1、复变函数与积分变换试卷复变函数与积分变换试卷十满分：100分 考试时间：120分钟题号一二三四五总分一、判断题（每空2分，共20分）1、实数是复数的真子集，任何实数都是复数，复数不一定是实数，一个复数成为实数的充要条件是。（ ）2、任何复数的n次方根都有n个，这些n次方根在单位圆上，将单位圆等分，连接它们就可以构成单位圆上的正多边形。（ ）3、在工程实际中，许多物理现象都具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间获某一点出现，如脉冲电流等等，对于脉冲函数，有性质称为筛选性质。（ ）4、复变函数在处没有意义，是它的孤立奇点，而且是本性奇点。（ ）5、如果复变函数在区域内解析（常数也是解析函数），则的模在
2、区域的边界上取不到最大值和最小值，最值只能在区域内取到，这称为最大模原理。（ ）、幂级数的收敛半径计算公式，则幂级数的收敛半径为。（ ）7、共性映射是复变函数一个很重要的内容，而分式线性变换是最简单的共性映射，分式线性变换把圆周变成圆周，具有保圆性，而且能将角形区域共形映射成带形区域。（ ）8、复变函数的定义域为整个复平面，它在复平面上处处连续，处处可微分，处处解析，其积分与路径无关。（ ）9、如果是复变函数的可去奇点，则，如果是复变函数的极点，则，如果是复变函数的本性奇点，则，因此只要是复变函数的孤立奇点，就有。 （ ）10、。（ ）二、填空（2*10=20）11两将复数的实部与虚部的平方和
3、的正的平方根的值称为该复数的模，记作，已知，则的模为_.12柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式. 他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被
4、人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院会刊创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地方。 柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想
5、被融合起来。柯西-黎曼条件解析函数一个重要条件。复平面上解析函数满足的柯西-黎曼条件为_.13复变函数的一个周期是_.14、欧拉公式是数学里最令人着迷的一个公式，把指数函数写成正弦函数做虚部、余弦函数做实部的一个恒等式。运用自己的思维，看能不能将“e， i， 1，+， 0，=”六个符号连成一个合理的等式，每个符号只能用一次且不能重复使用_.15、若函数在简单正向闭曲线所围成的区域内解析，在区域的边界上连续，是区域内任意一点，则有，称为柯西积分公式，利用柯西积分公式计算_.16、）称为交比，分式线性变换具有保交比性,即 利用该性质计算，把将z=,0和1分别对应和的分式线性变换为_.17、如下图，
6、分式线性变换将上半平面保形变换成单位圆，你知道哪一点变成了圆心吗？_.18、，为非零实数，则，已知是在傅里叶变换下的原像。求。_. 19、复变函数的零点有那些？_.20、复变函数在点处的旋转角为_.（已知复变函数在点处的旋转角为三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题分，共3分）、计算、计算 （提示：解析函数积分与路径无关，只与起点和末点有关，本题可以用原函数方法）其中积分曲线为、利用留数计算广义积分已知：4、求函数的傅氏变换及其积分表达式， 其中，这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.、用拉普拉斯积分变换性质已知：求解微分方程组6、设 试证：在原点满足条件。7、求函数在不同区域（1
7、）（2）的罗朗展式。四、用所学知识说明什么是什么是复变函数，复变函数和实变函数有什么区别，复变函数有哪些类型？研究复变函数的方法有哪些？举例说明如何研究复变函数，复变函数有哪些应用？（10分）五、实验题（5分）1、举例说明如何用Matlab命令来求复变函数在孤立奇点的留数。（4分）2、plot(x,y)、plot(x) 命令式Matlab中的作图命令，如何使用它来作图？编制一个绘制简单初等函数图形的例子。（4分）3、用Matlab写出函数，并求其拉普拉斯积分变换。（3分）4、【Matlab源程序】syms x w;syms b positive ;%定义符号参量bf=exp(-b2*x2);F=simple(fourier(f)%结果为:F =1/b*pi(1/2)*exp(-1/4*w2/b2)把Matlab语言函数f=exp(-b2*x2)和F =1/b*pi(1/2)*exp(-1/4*w2/b2)写成数学表达式（ ）和（ ）。（4分）6 / 6
