上，在抛物线上，aba0，b2a.针对训练针对训练(2)直线y2xm与抛物线交于C，D两点，抛物线的对称轴为直线x1，且1tanOBC2.求抛物线的解析式(各项系数用含各项系数用含a的式子表示的式子表示)；求线段CD长度的取值范围2已知抛物线G：yx22mx与直线l：y3xb相交于A，B两点(点点A的横坐标小于点的横坐标小于点B的横坐标的横坐标)(1)求抛物线yx22mx的顶点坐标(用含用含m的式子表示的式子表示)；解：解：yx22mx(xm)2m2，顶点的坐标为顶点的坐标为(m，m2)(2)已知点
11、C(2,1)，若直线l经过抛物线G的顶点，求ABC面积的最小值；答图答图 (3)若平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，求实数m的取值范围解：解：(i)当当m0时，抛物线时，抛物线G：yx22mx的图象没有在的图象没有在x轴下方的轴下方的部分，不合题意舍去；部分，不合题意舍去；(ii)当当m0时，由图象可知当时，由图象可知当0 x2m时图象在时图象在x轴下方轴下方设平移直线设平移直线l后的解析式为后的解析式为y3xa，新的两个交点为，新的两个交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，如果两个交点都在，如果两个交点都在x轴下方，那么轴下方，那么0 x12m,0 x22m，0 x1x24m
12、,0 x1x24m2.例例4已知抛物线ymx22mxm1和直线ymxm1，且m0.(1)求抛物线的顶点坐标；题型题型4抛物线在某一范围内的最值问题抛物线在某一范围内的最值问题典例精析典例精析 化为顶点式即可求顶点坐标化为顶点式即可求顶点坐标 解题思路解题思路【解答】【解答】ymx22mxm1m(x1)21，抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(1，1)(2)试说明抛物线与直线有两个交点；由抛物线和直线的解析式可得由抛物线和直线的解析式可得mx(x1)0，即可知抛物线与直线，即可知抛物线与直线有两个交点有两个交点 解题思路解题思路【解答】【解答】由由ymx22mxm1和和ymxm1可得可得mx2
13、2mxm1mxm1，整理得整理得mx2mx0，即，即mx(x1)0.m0，x10，x21，抛物线与直线有两个交点抛物线与直线有两个交点(3)已知点T(t,0)，且1t1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0m3时，求线段PQ长的最大值第一步：第一步：分两种情况进行讨论：分两种情况进行讨论：(1)当当1t0时；时；(2)当当0t1时；时；第二步：第二步：求出对应的最大值即可得解求出对应的最大值即可得解 解题思路解题思路答图答图1 答图答图2 1若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”(1)若对任意m，n，点M(m，n)和点N(m4，n)恒
14、在“等边抛物线”C1：yax2bx上，求抛物线C1的解析式；针对训练针对训练(2)若抛物线C2：yax2bxc为“等边抛物线”，求b24ac的值；(3)对于“等边抛物线”C3：yx2bxc，当1xm时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数yx图象的下方，求m的最大值2已知抛物线yx22mxm23(m是常数是常数)(1)证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点解：解：对于抛物线对于抛物线yx22mxm23，令令y0，则，则0 x22mxm23，而而(2m)24(m23)120，方程方程x22mxm230有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，即：无论即：无论m取什么实数，该
15、抛物线与取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点轴都有两个交点(2)设抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别为B，D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为 C C.若点P为ABD的外心，求点P的坐标(用含用含m的式子表示的式子表示)；图图1 连接连接BP，设，设ABD的外接圆的半径为的外接圆的半径为r，则，则APBPr，PEAEr3r，在在RtBEP中，根据勾股定理得，中，根据勾股定理得，PE2BE2BP2，(3r)23r2，r2，PE1，P(m，1)答图答图2 题型题型5抛物线中系数之间的关系抛物线中系数之间的关系典例精析典例精析 由二次函数的对称轴方程解答即可由二次函数的对称轴方程解答即可 解题
16、思路解题思路第一步：第一步：由抛物线的对称性求出由抛物线的对称性求出B点坐标，用点坐标，用a表示出点表示出点C的坐标，的坐标，用待定系数法求出直线用待定系数法求出直线BC的解析式，设直线的解析式，设直线BC交抛物线的对称轴于点交抛物线的对称轴于点E，用，用a表示表示DE；第二步：第二步：由三角形的面积列出由三角形的面积列出a的方程求得的方程求得a的值便可得解析式的值便可得解析式 解题思路解题思路答图答图1 点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MNx轴，垂足为N，线段MN上有一点H，若HBAMAB90，求证：HN的长为定值第一步：第一步：设设M点的横坐标为点的横坐标为t，用，用t表示
17、表示BN，AN，MN，证明，证明BNHMNA；第二步：第二步：由相似三角形的比例线段求出由相似三角形的比例线段求出HN即可即可 解题思路解题思路答图答图2 针对训练针对训练(2)若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点(点点P在点在点Q的左边的左边)关于原点对称求a的取值范围；答图答图1 由已知得由已知得PDQE.PDCQEC90，PCDQCE，PDCQEC(AAS)，CPCQ，C为为PQ的中点的中点P，Q两点关于原点对称，但直线两点关于原点对称，但直线l并没有经过点并没有经过点O，不存在这种情况不存在这种情况答图答图2 2已知二次函数yax2bxc(c0)(1)当ac1，时若二次函数的图象与x轴有唯一公共点，求b的值；解：解：当当ac1时，抛物线时，抛物线yx2bx1与与x轴有唯一公共点，轴有唯一公共点，对于方程对于方程x2bx10，b240，解得，解得b2.
