1、全等三角形的判定全等三角形的概念及性质概念性质SSSSASASAAASHL全等三角形【课标要求】【课标要求】理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；证明定理：两角分
2、别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；探索并掌握判定直角三角形全等的探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边斜边、直角边”定理定理【对接教材】【对接教材】冀教：八上第十三章冀教：八上第十三章P35P51，八下第十七章，八下第十七章P159P160；人教：八上第十二章人教：八上第十二章P30P56；北师：七下第四章北师：七下第四章P92P104、P108P113.概念概念能完全重合的两个三角形叫做全等三角形能完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质性质1.全等三角形的对应边全等三角形的对应边_，对应角，对应角_；2.全等三角形的周长全等三角形的周长_，面积，面积_；3.全等三角形对应
3、的中线、高线、角平分线、中位线都全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都_考点考点1全等三角形的概念及性质全等三角形的概念及性质相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等考点考点2全等三角形的判定全等三角形的判定判定方法判定方法文字叙述文字叙述图形图形SSS有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等SAS有两边和它们的夹角对应相等的两有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等个三角形全等ASA有两角和它们的夹边对应相等的两有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等个三角形全等AAS有两角及其中一个角所对的边对应有两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等相等的两个三
4、角形全等判定方法判定方法文字叙述文字叙述图形图形HL斜边和一条直角边对应相等的两个斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等直角三角形全等【提分要点】全等三角形的判定思路：【提分要点】全等三角形的判定思路：模型一平移型模型一平移型例例1如图，点如图，点E、C在线段在线段BF上，上，BECF，ABDE，且，且ABDE.求证：求证：ACDF.【自主解答】【自主解答】例1题图证明：证明：BECF，BEECCFEC，BCEF，ABDE，ABCDEF，在在ABC和和DEF中，中，ABCDEF(SAS)，ACDF.=BCEFABCDEFABDE ，模型展示模型展示模型模型特点特点沿同一直线沿同一直线(B
5、C)平移可得两三角形重合平移可得两三角形重合(BECF)解题解题思路思路证明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：1.加加(减减)共线部分共线部分CE，得，得BCEF；2.利用平利用平行线性质找对应角相等行线性质找对应角相等模 型 分 析模 型 分 析模型二轴对称模型二轴对称(翻折翻折)型型例例2如图，点如图，点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，ABAC，AEAD.求证：求证：BECD.【自主解答】【自主解答】例2题图证明：在证明：在AEB和和ADC中，中，AEB ADC(SAS)，BECD.=AEADAAABAC ，模型展示模型展示1.有公共边有公共边2.有公共顶点有公共顶点模 型
6、分 析模 型 分 析模型模型特点特点所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合角形完全重合解题解题思路思路证明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：1.找公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条找公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件的对应角相等；件的对应角相等；2.找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件的对应边相等条件的对应边相等模型三一线三等角型模型三一线三等角型(K(K型型)一、一线三等角基本模型一、一线三等角基本模型例例3如图，在如图，在AB
7、C中，中，ABAC，B40，点，点D在线段在线段BC上且上且DCAC，连，连接接AD，已知，已知DE与与AC交于点交于点E，ADE40.求证：求证：ABDDCE.【自主解答】【自主解答】例3题图证明：证明：在在ABC中，中，ABAC，B40，BC40，DECEDC140.又又ADE40，ADBEDC140，ADBDEC，又又ACDC，ABDC.在在ABD和和DCE中，中，ABDDCE(AAS)=AEADAAABAC ，例3题图模型展示模型展示1.两个三角形在直线同侧，点两个三角形在直线同侧，点P在线段在线段AB上上2.两个三角形在直线异侧，点两个三角形在直线异侧，点P在在AB(或或BA)的延长
8、线上的延长线上锐角一线三等角锐角一线三等角钝角一线三等角钝角一线三等角锐角一线三等角锐角一线三等角钝角一线三等角钝角一线三等角模 型 分 析模 型 分 析模型特点模型特点123及一组对应边相等及一组对应边相等结论结论CAPPBD解题思路解题思路证明三角形全等的关键：利用三角形内角和为证明三角形全等的关键：利用三角形内角和为180和内外角关系，通过和内外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，构造等角代换得到一组相等的角，构造AAS或或ASA证明三角形全等证明三角形全等证明：证明：ADAB，DEAE，BCAE，EACBDAB90，DDAE90，BACDAE90，DBAC.在在AED和和BCA中，中
9、，AEDBCA(AAS)二、一线三垂直型二、一线三垂直型例例4如图，如图，ADAB，DEAE，BCAE，垂足分别为，垂足分别为A、E、C，且，且ADAB，求证：求证：AEDBCA.例4题图=EACBDBACADBA ，模型展示模型展示RtABCRtCEDRtABCRtBEDRtABERtBCDRtACERtCDBRtABERtBDC模 型 分 析模 型 分 析模型特点模型特点题干条件：已知三个直角和一组对应边相等题干条件：已知三个直角和一组对应边相等图形特点：两直角三角形的一组直角边共线或部分重合，且斜边互相垂图形特点：两直角三角形的一组直角边共线或部分重合，且斜边互相垂直直解题思路解题思路证
10、明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：1.利用直角互余的性质得一组对应角相等；利用直角互余的性质得一组对应角相等；2.由由已知得一组对应边相等已知得一组对应边相等证明：证明：D为为BC的中点，的中点，BDDC，DEAB，点点E为为AC的中点，的中点，AECE，又又EFED，AEFCED，AEFCED(SAS)FEDC，AFBC.模型四自旋转型模型四自旋转型例例5如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC边的中点，过点边的中点，过点D作作DEAB，与，与AC交于点交于点E，延长延长DE到点到点F，使得，使得EFDE，连接，连接AF.求证：求证：AFBC.例5题图模型模型展示展示共共顶顶点点不不
11、共共顶顶点点模 型 分 析模 型 分 析模型特点模型特点1.共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合2.不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得两三角形重合不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得两三角形重合解题思路解题思路证明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：1.共顶点：加共顶点：加(减减)共顶点的角的共角部分得一共顶点的角的共角部分得一组对应角相等；组对应角相等；2.不共顶点：不共顶点：(1)通过加通过加(减减)共线部分，得共线部分，得BCEF；(2)利用平行线性质利用平行线性质找对应角相等找对应角相等模型五旋转手拉手模型模型五旋转手拉手模型例例6如图，点如图
12、，点C是线段是线段BE上一点，在线段上一点，在线段BE同侧作等边同侧作等边ABC与等边与等边DCE，连接连接AE，交，交CD于点于点G，连接，连接BD，交，交AC于点于点F，AE与与BD相交于点相交于点H.求证：求证：BFCAGC.例6题图证明：证明：ABC与与DEC是等边三角形，是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60，ACBACDDCEACD，BCDACE，BFCAGC(ASA)在在BCD和和ACE中，中，BCDACE，FBCGAC.ACBDCE60，ACD180606060，ACDACB即即ACGBCF，在在BFC和和AGC中，中，BFCAGC(ASA)=BCACBCDACEC
13、DCE ，=FBCGACBCACBCFACG ，模型模型展示展示“等边三角形等边三角形”手拉手手拉手“等腰三角形等腰三角形”手拉手手拉手“正方形正方形”手拉手手拉手“等腰直角三角形等腰直角三角形”手拉手手拉手模 型 分 析模 型 分 析模型模型展示展示转一个位置后，结论仍然成立，如下图：转一个位置后，结论仍然成立，如下图：模型模型特点特点ABC中，中，ABAC，ADE中，中，ADAE，BACDAE，连接，连接BD、CE.正方形正方形ABFC中，中，ABAC，正方形，正方形ADGE中，中，ADAE，BACDAE90，连接，连接BD、CE.“等边三角形等边三角形”手拉手手拉手“等腰三角形等腰三角形
14、”手拉手手拉手“正方形正方形”手拉手手拉手“等腰直角三角形等腰直角三角形”手拉手手拉手练习练习1如图，如图，ACB90，ACBC，BECE于点于点E，ADCE于点于点D，AD5，DE3，则，则 的值为的值为()练习1题图BBECEA.B.C.D.35252313练习练习2(2020迁安二模迁安二模)如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，ABAD，AC5，DABDCB90，则，则DCBC的值为的值为()练习2题图BA.6 B.C.D.7 5 25 3练习练习3如图，已知如图，已知AC与与BF相交于点相交于点E，ABCF，点，点E为为BF中点，若中点，若CF6，AD4，则，则BD_.练习3题图2
15、练习练习4如图，如图，ABC、BDE都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，BABC，BDBE，AC4，DE2.将将BDE绕点绕点B逆时针方向旋转后得逆时针方向旋转后得BDE，当点，当点E恰好落在线段恰好落在线段AD上时，则上时，则CE_.练习4题图2+6全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定(必考必考)(2016河北河北21题题9分分)如图，点如图，点B，F，C，E在直线在直线l上上(F，C之间不能直接测量之间不能直接测量)，点，点A，D在在l异侧，测得异侧，测得ABDE，ACDF，BFEC.(1)求证：求证：ABCDEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由指出图中所有平行的线段，并说明理由 题图命题点命题点(1)证明：证明：BFEC，BFFCECCF，即，即BCEF.(3分分)又又ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS)；(5分分)(2)解：解：ABDE，ACDF.(7分分)理由：由理由：由(1)知知ABC DEF，ABCDEF，ACBDFE，ABDE，ACDF.(9分分)题图
