1、第六章 圆第一部分河北中考考点过关目录（河北中考）考点 考点1 与圆有关的概念 考点2 垂径定理及其推论 考点3 弦、弧、圆心角之间的关系 考点4 圆周角定理及其推论 考点5 圆内接四边形的概念和性质方法 命题角度 圆周角定理及其推论 考点 与圆有关的概念考点1圆在同一平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角,如AOB.圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,如ACB.弦连接圆上任意两点的线段叫做弦,如弦BC.经过圆心的弦叫做直径,如AC.圆弧圆上任意两点间的部分叫做
2、圆弧,简称弧.大于半圆的弧叫做优弧,如 ;小于半圆的弧叫做劣弧,如 .圆心两边线段直径优弧劣弧与圆有关的概念考点1确定圆的条件及圆的对称性确定圆的条件及圆的对称性1.确定圆的条件不在同一直线上的三个点可以确定一个圆.2.圆的性质(1)对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)旋转不变性:将圆绕着它的圆心任意旋转一个角度,都能与原来的圆重合.提分技法提分技法垂径定理及其推论考点21.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.2.垂径定理的推论:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.3.延伸(1)弦的垂
3、直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.(2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分平分利用垂径定理及其推论解题时的常用思路利用垂径定理及其推论解题时的常用思路利用垂径定理及其推论解题时,常通过添加辅助线,构造直角三角形,结合勾股定理或锐角三角函数进行解题.1.常用辅助线(1)过圆心作弦的垂线;(2)连接圆心和弦的一端(即作半径);(3)当条件中有弦的中点(或弦所对弧的中点)时,一般连接圆心与弦(或弧)的中点.2.直接运用垂径定理求线段的长度时,常将未知的一条线段设为x,再结合勾股定理建立关于x的方程,解之即可.3.若圆中圆心的位置未知,常根据垂径定理的推论确定圆心
4、的位置,再根据垂径定理求解相关的量.垂径定理及其推论考点2提分技法提分技法弦、弧、圆心角之间的关系考点31.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦也相等.2.推论(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦 .(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的优弧和劣弧分别 .在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.得分速记得分速记相等相等相等相等相等圆周角定理及其推论考点4定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.常见图形 结论AOB=2ACB 推论(1)同弧或等弧所对
5、的圆周角相等.(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.方法指导方法指导有关直径的问题,常通过构造直径所对的圆周角来进行证明或计算.一半2ACB相等直角直径圆内接四边形的概念和性质考点5概念四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.图示:性质(1)圆内接四边形对角互补;A+BCD=180,B+D=180(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角).DCE=A 互补180180内对角A方法 圆周角定理及其推论命题角度 例 2019广西贵港如图,AD是O的直径,若AOB=40,则圆周角BPC的度数是()A.40B.50C.60D.70【思路
6、分析】B圆周角定理及其推论命题角度 提分技法提分技法1.在利用圆周角定理解答具体问题时,找准同弧所对的圆周角及圆心角,并结合圆周角定理进行相关计算是关键.与圆周角有关的常用辅助线:过圆上某点作直径,连接过直径端点的弦;弦垂直平分半径时可构造直角三角形;构造同弧所对的圆周角.2.在利用圆周角定理的推论解答具体问题时,要找准直径、等弦或同弦所对应的圆周角,一般会结合圆周角定理进行相关计算或证明.利用圆周角定理及其推论解题时的思路第六章圆第一部分河北中考考点过关目录（河北中考）考点 考点1 点与圆的位置关系 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 切线 考点4 三角形的外心和内心 考点5 正多边形与圆的
7、有关计算方法 命题角度1 与切线有关的证明与计算 命题角度2 三角形的内心与外心考点 点与圆的位置关系考点1平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上.如上图,点P与O上距离最大和最小的点分别是点N和点M.温馨提示温馨提示点与圆的位置关系图形d与r的关系点A在圆内 dr直线与圆的位置关系考点2直线和圆的位置关系相交相切相离图形 d与r的关系dr dr dr 交点的个数2 01切线考点31.定义:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.2.性质与判定性质定理圆的切线于过切点的半径.推论a.经过圆心且垂直于切线的直线必过.b.
8、经过切点且垂直于切线的直线必过.判定a.和圆有个公共点的直线是圆的切线.b.如果圆心到一条直线的距离等于圆的,那么这条直线是圆的切线.c.经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线.垂直切点圆心一半径垂直切线考点3在判定一条直线为圆的切线时,若已知条件明确指出圆与直线有公共点,常“连半径,证垂直”;若没有明确指出圆与直线有公共点时,常需“作垂直,证半径”.提分技法提分技法切线考点33.切线长:过圆外一点作圆的切线,这点和之间的线段长叫做这点到圆的切线长.4.*切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切点三角形的外心和内心考点4三角形的
9、外心三角形的内心概念三角形外接圆的圆心三角形内切圆的圆心作法 三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形三个内角的平分线的交点性质三角形的外心到三角形 的距离相等.三角形的内心到三角形 的距离相等.位置外心不一定在三角形内.内心一定在三角形内.角度关系 BOC=90+A三个顶点三条边 三角形的外心和内心考点4直角三角形的外心为其斜边的中点,其外接圆半径 ;其内切圆半径r=或r=(其中a,b为直角边长,c为斜边长).提分技法提分技法直角三角形内切圆及外接圆半径长的确定正多边形与圆的有关计算考点5 设正n边形的边长为a,外接圆半径为R.边心距r r=或 正n边形的周长na正n边形的面积正n边形中心角的
10、度数 正n边形每个外角的度数 正六边形的边长等于其外接圆的半径;正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍;正方形的边长等于其外接圆半径的 倍.特例探究特例探究方法 与切线有关的证明与计算命题角度1例1 2020湖北咸宁如图,在RtABC中,C=90,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.【思路分析】(1)(2)连接OF,设半圆O的半径为r,分别在RtOCF和RtODF中,根据勾股定理用含r的式子表示OF2,列方程求解即可.与切线有关的证明与计算命题角度1【
11、自主解答】(1)证明:如图,连接OD.DF是半圆O的切线,ODF=90,ADO+BDF=90.OA=OD,ADO=DAO.C=90,DAO+B=90,BDF=B,BF=DF.(2)解:如图,连接OF,设半圆O的半径为r.AC=4,BC=3,CF=1,OC=4-r,DF=BF=2.在RtOCF和RtODF中,OC2+CF2=OF2,OD2+DF2=OF2,OC2+CF2=OD2+DF2,即(4-r)2+12=r2+22,解得r=.故半圆O的半径长为 .与切线有关的证明与计算命题角度1解答与圆有关的证明及计算的技巧提分技法提分技法1 1.圆中常作的辅助线如下.(1)半径:圆的半径是圆的重要元素,圆
12、中的许多性质,如“同圆的半径相 等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关,连接半径是常用的添加辅助线的方法之一,常用于切线的性质及证明;(2)弦心距:在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以便利用垂径定理或三角函数;(3)构造直角三角形:在解决有关直径的问题时,常常作直径所对的圆周角,构造直角三角形求解;(4)构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线.2 2.圆内有关角的计算或证明,一要正确应用圆周角定理及其推论,把不同位置的角的数量关系建立起来;二要正确应用圆心角、弦、弧之间的关系定理,把弧、弦的相等关系转化到角的相等关系上来;三要正确应用切线的性质定理,已知切线,作出过切点的半径,
13、构造直角.与切线有关的证明与计算命题角度1例22019石家庄一模如图(1),点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上,以点O为圆心,以24为半径作半圆,分别交直线l于A,B两点.已知:CD=18,CF=24,矩形自右向左在直线l上平移,当点D到达点A时,矩形停止运动.在平移过程中,设矩形对角线DF与半圆的交点为P(点P为半圆上远离点B的交点).(1)如图(2),若FD与半圆相切,求OD的值;(2)如图(3),当DF与半圆有两个交点时,求线段PD的长的取值范围;(3)若线段PD的长为20,直接写出此时OD的值.图（1）图（2）图（3）与切线有关的证明与计算命题角度1【思路分析】(1)(2)(3)分
14、矩形位于圆心右边和圆心左边两种情况讨论即可.与切线有关的证明与计算命题角度1【自主解答】解:(1)连接OP,FD与半圆相切,OPFD,OPD=90.在矩形CDEF中,FCD=90,CD=18,CF=24,根据勾股定理得,在OPD和FCD中,OPDFCD,OD=DF=30.(2)如图(1),当点B与点D重合时,过点O作OHDF于点H,则DP=2HD.cosODP=PD=2HD=当FD与半圆相切时,由(1)知 PD=CD=18,18PD与切线有关的证明与计算命题角度1(3)解法提示:如图(2),当矩形位于圆心右边时,过点P作PGOD于点G,连接OP.由题意可知PG=sinCDFDP=20=16,D
15、G=cosCDFDP=20=12,如图(3),当矩形位于圆心左边时,过点P作PGOD于点G,连接OP.同理求得PG=16,DG=12,OG=，OD=OG-DG=综上所述,OD的长为 三角形的内心与外心命题角度2例32019唐山路北区二模如图,O为锐角三角形ABC的外心,四边形OCDE为正方形,其中E点在ABC的外部,A,E,D三点不共线,则下列叙述正确的是()A.O是AEB的外心,O是AED的外心B.O是AEB的外心,O不是AED的外心C.O不是AEB的外心,O是AED的外心D.O不是AEB的外心,O不是AED的外心B三角形的内心与外心命题角度2提分技法提分技法解与三角形的内心、外心有关的题目
16、的注意事项1.判断点是某个三角形的内心,只需证明点到此三角形三边的距离相等即可;判断点是某个三角形的外心,只需证明点到此三角形三个顶点的距离相等即可.2.三角形的内心是三角形角平分线的交点,又是三角形内切圆的圆心;三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点,又是三角形外接圆的圆心.第六章圆第一部分河北中考考点过关目录（河北中考）考点 考点1 弧长与扇形面积的计算 考点2 *圆锥的相关计算方法 命题角度1 弧长的计算 命题角度2 与扇形面积有关的计算考点 弧长与扇形面积的计算考点1如图,O的半径为R,所对的圆心角为n,的长为l.*圆锥的相关计算考点21.圆锥底面圆的面积S=r2,周长C=2r;2.
17、圆锥侧面展开扇形的圆心角n=;3.圆锥的高、底面圆的半径和母线长之间的关系:h2+r2=;4.圆锥的母线长等于其侧面展开扇形的半径;圆锥的底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长.如图,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的高为h,底面圆半径为r,母线长为a,侧面展开扇形的圆心角为n,弧长为l.a2方法 弧长的计算命题角度1例1 如图,在ABC中,ACB=90,A=30,AB=4,以点B为圆心、BC的长为半径画弧,交边AB于点D,则 的长为 ()C与扇形面积有关的计算命题角度2例2 2020湖北咸宁如图,在O中,OA=2,C=45,则图中阴影部分的面积为()D与扇形面积有关的计算命题角度2提分技法提分技法
18、计算扇形面积的公式选择(1)当已知半径r和圆心角的度数n,求扇形的面积时,选用公式 ;(2)当已知半径r和弧长l,求扇形的面积时,应选用公式 ;(3)当已知扇形的面积,求半径或圆心角度数时,要将计算公式当作方程用.第六章圆第一部分河北中考考点过关阴影部分面积的计算微专项10常用方法 1.规则图形,可直接用公式求解.2.分割求和法:把图形适当分割,将不规则的阴影部分的面积转化成几个规则图形面积的和或差.如图(1),S阴影=S扇形BOC+SCOD-SODE.3.等积转化法:通过等面积转化,将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积来计算.如图(2),点D为的中点,则S阴影=SACD.如图(3),D
19、OAB,OA=OB,则S阴影=SDAB+S弓形AB=SOAB+S弓形AB=S扇形AOB.阴影部分面积的计算微专项104.整体作差法:用整个图形的面积减去所有空白部分的面积之和.如图(4),以点A为圆心,AD为半径画弧,交AB于点E,则S阴影=S ABCD-SBCE-S扇形DAE.5.组合法:如图(5),S阴影部分-S阴影部分=S扇形BAC+S半圆O-S正方形ABCD.阴影部分面积的计算微专项10例1 如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,A=30,以点A为圆心、AD的长为半径画弧,交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留)阴影部分面积的计算微专项10例2 如图,点C为 的三等分点(),AOB=90,OA=3,CDOB,则图中阴影部分的面积为 .阴影部分面积的计算微专项10例3 如图,把半径为2的O沿弦AB,AC折叠,使 和 都经过圆心O,则阴影部分的面积为 ()C阴影部分面积的计算微专项10例4 如图,在矩形ABCD中,以AD为直径画半圆,以点B为圆心、AB的长为半径画弧.若AB=3,AD=4,则图中两个阴影部分面积之差的绝对值是 .【思路分析】|两阴影部分的面积之差|=|两扇形面积之和-矩形ABCD的面积|.
