1、第四章 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程. 问题导学题型探究达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 圆的标准方程 思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标 准方程为(xa)2(yb)2r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2. 答案 知识点二 点与圆的
2、位置关系 思考 点A(1,1)，B(4,0)， 同圆x2y24的关系 如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r2是什么关系？ 答案 |OA|2，|OC|2. 点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法 答案 位置关系利用距离判断利用方程判断 点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2 点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2 点M在圆内|CM|24，点P在圆外. 解析答案 (2)已知点M(5 1， )在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是 _. 解得0a4， 2a220， 即a1， 解析答案 (，1)(1，) 类型三 与圆有关的最值
3、问题 例3 已知实数x，y满足方程(x2)2y23. 解析答案 当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值， (2)求yx的最大值和最小值； 解 设yxb，即yxb， 当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值， 解析答案 (3)求x2y2的最大值和最小值. 解 x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 反思与感悟解析答案 反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如u 形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的 动直线斜率的最值问题. (2)形如lax
4、by形式的最值问题，可转化为动直线 截距的最值问题. (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定 点(a，b)的距离的平方的最值问题. 解 由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上 的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大 值和最小值. 原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1， 解析答案 (1)x2y2的最值； 返回 (2)xy的最值. 解 令yxz并将其变形为yxz， 问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值， 解析答案 123 达标检测 4 解析
5、答案 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( ) A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21 C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22 圆心坐标为(1,1)， 所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22. D 1234 解析答案 2.若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是( ) A.1a1 B.0a1或a1 D.a1 解析 点(1,1)在圆的内部， (1a)2(1a)24， 1a1. A 1234 3.若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_. 解析 x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
6、由几何意义可知， 1 解析答案 1234 解析答案 4.圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆 C的方程为_. 解析 由题意知圆心坐标为(2，3)， 圆C的方程为(x2)2(y3)25. (x2)2(y3)25 规律与方法 1.判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2； 点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2. 2.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下 几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (3)圆心与切点的连线长是半径长. (4)圆心与切点的连线必与切线垂直. 3.求圆的标准方程常用方法： (1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径. 返回
