1、一元二次方程及其应用一元二次方程概念及一般形式概念一般形式一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概念根的判别式与根的情况*根与系数的关系一元二次方程的实际应用平均增长（下降）率问题面积问题一元二次方程的解法直接开平方法公式法因式分解法配方法【课标要求】【课标要求】理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的能根
2、据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；有效模型；能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理程的解是否合理【对接教材】冀教：九上第二十四章【对接教材】冀教：九上第二十四章P33P56；人教：九上第二十一章人教：九上第二十一章P1P26；北师：九上第二章北师：九上第二章P30P58.概念概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程的整式方程一般一般形式形式ax2bxc0(a、b、c为常数，为常数，a0)，
3、a为二次项系数，为二次项系数，b为一次项系数，为一次项系数，c为常数项为常数项考点考点1一元二次方程的概念及一般形式一元二次方程的概念及一般形式一元二次方程的解法一元二次方程的解法解法解法适用情况适用情况注意事项或步骤注意事项或步骤直接开直接开平方法平方法1.当方程缺少一次项时，即方程当方程缺少一次项时，即方程ax2c0(a0，ac0)；2.形如形如a(xn)2b(a0，ab0)的方程的方程开方后取值是开方后取值是“”考点考点2解法解法适用情况适用情况注意事项或步骤注意事项或步骤公式公式法法适用于所有一元二次方程，求根公式适用于所有一元二次方程，求根公式为为_1.使用求根公式时要先把一元二使用
4、求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为边一定要化为0；2.将将a，b，c代入公式时应注意代入公式时应注意其符号；其符号；3.若若b24ac0，则原方程，则原方程_242bbaca 没有实数根没有实数根解法解法适用情况适用情况注意事项或步骤注意事项或步骤因式分因式分解法解法将方程右边化为将方程右边化为0后，方程的左边可以后，方程的左边可以提出含有提出含有x的公因式，形如的公因式，形如x(axb)0(即缺少常数项的方程即缺少常数项的方程)或或(axb)(cxd)0方程两边含有方程两边含有x的相同的因式时，的相同的因式时，不能约去，以免丢根，如一元
5、二不能约去，以免丢根，如一元二次方程次方程(x2)(x2)x2，不，不能两边同时约去能两边同时约去x2，否则会造，否则会造成漏解成漏解注：如果注：如果AB0，那么，那么A0或或B0解法解法适用情况适用情况注意事项或步骤注意事项或步骤配方配方法法适用于所有一元二次方程，但当二次适用于所有一元二次方程，但当二次项系数化为项系数化为1后，一次项系数为绝对值后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，使用配方法较简单较小的偶数时，使用配方法较简单1.化二次项系数为化二次项系数为1；2.把常数项移到方程的右边；把常数项移到方程的右边；3.在方程两边同时加上一次项系在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；数一半的
6、平方；4.把方程整理成把方程整理成(xb)2a的形的形式；式；5.运用直接开平方法解方程运用直接开平方法解方程考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概念概念一般地，把式子一般地，把式子b24ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别根的判别式式根的判根的判别式与别式与根的情根的情况况1.b24ac0方程有方程有_的实数根；的实数根；2.b24ac_0方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根；3.b24ac0方程方程_实数根实数根两个不相等两个不相等没有没有*根与系根与系数的关数的关系系若一元二次方程若一元二次方程ax
7、2bxc0(a0)的两实数根分别为的两实数根分别为x1，x2，则则 .(*2011课标选学课标选学)【提分要点提分要点】根的判别式的两个作用：根的判别式的两个作用：1.不解方程，直接判断或证明一元二次方程根的情况；不解方程，直接判断或证明一元二次方程根的情况；2.根据方程根的情况，确定某个未知数的值根据方程根的情况，确定某个未知数的值(或取值范围或取值范围)平均增平均增长长(下降下降)率问题率问题设设a为原来量，当为原来量，当m为平均增长率，增长次数为为平均增长率，增长次数为2，b为增长后的量时，则为增长后的量时，则_b；当；当m为平均下降率，下降次数为为平均下降率，下降次数为2，b为下降后的
8、量时，则为下降后的量时，则_b面积面积问题问题S阴影阴影(a2x)(b2x)S阴影阴影(ax)(bx)S阴影阴影(ax)(bx)考点考点4一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用a(1m)2a(1m)2一、一元二次方程的解法及根的判别式一、一元二次方程的解法及根的判别式例例1已知关于已知关于x的方程的方程(m1)x24x50.问题问题1若该方程为一元二次方程，则若该方程为一元二次方程，则m的取值范围为的取值范围为_；问题问题2当当m2时，请用三种不同的方法解一元二次方程时，请用三种不同的方法解一元二次方程(1)公式法：公式法：m1当当m2时时,方程为方程为 .由方程可知，由方程可知，a1，
9、b4，c5，41(5)36.x ，x15，x21；245 0 xx 2244bac 24436 4 6=22 12bbaca (2)配方法：配方法：配方得配方得 ，x23，解得解得x15，x21；229x (3)因式分解法：因式分解法：x24x50，(x5)(x1)0，解得解得x15，x21；问题问题3若若x1是该一元二次方程的一个根，则是该一元二次方程的一个根，则m_，方程的另一个根是，方程的另一个根是_；问题问题4若若m3，则该一元二次方程的根的情况是，则该一元二次方程的根的情况是_；问题问题5若该一元二次方程有实数根，则若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围为的取值范围为_；问题问题6
10、若该一元二次方程有两个相等的实数根，则若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为的值为_；问题问题7若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为的取值范围为_练习练习1(2020河北临门一卷河北临门一卷)已知实数已知实数m、n在数轴上的位置如图所示，此时关于在数轴上的位置如图所示，此时关于x的方的方程程mx2(mn)xn0的根的情况是的根的情况是()A.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根C.不存在实数根不存在实数根 D.有一个根为有一个根为x1练习1题图10无实数根无实数根B1559 m 且且
11、m115m 且且m115二、一元二次方程的实际应用二、一元二次方程的实际应用例例2(2020西藏西藏)某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广如图所示，茶园一面靠墙，墙长如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开长的篱笆围成，其中一边开有一扇有一扇1 m宽的门宽的门(不包括篱笆不包括篱笆)求这个茶园的长和宽求这个茶园的长和宽【分层分析】设当
12、茶园垂直于墙的一边长为【分层分析】设当茶园垂直于墙的一边长为x m时，则另一边的长度为时，则另一边的长度为_m根据茶园的面积为根据茶园的面积为600 m2，列方程为，列方程为_【自主解答】【自主解答】(6912x)x(6912x)600例2题图解：设茶园垂直于墙的一边长为解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为，则另一边的长度为(6912x)m，根据题意，根据题意，得得x(6912x)600，整理，得整理，得x235x3000，解得解得x115，x220，当当x15时，时，702x4035，不符合题意舍去；，不符合题意舍去；当当x20时，时，702x30，符合题意，符合题意答：这个
13、茶园的长和宽分别为答：这个茶园的长和宽分别为30 m、20 m.例2题图练习练习2疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用App在线上购物，某购物在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了，三月份用户比二月份增加了21%，则，则二、三两个月用户的平均每月增长率是二、三两个月用户的平均每月增长率是()A.28%B.30%C.32%D.32.5%练习练习3扬帆中学有一块长扬帆中学有一块长30 m，宽，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域
14、种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为为x m，则可列方程为，则可列方程为()A.(30 x)(20 x)2030 B.(302x)(20 x)2030C.30 x220 x 2030 D.(302x)(20 x)2030CD34143414练习3题图一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式(10年年4考，其中考，其中3次单独考查次单独考查)1.(2016河北河北14题题2分分)a、b、c为常数，且为常数，且(ac)2a2c2，则关于，则关于x的方程的方程ax2bxc0根的情况是根的情况是()A.有两个
15、相等的实数根有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根C.无实数根无实数根D.有一根为有一根为0B命题点命题点2.(2015河北河北12题题2分分)若关于若关于x的方程的方程x22xa0不存在实数根，则不存在实数根，则a的取值范围的取值范围是是()A.a1 C.a1 D.a13.(2019河北河北15题题2分分)小刚在解关于小刚在解关于x的方程的方程ax2bxc0(a0)时，只抄对了时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是，解出其中一个根是x1.他核对时发现所抄的他核对时发现所抄的c比原方程的比原方程的c值小值小2，则原方，则原方程的根的情况是程的根的情况是()A.不存在实
16、数根不存在实数根B.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根C.有一个根是有一个根是x1D.有两个相等的实数根有两个相等的实数根BA几何原本几何原本图解法求一元二次方程的根图解法求一元二次方程的根1.在欧几里得的几何原本中，给出了求解形如在欧几里得的几何原本中，给出了求解形如x2axb2(x为未知数为未知数)的方程的的方程的方法：如图，以方法：如图，以 和和b为两直角边作为两直角边作RtABC，再在斜边，再在斜边AB上截取上截取BD ，则，则AD的长就是所求方程的一个正根，上述求解方法运用的数学思想是的长就是所求方程的一个正根，上述求解方法运用的数学思想是()A.整体思想整体思想B.类比思想类
17、比思想C.方程思想方程思想 D.数形结合思想数形结合思想第1题图D2a九章算术九章算术折竹抵地折竹抵地2.(2019德阳德阳)九章算术是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个九章算术是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折折竹抵地竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地去本三尺，问折者高几何？其意思是：问题：今有竹高一丈，末折抵地去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈丈10尺尺)，现被大风折断成两截，尖端落在，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为()A.5.45尺尺 B.4.55尺尺C.5.8尺尺 D.4.2尺尺B
